第九讲-对数运算与对数函数 专题讲义-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册-答案版

第九讲-对数运算与对数函数

知识点一、对数的概念 1、对数的概念

b一般地，如果aa0且a1的b次幂等于N，即aN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb.x其中a叫作对数的底数，N叫作真数．[例如]32xlog32

★特别的：规定a0,且a1的原因：

①当a0时，N取某些值时，x的值不存在，如：xlog(3)是不存在的.

27x②当a0时，当N0时，x的值不存在，如：xlog0027是不成立的；当N0时，则x的取值时

27任意的，不是唯一的.

③当a1时，当N1，则x的值不存在；当N1时，则x的取值时任意的，不是唯一的.

2、常用对数与自然对数

①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10记为lgN

②自然对数：e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以e为底的对数称为自然对数,并把loge记

NN作lnN

说明：“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.

3、对数与指数的关系

x一般地，对数与指数的关系如下：若a0且a1，则aN⇔logaNx.

4、对数的性质

(1)1的对数为零，即loga10； (2)底的对数为1，即logaa1；

(3)零和负数没有对数．即logax中真数x0

1

知识点二、对数的运算 1、对数运算性质： 当a0,a1,M0,N0时：

（1）logMlogNlogMN； （2）logMlogNlogmM； Nm（3）mlogablogab.另外：loganb2、换底公式：logabmlogab nlogcba0,a1,c0,c1,b0.

logca3、倒数关系：logab4、对数恒等式：alogaN

1a0,a1,b0,b1.即logablogba1

logbaN.

题型一、对数概念的认识 【典型例题】

1、使loga23a有意义的实数a的取值范围是（ ） A．1, 2C．0,

3B．0,11,

2D．,

3【答案】C

a0

22由题意知a1，解得0a，所以实数a的取值范围是0,．

3323a0

故选：C.

2

【变式练习】

1、(多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数

B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【答案】ACD

【解析】由对数的定义可知A,C,D正确；

对B，当a0且a1时，axN才能化为对数式.故选：ACD.

2、代数式log(5x)x5x6有意义时，求x的取值范围． 【答案】,223,44,5

x25x60, 【解析】由题意可得5x0,5x1,解得x,2

题型二、指数式与对数式的互化 【典型例题】

1、将下列指数式与对数式互化.

31； (2)164x； 27(3)log183； (4)loga(12)1.

3,44,5．

(1)3321313.(2)log16x.(3)【答案】(1)log38.(4)a112. 4272【解析】因为由axb可得xlogab,a0,a1,b0，所以 (1)由3333(2)由416113； 可得log327273logx可得； 16x4由xlogab,a0,a1,b0可得axb，所以

3

1(3)由log183可得8；

22(4)由loga(12)1可得a112.

【变式练习】

1、将下列指数式写成对数式：

311(1)5625；(2)2；(3)3a27；(4)5.73 6434m6【答案】(1)log56254；(2)log216；(3)log327a；(4)log15.73m

364【解析】(1)因为54625，所以log56254. (2)因为26116. ，所以log26464(3)因为3a27，所以log327a.

1(4)因为5.73，所以log15.73m.

33

2、将下列对数式改为指数式： (1)log2646，指数式为__________； (2)log3m32，指数式为__________；

(3)lgx1，指数式为__________； (4)log1x5，指数式为____________.

21【答案】2664 (3)3 101x x

22b【解析】由于logaNbaN，所以：

5(1)log2646，指数式为2664； (2)log332，指数式为(3)23；

(3)lgx1，指数式为101x；

4

5(4)log1x5，指数式为122x

5故答案为：2664；(3)23；101x；12x.

题型三、对数式求值 【典型例题】

1、求下列各式中x的值：

(1)log264x3； (2)logx86；

(3)lg100x； (4)lne2x. 【答案】(1)

116；(2)2；(3)2；(4)2 【解析】(1)因为log2264x所以x6434332342116. (2)因为log所以111x86,x68.又x0所以x86236222(3)因为1g100x所以10x100,10x102于是x2 (4)因为lne2x所以lne2x,e2ex于是x2

【变式练习】

1、求下列各式中的x值 （1）log5x3； （2）log22x13； （3）log1x83； 【答案】（1）125；（2）72；（3）12；（4）1

【解析】（1）因为log5x3，所以x53125；

（2）因为log22x13，所以2x1238，解得x72 3（3）因为log1111x83，所以8x32，所以x2；

（4）因为logx283，所以8x2381，所以x1.

5

4）logx283． （

2、求下列各式中的x的值

2（1）log2x213x2x11；

（2）log2log3log4x0. 【答案】（1）2；（2）64.

2【解析】（1）由log2x213x2x11得，

3x2＋2x1＝2x21，3x2＋2x1＞0，，解得x＝－2； 2x21＞0且2x211（2）由log2log3log4x0可得log3log4x1，

故log4x=3，∴x＝43＝64.

题型四、指对基本运算与综合应用 【典型例题】 1、计算下列各式

（1）lg2lg2lg5lg52132log23log21_______ . 8（2）2lg8e01327lg25__________．

1log312log32log23log344(2)4(31)0______． 211【答案】(1)2(2)4(3)

2（3）

【解析】(1)原式lg2lg2lg5故答案为：2.

(2)原式2lg2311133lg52log2133lg2lg5133112.

33lg522lg2132lg52lg2lg524

故答案为(3)

4

1log312log32log23log344(2)4(31)0 211111=12log32log32221．故答案为:． 2226

2、已知2m3n6，则A．1 【答案】A

11等于（ ） mnC．3

D．6

B．2

由2m3n6得：mlog26，nlog36， 所以

11log62log63log661， mn故选：A

3、若ea4，eb25，则（ ） A．ab100 C．ab8ln22 【答案】D

对于A，由ea4，eb25，得aln4，bln25，所以abln4ln25ln100，故A错误； 对于B，baln25ln4ln25，故B错误； 4B．bae D．baln6

对于C，abln4ln252ln2ln168ln22，故C错误； 对于D，baln25ln4ln故选：D．

25ln6，故D正确． 4

4、若ln2a，ln3b，则log818（ ） A．

a3b a3B．

a2b 3aC．

a2b a3D．

a3b 3a【答案】B

ln18ln(322)2ln3ln22ba. log818ln8ln233ln23a故选：B

5、已知3a5b且A．log315 【答案】C 令3a5bk0， 则alog3k,blog5k，

1111logk3,logk5，又211， alog3kblog5kab211，则a的值为（ ） abB．log515

C．log345

D．log545

7

∴2logk3logk5logk451，即k45， ∴alog345. 故选：C.

