江苏专用2018届高三物理一轮复习必考部分第4章曲线运动万有引力与航天章末高效整合教师用书

物理方法|类平抛运动的求解技巧

1．类平抛运动的特点 (1)受力特点

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． (2)运动特点

在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝F合

. m2．类平抛运动的求解技巧 (1)常规分解法

将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．

(2)特殊分解法

对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度

v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．

在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运

动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图4­1所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：

图4­1

(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；

(2)质点经过P点时的速度大小．

【规范解答】 (1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．

由牛顿第二定律得：

F－mg15－1022

a＝＝ m/s＝5 m/s.

m1

设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，

1

12

则xP＝v0t，yP＝at

2又tan α＝

联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m. (2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度

yPxPvy＝at＝15 m/s

故过P点时的速度大小

2vP＝v20＋vy＝513 m/s.

【答案】 (1)3 s xP＝30 m，yP＝22.5 m (2)513 m/s [突破训练]

1．如图4­2所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，

A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面

上，不计阻力，则下列说法正确的是( )

【导学号：96622074】

图4­2

A．A、B的运动时间相同 B．A、B沿x轴方向的位移相同 C．A、B运动过程中的加速度大小相同 D．A、B落地时速度大小相同

12h12D 设O点与水平面的高度差为h，由h＝gt1，＝gsin θ·t2可得：t1＝

2sin θ2

2h，gt2＝

2h，故t1gsin2 θ

222a2＝gsin θ可知，C错误；A落地的速度大小为vA＝v0＋gt1＝v0＋2gh，B落地的速

度大小vB＝v0＋a2t2＝v0＋2gh，所以vA＝vB，故D正确．

物理模型|宇宙多星模型

1．宇宙双星模型

(1)两颗双星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等．

222

2

(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的．

(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L. 2．宇宙三星模型

(1)如图4­3所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡．运转的行星由其

Gm2Gm2

余两颗行星的引力提供向心力：2＋＝ma向

r2r2

图4­3

两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．

(2)如图4­4所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供．

图4­4

Gm2

×2×cos 30°＝ma向 L2其中L＝2rcos 30°.

三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．

(2015·安徽高考)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在

着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4­5所示为A、

B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，

三角形的边长为a，求：

图4­5

(1)A星体所受合力大小FA；

3

(2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T.

【规范解答】 (1)由万有引力定律可知，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝GmAmB＝r2

m2

G2＝FCA，方向如图所示，则合力大小为FA＝23G2. aa2m(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝G2

mAmB＝r2

mCmBm2

G2，FCB＝G2＝G2，方向如图所示． ara2m2

m2

由FBx＝FABcos 60 °＋FCB＝2G2，

am2

FBy＝FAB sin 60°＝3G2，

am2

可得FB＝FBx＋FBy＝7G2.

a2

2

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝

73212

a＋2a，可得RC＝44

a.

或由对称性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝

1aDB2

＝，得RC＝

FBx＝FB

OBRC

7a 4

m22π2

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7G2＝mRC，可得T＝π

aTm2m27

【答案】 (1)23G2 (2)7G2 (3)a

aa4

(4)π

a3. Gma3

Gm[突破训练]

2．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( ) 【导学号：96622075】

4

A.C.

n3T k2n2

T kB.D.

n3T knT kB 双星间的万有引力提供向心力．

设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为

r.

对质量为m的恒星：G2＝m

MmL2π2·r

T

Mm2π2

对质量为M的恒星：G2＝M(L－r)

LTM＋m4π2

得G2＝2·L

LT4πL即T＝

GM＋m

2

23

则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝n3

T，选项B正确． k高考热点1|平抛运动的临界问题

解决平抛运动的临界问题要注意以下三点： (1)明确平抛运动的基本性质、公式； (2)确定临界状态；

(3)确定临界轨迹，在轨迹示意图上寻找出几何关系．

(2014·浙江高考)如图4­6所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直

线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h＝1.8 m．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v＝800 m/s.在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s＝90 m后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g＝取10 m/s)

2

图4­6

(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；

(2)当L＝410 m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； (3)若靶上只有一个弹孔，求L的范围． 【思路导引】

5

【规范解答】 (1)装甲车匀减速运动的加速度大小

v2200

a＝＝ m/s2. 2s9

(2)第一发子弹飞行时间t1＝

Lv＋v0

＝0.5 s

12

弹孔离地高度h1＝h－gt1＝0.55 m

2第二发子弹的弹孔离地的高度 1L－s2

h2＝h－g＝1.0 m

2v

两弹孔之间的距离Δh＝h2－h1＝0.45 m.

(3)第一发子弹打到靶的下沿时(第二发打到靶上)，装甲车离靶的距离为L1

L1＝(v0＋v)

2h＝492 m

g第二发子弹打到靶的下沿时(第一发打到地上)，装甲车离靶的距离为L2

L2＝v2h＋s＝570 m

g故L的范围为492 m202

【答案】 (1) m/s (2)0.55 m 0.45 m

9(3)492 m3．(2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图4­7所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )

6

图4­7

A.B.C.D.

L1

2gg 6h4L1＋L2g

6h4L1＋L2g 6h4L1＋L2g 6h22222

2

L1

4

L1

2

L1

4

D 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好擦球网上边缘落到球网正中间． 12

则竖直方向上有3h－h＝gt1

2水平方向上有＝v1t1

2由①②两式可得v1＝

① ②

L1

L1

4g h设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有12

3h＝gt2

2

在水平方向有③

L22＋L2＝vt 2122

4L1＋L2g

6h2

2

④

1

由③④两式可得v2＝

2

则v的最大取值范围为v1＜v＜v2.故选项D正确．

高考热点2|万有引力定律的应用

万有引力定律的应用是每年高考的必考内容，命题重点主要有两个：一是以现代航天科技为背景考查人造卫星的发射、运行、变轨对接等问题；二是与抛体运动、圆周运动和牛顿第二定律综合起来考查．

(多选)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日

全食”过程，如图4­8所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看做平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则( )

7

图4­8

A．飞船绕地球运动的线速度为2πR αTsin

2

B．一天内飞船经历“日全食”的次数为 α

C．飞船每次“日全食”过程的时间为T0

2π2πRD．飞船周期为T＝

αsin

2

TT0

RαGMsin 2

2πrαR【规范解答】 飞船绕地球运动的线速度为v＝，由几何关系知sin ＝，所以

T2r2πRMmv＝，A正确；又G2 αrTsin 2

＝m2π2r，由此得T＝2πRαT

sin

2

Rα

GMsin

2

，D正确；飞船每次经历“日全食”过程

α

的时间为飞船转过α角所需的时间，即T，C错误；一天内飞船经历“日全食”的次数

2π为，B错误．

【答案】 AD [突破训练]

4．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T.假设宇航员在火星表面以初速度v水平抛出一小球，经过时间t恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图4­9所示．已知引力常量为G，则火星的质量为( )

【导学号：96622076】

T0

T

图4­9

8

3vTA.34 16Gtπ3vTC.34 16Gtπ

24

34

33vTB.34 16Gtπ33vTD.34 16Gtπ

24

34

B 以M表示火星的质量，r0表示火星的半径，g′表示火星表面附近的重力加速度，火星对卫星的万有引力提供向心力，有G2＝m

Mm2π2r，在火星表面有GMm′＝m′g′；平抛

0

2r0

Tr0

小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝g′t33v34

v，联立以上各式解得M＝T16Gt3π

4，B正确． 9