广东省深圳市南山区2021学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

理 新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：

1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点.

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 不按要求填涂的，答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损.考试结束后，将答题卡交回. 5、考试不可以使用计器.

第Ⅰ卷(选择题共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1、已知函数f(x)=ax2+c，且f′(1)=2，则a的值为 A.1 B.2 C.－1 D.0 2、若

2i=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位) 则a+b= iA.1 B.2 C.－1 D.－2

3、今有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有

A.10种 B. 32种 C. 25种 D. 20种 4、在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是 A.(1，) B.(1，2) C.(1，0) D. (1，π) 23x=3+t2 (t为参数)的倾斜角是 5、直线y=1+1t2 A.

 B. C. D.

63631

a

2 b

3 0.1

6、随机变量ξ的分布列为

ξ 0 P 0.1

且Eξ=1.5，则a－b的值为

A.－0.2 B. 0.2 C. 0.4 D. 0 7、已知直线y=kx是曲线y=lnx的切线，则k的值为

1

A.e B.－e C.

11 D. ee28、定义在R上的函数f(x)满足(x+2)·f′(x)<0(其中f′(x)是函数f(x)的导数)，又a=f(log13)，

1b=f[()0.1]，c=f(ln3)，则

3A. a第Ⅱ卷(非选择题共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡上. ．．．．．．．．．9、(x14)的二项展开式中x2的系数是________.(用数字作答) x10、由曲线y=x2和直线y=2x围成的封闭区域的面积为______.

11、把4名男生和4名女生排成一排，女生要在排在一起，不同排法的种数为______.(用数字作答)

12、在平面上，若两个正三角形的边长比是1：2，则它们的面积比是1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为_____.

31411311， 2112，

12223232212223141511，…，由以上等式推测一个一般的结论：对于n2313122232342423141n21∈N*，2...n______.

122232n(n1)21x()1，(x0)14、已知函数f(x)=2，对于下列命题：

x22x，(x0)13、观察下列等式：

①函数f(x)的最小值为0；②函数f(x)在R上是单调递减函数；

③若f(x)>1，则x<－1； ④若函数y=f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是0三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 15、(本小题满分12分)

复数z=(3m－2)+(m－1)i，m∈R. (1)m为何值时，z是纯虚数？ (2)若(x+3n)(m∈N*)的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数和之比为64，求mx的值并指出此时复数z在复平面上对应的点位于第几象限.

16、(本小题满分12分)

为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株为样本，统计结果如下： 高茎 矮茎 合计 圆粒 皱粒 合计

11 13 24

19 7 26

30 20 50

(1)现采用分层抽样方法，从这个样本中取出10株玉米，再从这10株玉米中随机选出3株，

2

求选到的3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率； (2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考)： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 P(K2≥k) k 22.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 n(adbc)2，其中n=a+b+c+d为样本容量. K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17、(本小题满分14分)

袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.

(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.

18、(本小题满分14分)

数列{an}中，an>0，an≠1，且an+1=(1)证明：an≠an+1；

(2)若a=3，计算a2，a3，a4的值，并求出数列{an}的通项公式.

13an(n∈N*).

2an+1

4

19、(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ax3－bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值4. 3(1)求f(x)的表达式；

(2)若关于x的方程f(x)=k有三个不同的零点，求实数k的取值范围.

3

20、(本小题满分14分) 已知函数f(x)=lnxa. x3，求实数a的值； 2(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1，e]上的最小值为

(3)若f(x)高二数学(理科)参考答案及评分标准

2021.07.03

一、选择题：(10×5′=50′) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8

B A C B D B D D 答 案

二、填空题：(4×5′=20′) 9、4； 10、

14 11、2880； 12、108；13、1； 14、3，4.

(n1)2n3三、解答题：(80′)

15、(本小题满分12分)

解：(1)3m－2=0且m－1≠0时，即m2，z是纯虚数. ……4分 3m43m(2)∵(x)(m∈N*)的展开式中，各项系数的和为2n，则m64，即m=6，此时复数

2xz=16+5i在复平面上对应的点位于第一象限. ……12分

16、(本小题满分12分) 解：(1)现采用分层抽样的方法，从样本中取出的10株玉米中圆粒的有6株，皱粒的有4株，

4

所以从中再次选出3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为

221C1CCC4P64364. ……6分

C105(2)根据已知列联表：

2 圆粒 皱粒 合计 高茎 11 13 24 矮茎 19 7 26 合计 30 20 50

50(1171319)2∴K=3.8603.841，又P(K2≥3.841)=0.050，因此能在犯错误的概

30202426率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有

关. ……12分 17、(本小题满分14分)