6、（多选题）已知2a3b6，则a，b满足（ ） A．ab 【答案】ACD

由2a3b6，则alog26,blog36，则a0,b0， 所以ablog26log36B．

111 abC．ab4 D．ab4

lg6lg6lg6lg3lg20，所以A正确； lg2lg3lg2lg311log62log631，所以B不正确； ab由11112，(因为aababb，故等号不成立)，则ab4，故C正确；

baba11abab2224(因为aababab故选：ACD.

【变式练习】 1、计算下列各式

b，故等号不成立)，故D正确.

1（1）

(33)23eln2lg2lg5______．

【答案】0

【解析】由题意

13323323eln2lg2lg5322lg2lg532lg100.

1故答案为：0.

4（2）log3【答案】

27lg25lg47log494______. 315 4【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得

4log327lg25lg47log494 38

3log3lg2547log749

3log331434log74lg10721log742

11522，

44故答案为：

15. 4（3）2log3【答案】0

2log332log385log53(lg5)2lg2lg50 9原式log34log332log383(lg5)22lg2lg5(lg2)2 99log3483(lg5lg2)22310

32（4）1og62log62log632log636【解析】

2log62

log622log62log632log636log62log62log62log632log632

log622log6322log62log63log6222log622log62（5）

log2125log425log85log1258log254log52

13133log52log2513. 3【解析】原式3log25log25log253log52

2、若2a3，8b9，则【答案】因为8b2 3b_______． a9，

2所以blog89log233又2a3， 所以alog23， 2log232所以b3

alog2332log23， 3故答案为：

2 39

3、已知3a5bA，则【答案】53 122，则A等于__________． ab∵3a5bA,∴alog3A，blog5A,A0. ∴

11logA3，logA5. ab122, ab又∵

logA32logA52logA3logA252,

即logA752，∴A275，故答案为：53 4、设lg2a，lg3b，把log518用含a,b的式子表示，形式为___________. 【答案】

A0A53. a2b. 1alg18lg(232)lg2lg32lg22lg3a2blog518，

lg5lg(102)lg10lg2lg10lg21a故答案为：

a2b 1a5、设lg2a，10b3，则log630等于（ ） A．

2a2b

1bB．

1b abC．

1b

2a2bD．

1b2a2b

【答案】C

6、已知2x3y6，则下列不等关系正确的有（ ） A．

x2 yB．xy4 C．xy4

D．

111 x2y22【答案】D

解：由2x3y6，可得xlog26,ylog36， 选项A：所以

xlog26log63log232，所以A错误． ylog36log62选项B：xylog26log36144，所以B错误．

log63log62log63log62211log63log62144，所以C错误． log62log63log63log62log63log62log63log6222选项C：xylog26log36log62log631，11222选项D：因为22log62log63log62log632log62log631故D正确.

xy22故选：D．

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7、（多选题）设a,b,c都是正数，且4a6b9c，则下列结论正确的是（ ） A．abbc2ac 【答案】ACD

解：设4a6b9ct1，则alog4t，blog6t，clog9t， lgtlgtbblog6tlog6tlg6lg6 所以calog9tlog4tlgtlgtlg9lg4lg9lg4lg9lg4lg94lg622， lg6lg6lg6lg6lg6B．abbcac C．4b9b4a9c

D．

121 cbabb112121即2，所以，所以，故D正确；

cabcbacabb由2，所以abbc2ac，故A正确，B错误； ca因为494442acaaa2，4b9b49622bb6b，

2又4a6b9c，所以4a6b，即4b9b4a9c，故C正确； 故选：ACD 8、若2a3bm，且ab2，则m_____________．

112， ab11【答案】6 解：因为2a3bm，所以alog2m，blog3m，m0，又所以

1111logm2logm3logm232， ablog2mlog3m所以m26，所以m6， 故答案为：6.

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题型五、对数的实际应用 【典型例题】

1、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式

115m1m2lgE2lgE15，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的

22星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A．

10310 B．

10310 C．lg3 10D．lg10 3【答案】B

115E2E255mmlgElgElg0.751010. 因为1，所以221222E1E13故选：B.

2、我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln20.693，

ln50.223，由此可知ln0.2的近似值为（ ） 4B．－1.726

C．－1.609

D．－1.316

A．－1.519 【答案】C

因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为ln50.223， 455所以ln5ln4lnln41.3860.2231.609，

44所以ln0.2＝－ln5≈－1.609. 故选：C

【变式练习】

1、一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：TT1ath2T0Ta，其中Ta是环境温度，T0为

热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，? ） 则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟（（lg20.3010,lg30.4771）A．11.3 【答案】B

11110解：根据题意，5525()h(8525)，即()h，解得h10，

22210B．13.2 C．15.6 D．17.1

12

11011025525(10025)，即，

522tt2t252lg2120.301011.322 所以log1，

1105lg20.30102lg2lg所以t13.2； 故选：B

2、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：CWlog2(1S).它表示：在受N噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中

S叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽NS从1000提升至6000，则C的增长率为（ ）（lg20.3010，lg30.4771） NB．16%

C．26%

D．33%

W，而将信噪比

A．10% 【答案】C 解：当当∴

S1000时，C1Wlog21000， NS6000时，C2Wlog26000， NC2Wlog26000lg60003lg2lg330.30100.47711.26， C1Wlog21000lg100033∴ C的增长率约为26%. 故选：C

3、生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P1（其中a为常

ta2数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：log20.850.23 参考时间轴：

A．宋代 【答案】B

B．唐代

C．汉代

D．战国时期

13

15730， 由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以P2t1故2t5730=0.85，因此

tlog10.85log20.85，由此解得t1317.91318， 5730220221318=704，由此可推断该文物属于唐代

知识点三、对数函数

1、对数函数的概念：一般地，我们把函数ylogax(a0，a1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定

．a叫作对数函数的底数． 义域是0，【注意】对数函数必须是形如ylogax(a0，a1)的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1.

（2）底数为大于0且不等于1的常数． （3）对数的真数仅有自变量x.

