2014年天津市大学数学竞赛(经济管理类)

12xx01. lim(sinxcosx)=_________________________.

ln(12. 设函数f(x)在x0的某领域内具有一阶连续导数. 若limx0f(x))sinx2, 则ex1f''(x)=________________.

3. 设函数f(x)2xlnx, xf1(y)是yf(x)的反函数，则dxy2=__________.

0f,4. 设函数yf(x)在区间[0,1]上连续且单调增加，f(0)(1). 若

二、

1012f(x)dx，则f1(y)dy=____________________.

035. 设ysin4xcos4x, 则y(n)=______________________.

选择

1. 设函数f(x)在x0处连续， 下列结论错误的是（ ） （A）若limf(x)f(x)f(x)存在，则f(0)0. (B) 若lim存在，则f(0)0.

x0x0xxf(x)f(x)f(x)(C) 若lim存在，则f'(0)存在. (D) 若lim存在，则f'(0)存

x0x0xx在.

2. 若函数f(u)可微且

d[f(lntanx)]1，则f'(0)=（ ）

xdx4（A）

13. (B) 1. (C) . (D) 2. 22xa3. 设函数yf(x)在区间[a,b]上连续，其图形如下图所示. 若F(x)f(t)dt，则（ ）

（A）函数F(x)在[a,b]上单调增加. (B) 函数F(x)在(a,b)内有极小值. (C) 函数F(x)在(a,b)内有极大值. （D）函数F(x)的图形在(a,b)内无拐点.

4. 设二元函数u(x,y)(xy)(xy)O a b x y xyxy(t)dt, 其中函数具有二阶导数,

函数具有一阶导数, 则( )

2u2u2u2u2u2u2u2u(A) 2. (B) 22. (C) 2. (D) 2. 2xyxyxyyxyx5. 若函数f(x,y)ax2bxyy2有一个唯一的极大值f(0,0), 则常数a,b应满足( )

b2b2b2(A) a. (B) a. (C) a. (D) 上述结论都不正确.

444三、

（本题6分）设f(x)在区间(0,)上是一个正值可微函数. 对任意x(0,)，

f(xhx)1求极限lim()h.

h0f(x)四、

（本题6分) 设函数f(x)对任意实数x和y满足方程

f(xy)f(x)f(y)x2yxy2. 又设limx0f(x)1. (1) 求f'(0)； （2）求f'(x). x五、 六、

（本题6分）求

40lnsin2xdx.

（本题7分）设a和b都为正数. 证明：两个数a(1b)和b(1a)不可能同时都

大于七、

1. 4（本题7分）设函数yf(x)在区间[0,3]上可导，且满足

f(2)f(3)210f(x)dx.

证明：至少存在一点(0,3)，使得f'()0. 八、

（本题7分）设函数f(x)132xtx，其中t为参数. 对任意的t[0,1]，记2m(t)为函数在闭区间[0,1]上的最小值，求m(t)的表达式.

九、

2（本题7分）设zf[xy,(xy)]，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，(u)二

zz2z,及阶可导，求. xyxy十、

（本题8分）计算（1）

21dxsinxxx2ydydxsin2x42x2ydy； （2）二重积分

22，其中D{(x,y)|(xa)(yb)1}. (xy)dxdyD十一、 （本题8分）一变压器的铁心截面为对称正十字形（如图所示，在第一象限内

ABDE，OAOE). 设十字形外接圆的半径为R，边长所张的圆心角为2（AOB）. 问当为何值时，该十字形铁心截面的面积最大？并求其最大面积.

十二、（本题8分）如图，一只山羊被一条长为a的绳子拴在半径为a的圆形水池边上的

点O处，水池被草地环绕着. 因水池被栅栏所围，山羊不能穿越水池，但绳子可环绕在栅栏上，使山羊到达尽可能的远处（注意：在第一象限内，山羊可吃到草的区域是由点P(a,0)为中心a为半径的上半圆，曲线L及y轴围成. L上的任意点C满足条件：过点C作圆的切线，若切点为B，则BC的长等于圆弧BQ的长.) 求山羊可吃到草的草地面积.

D E C B R A 2 O