解：(1) 记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”，位事件A，

23摸出一球得白球的概率为；摸出一球得黑球的概率为； ……3分

5512233212所以P(A)=，答：两球颜色不同的概率是. ……6分

55552525(2)由题设知，ξ可取0，1， 2，依题意得，P(=0)=323， 541032233211P(=1)=，P(=2)=， ……10分

5454554103314则E=0+1+2=， ……12分

1051054343419D=(0)2+(1)2(2)2，

510555102549答：摸出白球个数ξ的期望和方差分别为，. ……14分

52518、(本小题满分14分)

(1)证明：(反证法)若an=an+1，则由an+1=3an3an(n∈N*)，得an=，

2an12an1得an=1，这与已知an≠1相悖，故an≠an+1. ……4分

(2)方法一：(举例-猜想-证明) ．．．．．．若a1=3an39，由an+1=(n∈N*)得，a2=，

2an14103n2781，a4=，猜想：an=n(n∈N*)， ……8分 a3=312882以下用数学归纳法证明：

331①当n=1时，a1=1，所以当n=1时命题成立； ……9分

431

5

3k②假设当n=k时，命题成立，即ak=k，

313k+1k+13a3k+1k+1k+13则当n=k+1时，a=kk+131312a123k3k+113k+11， ……12分 k3k113k1n=k+1时，命题也成立，故a3n所以，当n=3n1(n∈N*)， ……13分

n，都有a3n由①、②可知，对所有的自然数n=3n1(n∈N*). ……14分

(说明：其它方法请相应给分) 方法二：(利用数列递推．．．．．．关系．．求通项．．．公式．．

) 由a3an1n+1=2a(n∈N*)，取倒数得

=2an1112， n1an+13an3an3又1a+t11a2t=1(123t)，令2+3t=t，解得t=－1， n+13n33an∴

1a11(1a1)， n+13n∴{1a1}是以11411313为首项，3为公比的等比数列，

na1∴1a1=1(1)n1(13)n，∴11n13n3na()1n，∴ann. n33n333+119、(本小题满分14分)

解：(1)∵f′(x)=3ax2－b， ……1分 f′(2)=12a－b且f(2)=8a2b443， ……2分 ∴a13，b=4， ……4分 ∴f(x)13x34x4. ……5分

(2)由f′(x)= x2－4=0，得x=－2或x=2， ……6分 则当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数； 当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，此时f(x)是减函数；

当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数， ……9分 所以f(x)在x=－2时，取得极大值f(2)283， ……10分 所以f(x)在x=2时，取得极小值f(2)43， ……11分 又x→－∞时，f(x)→－∞；x→+∞时，f(x)→+∞， ……12分 所以，方程f(x)=k有三个不同零点时，4283k3. ……14分

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20、(本小题满分14分) 解：(1)f′(x)1axa2， xx2x当a>0时，f′(x)>0，则f(x)在定义域(0，+∞)上是增函数， ……3分 (2)f′(x)xa0，解得x=－a， ……4分 2x则 ①当－a <－1时，即a>1，f′(x)>0 f(x)在[1，e]上是增函数，

此时，f(x)min= f(1)=－a=1.5，而a=－1.5不符合题意； ……5分 ②当1≤－a ≤e时，即－e≤a≤－1时，

当x∈[1，－a]时，f′(x)<0，此时，f(x)是减函数；

当x∈(－a，e]时，f′(x)>0，此时，f(x)是增函数，所以f(x)在x=－a时，

取得极小值且极小值为f(－a)=ln(－a)+1，由题意得，f(－a)=1.5得ae符合题意； ……6分 ③当－a >e时，即a<－e时，f′(x)<0 f(x)在[1，e]上是减函数， 此时，f(x)min=f(e)1a3e，则a不符合题意， ……7分 e22所以，所求a的值为ae. ……8分 (3)若f(x)

alnxx2在(1，+∞)上恒成立<=>a>xlnx－x3在(1，+x∞)上恒成立， ……10分

2116x(x)6x0(x>1)， 设g(x)= xlnx－x3，h(x)= g′(x)=1+lnx－3x2，则h′xx∴h(x)在(1，+∞)上是减函数，∴h(x)< h(1)=－2，即g′(x)<0，

∴g(x) 在(1，+∞)上是减函数，∴g(x)< g(1)=－1， ……13分 故a≥－1为所求a的取值范围. ……14分

附：什么样的考试心态最好

大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

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这一点对知识水平比较高的考生非常重要。随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。

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