2、对数函数的图象和性质：

函数 ylogax a1 0a1 a 图象 定义域 值域 过定点 单调性

单调递增 R 0， R (1,0) 单调递减 14

3、对数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的关系

题型一、对数函数的概念与判断 【典型例题】

1、已知函数①y4x；②ylogx2；③ylog3x；④ylog0.2其中是对数函数的是（ ） A．①②③ C．③④ 【答案】C

B．③④⑤ D．②④⑥

x；⑤ylog3x1；⑥ylog2x1.

根据对数函数的定义，只有符合ylogax（a0且a1）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中

ylog3xlog1x3，是对数

函数；④中ylog0.2xlog0.04x，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C.

22、已知对数函数fxm3m3logmx，则m______．

【答案】2

【解析】由对数函数的定义，

m23m31可得m0，解得m2．

m1

【变式练习】 1、给出下列函数：

2ylogx2①；②ylog3(x1)；③ylog(x1)x；④ylogex.

3其中是对数函数的有（ ） A．1个 【答案】A

B．2个

C．3个

D．4个

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①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A.

2、下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①ylogx2；

②ylogaxaR；

⑥y2log4x；

③ylog8x； ⑦ylog2x1.

④ylnx；

⑤ylogxx2；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B

【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；

由于②中底数aR不能保证a0，且a1，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为x2，x1，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中log4x的系数为2，⑥也不是对数函数； 只有③④符合对数函数的定义，故选：B.

123、函数fxaa5logax 为对数函数，则f等于（ ）

8A．3 【答案】B

B． 3

C．log36 D．log38

因为函数fx 为对数函数，

所以函数fx系数为1，即a2a51，即a2或3， 因为对数函数底数大于0， 所以a2，fxlog2x， 1所以f3．

8

16

题型二、对数型函数的图象 【典型例题】

1、函数ylg|x1|的图象的大致形状是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

求lg|x1|0可得x11或x11，解得x0或x2，排除BCD； 故选：A

12、当a1时，在同一平面直角坐标系中，y与ylogax的图象是（ ） axA． B．

C． D．

【答案】B

ylogax的定义域为(,0)，故AD错误；BC中，又因为a1，所以0故选：B

11，故C错误，B正确. a17

3、设a0且a1,bR，函数fxa系内的图象可能为（ ）

xb，gxlogaxb，则函数fx,gx在同一平面直角坐标

A． B．

C． D．

【答案】B

xb函数fxa，gxlogaxb单调性相同，同增或者同减，故A错.

bxb①若0如图C，若1-b>1，则b<0，此时gxlogaxb的渐近线为x-b，由图，0<-b<1解得-1f0ab<1这与fx与y轴交点矛盾，故C错.

b如图D，f0=a<1,解得b<0，g0=logab无意义，故D错.

bxb②若1且gxlogaxb=0时，x1-b0,1，此时B符合.选项B符合 故选:B

b,c,d的关系是（ ） 4、图中曲线分别表示ylogax,ylogbx,ylogcx,ylogdx的图像，a,

A．0ab1dc C．0cd1ab 【答案】C

B．0ba1cd D．0cd1ba

18

当y1时，x1c,x2d,x3a,x4b， 因为0x1x21x3x4， 所以0cd1ab 故选：C

【变式练习】

1、函数y3x与ylog3x的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

1函数y3为R上的减函数，排除AB选项，

3xx函数ylog3x的定义域为,0，

内层函数ux为减函数，外层函数ylog3u为增函数， 故函数ylog3x为,0上的减函数，排除D选项.

19

故选：C.

x2、 已知lgalgb0（a0且a1，，则函数fxa与gxlog1x的图象可能是（ ）b0且b1）

bA． B．

C． D．

【答案】B

∵lgalgb0（a0且a1，b0且b1）， ∴ab1，∴b1， abx∴gxlog1xlogax，函数fxa与函数gxlog1x互为反函数，

bx∴函数fxa与gxlog1x的图象关于直线yx对称，且具有相同的单调性.

b故选：B．

3、已知函数fxlogaxb（a0且a1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）

A．a0，b1 B．a0，1b0 C．0a1，b1 D．0a1，1b0 【答案】D

【解析】因为函数fxlogaxb为减函数，所以0a1

又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x1b0，即b1 又因为函数图象与y轴有交点，所以b0，所以1b0，故选：D

20

4、 在同一平面直角坐标系中，一次函数yxa与对数函数ylogax（a0且a1）的图象关系可能是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A．由对数图象知0a1，此时直线的纵截距a1，矛盾，

B．由对数图象知a1，此时直线的纵截距0a1，矛盾，

C．由对数图象知0a1，此时直线的纵截距0a1，保持一致， D．由对数图象知a1，此时直线的纵截距a0，矛盾，

故选：C．

5、设幂函数

yxc1,yxc2,yxc3，指数函数ya1x,ya2x,ya3x,ya4x，对数函数

ylogb1x,ylogb2x,ylogb3x,ylogb4x在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误

的是（ ）.

A．c10c31c2 B．0a4a31a1a2 C．0b3b41b2b1 D．0b4b31b1b2 【答案】C

【解析】对于A：要判断的是幂函数yx的图像，

根据yx1、yx2、yx3的图像可以判断c10c31c2，故A正确；

ccc

21

对于B：要判断的是指数函数yax的图像，

作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以0a4a31a1a2，故B正确；

x对于C、D：要判断的是对数函数yloga的图像，

作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大， 所以0b4b31b1b2，故D正确，C错误；

xx6、若函数fxk1aaa0,且a1在R上既是奇函数，又是减函数，则gxlogaxk的图

象是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

由于fx是R上的奇函数，所以f0k110,k2，

x所以fxa1为减函数，所以0a1， ax22

所以gxlogax2,x2，gx为2,上的减函数，g10， 所以BCD选项错误，A选项正确. 故选：A

7、已知函数fxlgx1，若fafb(ab)，则（ ） A．a1b11 C．a1b11 【答案】C

作出函数fxlgx1的图象，如图：

B．a1b11 D．以上选项均有可能

由题意可知，lga1lgb1，且由图象可知，1a0b,ab0， 所以即lga1lgb1lga1b10， 所以a1b11，即abab0，abab， 即a1b1abab112ab1， 故选：C

题型三、对数型函数的定点问题 【典型例题】 1、函数fxlogaA．1,0 【答案】B

【变式练习】

1、若幂函数yf(x)的图象经过函数g(x)loga(x3)【答案】4

2x52a0,a1的图象经过定点（ ） x3B．2,2

C．1,2

D．0,3

11(a0且a1)图象上的定点A，则f() ． 4223

2、已知函数fxlogax1b恒过定点0,2，则函数fxxb的单调递增区间为______． 【答案】2,##2,

因为函数fxlogax1b恒过定点0,2，所以b2， 所以fxx2，

所以fxx2的单调递增区间为2,. 故答案为：2,.

题型四、对数型函数的定义域 【典型例题】

1、函数fxlog2x2x的定义域为（ ）

2A．,0 【答案】D

B．2, C．0,2 D．,02,

解：由题可知x22x0，即x(x2)0，解得x0或x2.

2故函数fxlog2x2x的定义域为,02,.

fxlgx2故选：D.

22、已知函数fx1的定义域为1,2，则函数gx的定义域为（ ） D．2,33,5

A．2,5 【答案】B

B．2,33,5 C．2,5

解：因为1x2,1x24,2x215，所以f(x)的定义域为[2,5]，

x20由题得x21，所以2x3或3x5.

2x5所以函数的定义域为2,33,5. 故选：B

【变式练习】 1、函数fxA．0,2 【答案】A

2log2x的定义域为( ) 2xB．0,2

C．2,

D．2,

24

【解析】函数fx

22x0log2x的定义域满足：，解得0x2.故选：A. 2xx02、已知函数f(x)的定义域是[1,1]，则函数g(x)【答案】(0,1)

f(2x1)的定义域是________.

ln(1x)【解析】由题意，函数f(x)的定义域是[1,1]，即1x1，

12x110x1f(2x1)g(x) ，解得x1则函数有意义，则满足1x0，

ln(1x)1x1x0解得0x1，即函数g(x)

3、已知函数fxlgax3x2的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.

2f(2x1)的定义域是(0,1).故答案为：(0,1).

ln(1x)9【答案】,

8【解析】根据条件可知ax23x20在R上恒成立，

则a0，且98a0，解得a故a的取值范围是,.

989， 8

题型五、对数型函数的性质运用 【典型例题】

1、函数fxlog2x2x3的单调减区间是 . 2【解析】由题：x22x30，x1x30，解得：x1,3，

fxlog3x22x3的减区间，即yx22x3的减区间，对称轴为x1结合二次函数单调性，

所以fxlog3x4x5的减区间1,3.

2

25

2、已知f(x)loga(32ax)在1,2上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1)

B．0,

32

C．0,

【答案】设u(x)32ax，

34D．33, 42f(x)loga(32ax)在[1,2]上是增函数，

0a10a13，即，解得0a， 实数a的取值范围是

4u(2)034a0

3、已知函数fxlog330,，故选：C． 4x1，求函数fx的定义域，并判断其奇偶性. x1【答案】,11,；奇函数 【解析】由

x10解得x1或x1，所以fx的定义域为,11,， x1定义域关于原点对称，且fxlog3所以fx为奇函数.

x1x1x1log3log3fx， x1x1x144、已知函数fxlog2a． 1，若fx1是奇函数，则实数a______

x1【答案】1

44【解析】由题意，f(x1)f(x1)，即log2alog2a， 2xx222a4axx2a21所以，化简得，解得a1． 22x2a4axa1

【变式练习】

21、函数fx=lnx2x8的单调递增区间是（ ）

2 A．，， C．1【答案】D

由题知fx的定义域为,21 B．， D．4，4,，

令tx22x8，则ylnt，函数单调递增，

26

当x,2时，t关于x单调递减，fx关于x单调递减， 当x4,时，t关于x单调递增，fx关于x单调递增， 故fx的递增区间为4,． 故选：D．

22、若函数fxlnxax1在区间1,上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．

【答案】,0

2【解析】由函数fxlnxax1在区间1,上是单调增函数，

只需函数yx2ax1在1,上是单调增函数，且当x1时x2ax10恒成立， a1,所以满足2解得a0．

1a10,

2f(x)log(xax3a)在区间[2,)上为减函数，则实数a的取值范围是________． 13、已知

2【答案】（－4，4]

a【解析】二次函数yx2ax3a的对称轴为x＝，

2a由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，

2a2,2即解得－44、设函数fxlgx1，则使得f3x2fx4成立的x的取值范围为（ ）

21A．,1

33C．,

2

3B．1,

2

3D．,1,

2【答案】D 方法一 :

fxlgx21

22由f3x2fx4得lg3x21lgx41，

则3x21x41，解得x1或x223. 227

方法二 :

2根据题意，函数fxlgx1，其定义域为R，

2有fxlgx1fx，即函数fx为偶函数，

设tx21，则ylgt，

在区间0,上，tx21为增函数且t1，ylgt在区间1,上为增函数，

2则fxlgx1在0,上为增函数，

f3x2fx4f3x2fx43x2x4，

解得x1或x故选：D．

3， 25、定义在R上的奇函数f(x)在(,0]上单调递增，且f(2)2，则不等式f(lgx)flg4的解集为（ ）

1x1A．0,

100【答案】D

1, B．100C．(0,100) D．(100,)

因为函数f(x)为奇函数，

所以f(x)fx，又f(2)2，f(2)2，

1所以不等式f(lgx)flg4，可化为2f(lgx)42f2，

x即f(lgx)f2，

又因为f(x)在(,0]上单调递增， 所以f(x)在R上单调递增， 所以lgx2， 解得x100. 故选：D.

ax16、若函数fxlnb是奇函数，则a___________，b___________.

1x【答案】1；0

ax1【解析】因为函数fxlnb是奇函数，

1x故f00，即ln1b0，即b0.又fxfx0， ax1ax1lnln故0， 1x1x28

22ax1ax11ax1恒成立， 即1，

1x1x1x2x1故a21，所以a1或a1，当a1时fxlnln1无意义.

1xx1当a1时fxln满足奇函数.故a1

1x综上，a1，b0

7、若函数fxlg【答案】4

【解析】因为f(x)为定义域上的奇函数，

ax212x为定义域上的奇函数，则实数a的值为______．

fxfxlgax212xlgax212xlgax24x210，

所以ax24x211恒成立解得a4.

题型六、对数型函数的值域 【典型例题】

21、已知函数fxlgx1,x1,3，则fx的值域为（ ）

A．0, 【答案】D

B．0,1 C．lg2,1 D．0,1

22因为x1,3，所以x11,10，所以fxlgx10,1，

故选：D

22、函数ylog1(x6x10)的值域是________.

2【答案】(,0] 令tx26x10，则

ylog1t2，

因为tx26x10(x3)211， 所以tx26x10的值域为[1,）， 因为所以

ylog1t2在[1,）是减函数，

，

ylog1tlog110222ylog(x6x10)的值域为(,0]， 1所以

2故答案为：(,0]

29

3、若函数fxlog3x1x9，则函数y[fx]fx2的值域为___________.

2【答案】0,3

由已知函数fxlog3x的定义域为1,9

1x9221x3，0log3x1 y[f(x)]f(x)又，定义域需满足21x922令f(x)t0t1，因为 f(x)log3x2log3x，

所以y[f(x)]2f(x2)t22tt11,t0,1， 利用二次函数的性质知，函数的值域为0,3 故答案为：0,3.

【变式练习】

1、函数ylog2(2x1)的值域是_____________． 【答案】(0,)

2x+1(1,)，故log2(2x1)(0,)

2故答案为：(0,)

2ylogx6x17的值域是( ) 12、函数

2A．R

B．,3 C．8, D．3,

2【解析】x26x17x380恒成立，函数ylog1x6x17的定义域为R

22设tx26x17x388

2ylogx6x17在定义域R上先增后减，函数取到最大值即：1由复合函数的单调性可知函数

22ylog1x26x17log183 函数的值域为,3故选B

22

523、若函数fxlogax2axa1有最大值，则a的取值范围为（ ）

21211A．0, B．,1 C．, D．1,2

22525522【解析】令tx2axa1，要使函数fxlogax2axa1有最大值，

2252则内层函数tx2axa1要有最小正值，且外层函数ftlogat为减函数，

230

15522可知0＜a＜1．要使内层函数tx2axa1要有最小正值，则4a4(a1)0，解得a2．综合

222得a的取值范围为,1．故选：B.

21

2x,x1,4、若函数f(x) 则函数f(x)的值域是( )

log2x,x1,A．(,2) 【答案】A

【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为,2，故选A.

B．(,2]

C．[0,)

D．(,0)(0,2)

题型七、解对数型不等式 【典型例题】

21、若实数x满足不等式log2x2xlog2x4，则实数x的取值范围是______．

【答案】4,14,

2【解析】log2x2xlog2x4，

x22xx4x22x0，解得x4或4x1. x40

2、已知实数a0，且满足不等式33a234a1，则不等式loga(3x2)loga(85x)的解集为________． 38【答案】,

45【解析】因为33a23x203834a1，所以3a24a1a1，而a0，则0a1，于是 85x0x,.

453x285x31

【变式练习】

21、不等式log1xx70的解集为______.

2129129,3【答案】2, 2222logxx70logxx7log11， 11【解析】由，可得

222x2x71所以2，

xx70解得：129129， x3或2x221291292不等式log1xx70的解集为,32,. 222

2、不等式loga(4x)log1x的解集是_______．

a【答案】当a1时，解集为(0,2)；当0a1时，解集为(2,4) 【解析】∵

log1xlogaxa，

∴原不等式等价于loga(4x)logax， x0当a>1时，4x0，解得0＜x＜2．

4xxx0当0a1时，4x0，解得2＜x＜4．

4xx∴当a>1时，不等式loga(4x)log1x的解集为(0,2)；

a当0a1时，不等式

loga(4x)log1xa的解集为(2,4)

故答案为：当a>1时，解集为(0,2)；当0a1时，解集为(2,4)

3、已知函数f(x)log3xlog3(3x)，求不等式f(x)0的解集． 271【答案】x0x或x27

3【解析】f(x)log3xlog3(3x)(log3xlog327)(log33log3x)(log3x3)(log3x1)， 271或log3x3log327， 332

则不等式f(x)0，即log3x1log3

1故0x或x27，

31所以不等式f(x)0的解集为x0x或x27．

3

24、已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0,时，fx2x3x，若实数m满足flog2m5，则

m的取值范围是______．

1【答案】,

23根据题意，当x0,时，根据二次函数知识，开口向下的二次函数，对称轴x0，则fx在0,上

4为减函数，又由fx为奇函数，则fx在,0上为减函数，且f1f15，故fx在R上为减函数，由flog2m5，得flog2mf1，即log2m1，解得m1故答案为：,

211，即实数m的取值范围为,． 22

题型八、指对幂比大小 【典型例题】

1、（多选题）下列式子中成立的是（ ）

1A．log14log2

621B．20.21 90.11C．40.22

eD．log23log59

【答案】BCD

2、设a0.3,blog20.3,c2A．acb 【答案】C

20.3则a,b,c之间的大小关系是（ ）

C．bac

D．bca

B．abc

103、已知a0.2，b0.3，c30.30.20.1，则a,b,c的大小关系为（ ）

C．bac

D．bca

A．acb 【答案】B

B．abc

33

4、已知log2xlog3ylog5z1，则

2x，3y，5z的大小排序为（ ） A．235xyz

B．325

C．5yxzz2x3y

D．532zyx

【答案】D

【变式练习】

1、（多选题）下列式子中成立的是（ ）

5A．9e13

B．log17log1932 4C．1232

D．log36log510

【答案】ACD

2、设alog1.13.137,b2,c0.8，则（ ）

A.bac B.cab C.cba D.acb

【答案】B

3、已知alog0.420.20.34,b0.2,c(5)，则（ ）

A.bac B.cab

C.abc

D.acb

【答案】C

4、设x,y,z为正数，且2x3y5z，则（ ）

A．2x3y5z B. 5z2x3y

C.3y5z2x

D.3y2x5z

【答案】D

5、函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,单调递增，若a30.1，b0.13，clog30.1，则（A．fafbfc B．fbfcfa C．fcfafb D．fcfbfa

【答案】C

34

）

【解析】由偶函数知fcflog30.1flog30.1flog310，

又1a30.12，0b0.131，log3102， 显然log31030.10.13，

又在0,单调递增，则fcfafb.故选：C.

【模拟训练】

1、把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)28；

3

(2)e3m；

(3)27131； 314. 81(4)log392； 【答案】见解析

(5)lgn2.3；

(6)log3【解析】(1)log283；(2)lnm3； (3)log2711；(4)329； 334(5)102.3n；(6)31. 811，则x5.22、下列各式：①lglg100；②lgln e0；③若10lgx，则x100；④若log25x其中正确的个数有( ) A．1个 【答案】B

【解析】对①，因为lg101，lg10，所以lglg10lg10，故①正确； 对②，因为lne1，lg10，所以lgln elg10，故②正确； 对③，因为10lgx10x，故③错误；

11对④，因为log25x252xx5，故④错误.

210B．2个 C．3个 D．4个

故选：B.

35

3、计算下列各式： (1)log41___________； 16(2)log25125_________； (3)log23log38_________；

log98________； (4)

log32(5)log34log45log56log67log78log89________． 【答案】-2

33 6 2

24【解析】(1)log4(2)

log251log4422； 16333

125log52522log552432(3)

log23log38log23log123log233log326log23log326 123log323(4)log98log3222

log32log32log3223(5)log34log45log56log67log78log89

lg4lg5lg6lg7lg8lg9 lg3lg4lg5lg6lg7lg8lg9lg322lg32 lg3lg3lg3故答案为：2；

33；6；；2.

2436

4、计算：

(1)log327lg25lg47log72log71；

lg8lg125lg2lg5(2)．

lg10lg0.1【答案】(1)7 (2)4 【解析】 （1）

原式3lg2542527； （2）

lg1024． 原式111lg102lg1012lg8125255、(1)log37log73(2)log2log9492log73； log731log2319lg25lg2log9log82lne． 433222【答案】(1)2；(2)4.

【解析】(1)原式log37log732log37log73log372log73 log73log372log372．

13112log23223lne24log33lg5lg2log233log32 (2)原式log13lg5lg2log223log322222322224lg52324114．

6、求值 2log32log3【答案】0 【解析】 原式log34log332log383(lg5)22lg2lg5(lg2)2 932log385log53(lg5)2lg2lg50 99log3483(lg5lg2)22310.

32

37

7、计算log225log522( ) A．3 【答案】A

【解析】log225log522log25log522故选：A

8、(1)计算：log2232B．4 C．5 D．6

3log25log523 2111log3log5. 2589(2)已知log89m，log35n，试用m，n表示log512. 【答案】(1)12；(2)

3m4. 3mn111lglg(2lg5)(3lg2)(2lg3)【解析】(1)原式

258912 lg2lg3lg5lg2lg3lg5lg(2)∵mlog8922lg32log23lg3， ，∴lg233lg23m又nlog35lg5，∴lg5nlg3. lg3则log12lg12lg3lg45lg3lg5lg544lg313m3m3m4. nlg3n3mn21xyx,yRa,b1,9、已知，，若ab2，ab4，则xy的最大值为______.

【答案】4

【解析】因为a,b1,，若axby2， 所以xloga2,ylogb2，

11loga,log2b， 所以2xy212所以2log2alog2blog2ablog2abxy22log2ab；

又ab4，所以4ab2ab，所以4ab，当且仅当b2a4时等号成立.

38

所以

212log2alog2b2log2ab4，当且仅当b2a4时等号成立. xy故答案为：4.

10、若3a5b225，则A．

1 211( ) ab1B．

4C．1

D．2

【答案】A

【解析】由题意3a225,5b225

根据指数式与对数式的转化可得alog3225,blog5225 由换底公式可得alg2252lg15lg2252lg15,b lg3lg3lg5lg511lg3lg5 由对数运算化简可得

ab2lg152lg15lg3lg5

2lg15lg151

2lg152故选:A

11、设alog342，则4aA．

( )

C．

1 16B．

1 91 8D．

1 6【答案】B

aa【解析】由alog342可得log342，所以4a9，所以有41，故选：B. 912、设3m6n12，则A．1 【答案】D

nn( ) mC．6

D．2

B．4

【解析】因为3m6n12，所以mlog312，nlog612，

39

所以

n11nn(1)log612(1)log612(log1231)log612log1236 mmlog312log6122log1262.

故选：D. 13、已知2m【答案】

3n36，则

11______． mn1 2【解析】由2m3n36可得mlog236,nlog336 所以所以

11log362，log363， mn111log362log363log366， mn2故答案为：

1. 214、下列函数是对数函数的是( ) A．yloga(2x) 【答案】D

【解析】由对数函数的定义：形如ylogax(a0且a1)的形式，则函数为对数函数，只有D符合. 故选D

15、如果函数fxlogax(a0且a1)的图象经过点4,2，那么a的值为( ) A．

B．ylog22

xC．ylog2x1

D．ylgx

1 4B．

1 2C．2 D．4

【答案】C

【解析】因为fxlogax图象经过点4,2，所以loga42，所以a24且a0且a1，解得：a2，故选：C. 16、函数A．3 【答案】B

由f2log22m3，可得m2，

fxlog2xm，已知f23，则f4（ ）

B．4

C．5

D．6

40

∴fxlog2x2，f4log2424. 故选：B.

17、函数ylgx2x3的单调递增区间为（ ） A．,1 C．3, 【答案】C

【解析】设gxx2x3，可得函数gx在(,1)单调递减，在(1,)单调递增，

22B．1, D．1,3

又由函数ylgx2x3，满足x22x30，解得x1或x3， 根据复合函数的单调性，可得函数fx的单调递增区间为3,. 故选：C.

218、函数f(x)loga(axx)在[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

2A．

1a1或a1 2B．a1 D．0aC．

1a1 41 8【答案】B

【解析】axx02a0,x[2,4]x11，因为ax2x在,上单调递增，当0a1时，外函数aaylogax为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当a1时，外函数

1,ylogax为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域1，所以满足题意，故内为减函数且1aa选择B． 19、已知f(x)3(a1)x4a,x1是R上的减函数，那么a的取值范围是__________.

1ogx,x1a【答案】,1 【解析】

3741

a103(a1)x4a,x1因为f(x)是R上的减函数，所以0a1，

1ogx,x1a3(a1)4alog10a解得

33a1，故答案为：,1 7720、已知fx是奇函数，当x0时，fxlog2ax，若f43，则a( ) A．

1 323B．

2C．2 D．1

【答案】C

【解析】由题可知f4f43， ∴f4log24a3a2． 故选：C．

21、定义：如果函数yfx在定义域内给定区间a,b上存在ax0b，满足fx0fbfa，则称函数

bayfx是a,b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（ ）

①yx2是区间1,1上的平均值函数，0是它的均值点；

2②函数fxx4x在区间0,9上是平均值函数，它的均值点是5； ③函数fxlog2x在区间a,b（其中ba0）上都是平均值函数；

④若函数fxxmx1是区间1,1上的平均值函数，则实数m的取值范围是0,2

2A．1 【答案】C

B．2 C．3 D．4

【解析】根据题意，依次分析题目中的四个结论： 对于①，若yx2是区间1,1上的平均值函数，设其均值点为n，

2则有fnnf1f10，解可得n＝0，即0是它的均值点，①正确；

112对于②，若函数fxx4x在区间0,9上是平均值函数，设其均值点为n，

则有fnn24nf9f05，解可得n＝5或－1（舍），即5是它的均值点，②正确，

90log22log211，解得x2，2(1,2)，故③错误；

21对于③，取a1,b2，则由平均值函数定义可得log2x2对于④，若函数fxxmx1是区间1,1上的平均值函数，

2则关于x的方程xmx1f1f1在1,1内有实数根，

1142

2而xmx1f1f1mx2mxm10，解得x＝m－1，x＝1（舍），

11则x＝m－1必为均值点，即1m110m2，即实数m的取值范围是0,2，④正确； 其中①②④正确. 故选：C．

22、（多选题）已知函数fxlogax2x，则（ ）

2A．该函数的定义域x,02, B．当a1时，该函数的单增区间是2, C．当0a1时，该函数的单增区间是,0 D．该函数的值域为R 【答案】ABCD

【解析】A选项，x22x0，解得：x2或x0，故函数的定义域x,02,，A正确；

B选项，当a1时，由于fxlogau单调递增，故ux22x位于x轴上方的单调递增区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是2,，B正确；

C选项，当0a1时，由于fxlogau单调递减，故ux22x位于x轴上方的单调递减区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是,0，C正确；

D选项，ux22x能取到0,的任何值，故该函数的值域为R，D正确. 故选：ABCD

223、（多选题）已知函数f(x)lgxaxa，下列说法中正确的是（ ）

A．若f(x)的定义域为R，则4a0 B．若f(x)的值域为R，则a4或a0

1 C．若a2，则f(x)的单调减区间为，1上单调递减，则aD．若f(x)在2，【答案】BD

【解析】对于A，若f(x)的定义域为R，则x2axa0在R上恒成立，所以a24a0，所以4a0，所以A错误；

对于B，若f(x)的值域为R，则a24a0，所以a0或a4，所以B正确：

2对于C，若a2，则f(x)lgx2x2，函数的定义域为(,13)(13,)，设ux22x2,vlgu，

1 2即求函数ux22x2的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为(,13)，所以C错误； 对于D，若f(x)在(2,1)上单调递减，则(1)2a(1)a0且a11，所以a，所以D正确． 2243

故选：BD

24、函数fx1lg2x的定义域为__________． 【答案】8,2

【解析】由题意得，1lg(2x)002x10得，解得8x2，

2x02x0所以函数的定义域为8,2，故答案为：8,2

225、函数f(x)log2(ax2xa)的值域为R，则实数a的取值范围为( )

A．[1,) B．(0,1) C．[1,1]

2D．[0,1]

【解析】(1)若函数fxlog2ax2xa的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数． 当a＝0时符合条件；

当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故00.60.526、若a0.5,b0.6,clog93，则a,b,c的大小关系是（ ）

A. abc C. cba 【答案】B 【解析】

x因为函数y0.5是减函数，

B. cab D. bca

所以0.50.50.60.50.5， 又函数yx0.5在0,上是增函数，

所以0.50.50.60.5， 所以0.50.60.60.5，即

1ab， 21clog93，

2所以cab.

44

故选：B. 27、已知alog3A．bca 【答案】A 【解析】 因为1log311log3log310，即1a0， 321，bln，cba，则a，b，c的大小关系（ ） 2B．bac

C．cba

D．cab

又lnlne1，即b1， 所以0bab01，即0c1， 综上可得bca， 故选：A

28、设alog49，b2A．a＞b＞c 【答案】C

【解析】∵9＞8，∴3＞故选：C

29、设函数f(x)ln(1|x|)321.281，c()3，则( )

27C．a＞c＞b

D．c＞a＞b

B．b＞a＞c

2331.2b， ，故log3log223，从而有alog49log23c1222221，则使得f(x)f(1)成立的x的取值范围是 . 21x1，其定义域为R， 1x2【解析】根据题意，函数f(x)ln(1|x|)有f(x)ln(1x)1f(x)，即函数f(x)为偶函数， 21x11yln(1x)y，函数和函数都是[0，)上为增函数，则f(x)221x1x当x0时，f(x)ln(1x)在[0，)上为增函数，

f(x)f(1)f(x)f(1)|x|1，解可得x1或x1，

即x的取值范围为(，1)(1，)；

x30、函数ylogax1,a0,a1恒过定点A，若点A也在函数y3b的图像上，则b= .

45

【答案】-9

31、yax(a0且a1)是增函数，那么函数f(x)loga1的图象大致是( ) x1A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】∵yax可变形为y()，若它是增函数，则

1ax11， a0a1，∴f(x)logax为过点(1，0)的减函数，

∴f(x)logax为过点(1，0)的增函数，

1图象为f(x)logax图象向左平移1个单位长度， x11∴f(x)loga图象为过(0，0)点的增函数，故选D．

x1∵f(x)loga

32、图中曲线是对数函数ylogax的图象，已知a取3，431，，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的3510a值依次为( )

143，， 3510143C．，3，，

3510A．3，【答案】A

【解析】由已知中曲线是对数函数yloga143，， 3105143D．，3，，

1053B．3，x的图象，

46

由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1， 由a取3，故选：A．

x133、已知函数fxa1a0,a1的图象恒过点A，试写出一个满足下列条件的对数型函数gx的解析式

114343，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为3，，，， 35103510______．

①图象恒过点A；②是偶函数；③在0,上单调递减． 【答案】gxlog1x2（答案不唯一）

2【解析】

x10函数fxa1中，令x10，解得x1，f1a12，所以fx的图象恒过点A1,2．

取gxlog1x2，则g12，满足条件①；

2gxgx，定义域为,00,，则gx是偶函数，满足条件②；

易知gx在0,内单调递减，满足条件③． 故答案为：gxlog1x2（答案不唯一）

234、函数ylogax21(a0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)2xb的图象上，则b的值为___ 【答案】-1 【解析】

依题意，由x21解得x1，此时y1，于是得点A(1,1)，

而点A在函数f(x)2xb的图象上，即有f(1)2b1，解得b1， 所以b的值为-1. 故答案为：-1

35、已知函数f(x)为函数yax(a1)的反函数，且f(x)在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1，则a的值为___________. 【答案】2 【解析】

因为f(x)为函数yax的反函数，所以f(x)logax，

47

又a1，所以f(x)logax在[a,2a]上单调递增，

所以当x[a,2a]时f(x)min f(a)logaa1，f(x)max f(2a)loga2a， 由题意，loga2a11， 所以loga2a2，a22a， 解得a2或a0（舍去）. 故答案为：2.

x36、已知a0且a1，b0且b1，函数yax23的图象过定点A，A在函数f(x)alogb(x1)的图

象上，且函数f(x)的反函数过点B(17,4)，则ab______. 【答案】8 【解析】

函数yax23的图象可以由yax的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标

a2logb14a2为(2,4)，又f(x)的反函数过点B(17,4)，所以函数f(x)过点(4,17)，所以4，解得，所以

b3alog317bab238. 故答案为：8

37、函数fxlg2mx3x4的值域为R，则实数m的取值范围为______．

29【答案】0,

32【解析】

2由题可知，函数fxlg2mx3x4的值域为R，

令u2mx23x4，由题意可知0,为函数u3x4的值域的子集. ①当m0时，u3x4，此时fxlg3x4， 函数u3x4的值域为R，合乎题意；

②当m0时，若0,为函数u2mx23x4的值域的子集，

m09则，解得0m.

32Δ932m09综上所述，实数m的取值范围是0,．

3248

9故答案为：0,．

3238、设函数fxlog2x4log2x3，x1,16，则fx的值域为___________.

2【答案】1,3 【解析】

因为x1,16，令tlog2x0,4，则fxt24t3t211,3.

2故函数fx的值域为1,3. 故答案为：1,3. 39、不等式log1x12x3)log(21的解集是___________

23【答案】,4

2【解析】

由对数函数的图象与性质，可知函数

ylog1x2在0,上是单调递减函数，

所以不等式log1x12log12x32x103等价于不等式组2x30 ，解得x4，

2x12x33即不等式的解集为,4.

240、地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级M计算公式为

MlgAk(0k10)，其中Ak是地震仪接收到的k级地震的地震波的最大振幅（单位：米），A0106（单A0位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的________倍． 【答案】10000 【解析】 ∵MlgAk(0k10)， A0Ak10M，即AkA010M， ∴A084∴A8A010，A4A010，

844∴A8A410A410，即8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的10000倍.

故答案为：10000

49

10.841、已知奇函数fx在R上是增函数，若aflog2，bflog24.1，cf2，则a，b，c的大小

5关系为___________. 【答案】cba 【解析】

因为函数fx为奇函数，

11所以aflog2flog2flog25，

55由于函数ylog2x在0,单调递增， 所以log25log24.1log242， 由于20.80，

0.8所以log25log24.1log24202

因为函数fx在R上是增函数，

0.8所以flog25flog24.1f2，即cba

故答案为：cba

x42、已知函数fxlog241kx为偶函数.

(1)求实数k的值;

(2)解关于m的不等式f2m1fm1;

x(3)设gxlog2a2aa0，若函数fx与gx图象有2个公共点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)1 (2),20, (3)222,1 【解析】 （1）

函数的定义或为R，

x函数fxlog241kx为偶函数.

fxfx，即 log24x1kxlog24x1kx，

50

4x14xlog4x2x， 2kxlog24x1log24x1log2x241k1；

（2）

4x11fxlog241xlog2xlog22xx，

22xx当x0时，2x1，y21单调递增， 2xfx在0,上单调递增，

又函数fx为偶函数，所以函数fx在0,上单调递增，在,0上单调递减；

f2m1fm1， 2m1m1，

解得m2或m0，

所以所求不等式的解集为 ,20,； （3）

函数fx与gx图象有2个公共点，

4x1gxlog2a2afxlog241xlog2x，

2xx4x11即a2ax2xx，a2xa0，

2212设t2x0，则atat，即a1tat10，

tx又t2x在R上单调递增，

2所以方程a1tat10有两个不等的正根；

a10Δa24a110a0，

a110a1解得222a1，即a的取值范围为222,1.

51

43、已知函数fxlog46m5xx.

(1)当m1时，求fx的定义域；

(2)若fx2对任意的x0,1恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)0, (2)1,2 【解析】 (1)

xx解：当m1时fxlog465，令6x5x0，

6即65，即1，解得x0，所以fx的定义域为0,.

5xxx(2)

解：由fx2对任意的x0,1恒成立， 所以06xm5x16对任意的x0,1恒成立， 1666即mx对任意的x0,1恒成立，

555xx166因为yx是单调递减函数，y是单调递减函数，

55x166所以gxx在0,1上单调递减，所以gxming12，

556所以hx在0,1上单调递减，所以hxmaxh01，

5xx所以1m2，即m的取值范围为1,2.

52

44、已知函数f(x)logaxlogax2(a0,a1). (1)当a2时,求f(2)；

(2)求解关于x的不等式f(x)0；

(3)若x[2,4],f(x)4恒成立,求实数a的取值范围.

22,1【答案】(1)2；(2)见解析；(3)2【解析】

1,32

(1)当a2时，fxlog2xlog2x2 f21122

2(2)由fx0得：logaxlogax2logax2logax10

2logax1或logax2

当a1时，解不等式可得：0x1或xa2 a1或0xa2 a1当0a1时，解不等式可得：x综上所述：当a1时，fx0的解集为0,aa,；当0a1时，fx0的解集为

20,a21, a2(3)由fx4得：logaxlogax6logax3logax20

logax2或logax3

①当a1时，logaxmaxloga4，logaxminloga2

loga42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32

②当0a1时，logaxmaxloga2，logaxminloga4

loga22logaa2或loga43logaa3，解得：2a1 2综上所述：a的取值范围为2,121,3253

54