多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值　徐秋仓　（安阳职业技术学院，河南安阳４５５０００）　摘要：本文通过几个例子的讨论说明求多元函数的极值与最值比求一元函数极值与最值要复杂得多，某些一元函数求极　值与最值的方法及结论对多元函数并不适用，因此在解题时要特别注意．　关键词：驻点极值最值　我们在学习多元函数的微积分学时知道，讨论多元函数　的微分及其应用时以二元函数为主，因二元以上的函数的微　分理论可以由二元函数的微分理论直接类推．一元函数到二　元函数则不同．有些知识可以由一元函数的理论直接类推得　到，但有些知识从一元函数类推到多元函数会产生新的问题．　因而如果用一元函数的一些结论解决多元函数的问题，就会　出现错误认识．本文就关于求多元函数的极值与最值问题容　易出现的错误认识做了探讨．　判断一元函数极值点的一般方法是：首先找出函数的驻　点和一阶导数不存在的点．其次由极值存在的第一充分条件　来判断。若某点左右两侧的导数符号相反．该点一定是极值　点．最后再具体判断出是极小值点还是极大值点，从而求出函　数的极值．　（，（２ｋｌｒ，０）－ｆ　（２ｋ丌，ｏ）・‘　（２ｋｗ，０）＝一２＜０且ｆｘｘ＝一２＜０，函数　有极大值．　在点（（２ｋ一１）盯，一２）处：　ｆ：ｖ（（２ｋ－１）ｒｒ，－２）－ｆ（（２ｋ－１）Ｉｖ，一２）・ｆ　（（２ｋ一１）１Ｔ，一２）＝ｅ‘　（１＋ｅ－２）＞Ｏ函数无极值．　，故可知此函数在全平面上有无穷多个极大值，但没有极　小值．考察此函数的曲面形态，我们会发现，函数在全平面上　的无数个极大点对应曲面上无数个小“山包”，任意两“山包”　之间有沟．这些沟都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函数　没有极小值．　对于错误认识（２），我们讨论下例．　求可导的一元函数在闭区间［ａ，ｂ］上的最值的一般方法　是：首先找出函数在区间内的一切驻点（即导数为零的点），然　后求出这些驻点和区间端点处的函数值，再进行比较，最大者　即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值．　关于一元函数的极大值与极小值和最大值与最小值．我　们有这样的命题．　命题一：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间Ｉ（有限或无穷，开或闭）上连　续，若ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｉ内两点ｘ．，Ｘ２（ｘ．＜Ｘ，）处取得极大值（或极小值），　则至少存在一点ｘ　∈（ｘ．，Ｘ，）使ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｘ　处取得极小值（极大　值）．　例２：设ｚ－ｆ（ｘ，ｙ）＝８ｘ２＋ｉ１　ｙ２－ｘｙ－８ｘ３，Ｄ：　≤号’ｌｙＩ≤詈．　解：求驻点，解方程组　ｌｆａｘ，ｙ）＝１６ｘ—Ｙ一２４ｘ＝Ｏ　｝‘（ｘ，ｙ）＝÷ｙ１　—ｘ＝０　得两个驻点（０，０）和（　，２）．但（　，２）不在Ｄ内，故在Ｄ内　仅有唯一驻点（０，０）．　命题二：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间Ｉ（有限或无穷，开或闭）上可　微，又在Ｉ内有唯一驻点ｘ　且为极值点，则ｘ　就是ｙ＝ｆ（ｘ）在区间Ｉ　上的最值点．　这两个命题的几何意义非常明显，且很容易证明．因此，　在学习多元函数的极值和最值的过程中。如果也按一元函数　的理论理解上述两个命题，就很容易产生以下错误认识．　（１）若函数ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在闭区域Ｄ内可微且有多于两个极大　值（或极小值）点，那么在Ｄ内，函数在闭区域Ｄ内至少存在一　个极小值（极大值）点．　（２）若函数ｚ＝ｆ（ｘ，Ｙ）在有界闭区域Ｄ内可微且有唯一的驻　ｆｘ　ｘ，ｙ）＝１６２４８ｘ　ｆｘ　（ｘ，ｙ）一１‘　（ｘ，ｙ）＝÷　在（０，０）点处，由　（ｏ，０）一ｆｘ　（０，０）‘ｆｖ　（０，０）＝一３＜０，ｆ（ｏ，　０）＝１６＞０，可以判定（０，Ｏ）为ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ内的唯一极小值点．但可　以求出ｆ（ｘＩｙ）在边界点（詈，詈）处取得最小值，ｆ（詈，詈）＝盯　《　一１Ｔ）＜０，因此ｆ（０，０）１０并非最小值．　由例２可知ｚ＝ｇ（ｕ，ｖ）在全平面上仅有一个驻点（０，０）且在　该点处由　点（ｘ。，Ｙｏ）（￡（ｘ。，Ｙ。）＝‘（ｘ。，Ｙｏ）＝０）且是函数的极大值点（或极小　值点），则该点必是函数的最大值点（或最小值点）．　以上结论对多元函数都不成立．　对于错误认识（１），我们有这样的例子．　ｇ　（０，０）＝１６，　（０，０）一１，ｇ，ｖ（ｏ，ｏ）＝÷，　（ｏ，Ｏ）一ｇ　（ｏ，０）‘ｇｖｖ（０，０）＜０，ｇ　（０，０）＝１６＞０，　例１：讨论函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）＝（１＋ｅ　ｃｏｓｘ—ｙｅ　的极值．　解：函数的定义区域是整个平面．　求驻点．解方程组　可以判定（Ｏ，０）为ｚ＝ｇ（ｕ，ｖ）在全平面内的唯一极小值点，　ｇ（０，０）＝Ｏ是极小值．但它并不是最小值，如ｚ＝ｇ（ｔａｎ１，ｔａｎ１）：８＋　１　一１　１—８一　＜Ｏ．显然函数的最小值不存在，因为全平面是开　８　８　ｌｆ（ｘ，ｙ）一（１＋ｅ　）ｓｉｎｘ＝Ｏ　【ｆ（ｘ，ｙ）＝ｅ　（ＣＯＳＸ—ｌ－ｙ）＝０　得无数个驻点（ｋ叮Ｔ，（一１）　一１）ｋＥＺ，　由　（ｘ，ｙ）＝一（１＋ｅｙ）ＣＯＳＸ，区域，若有最小值，则一定是内点，是域内的极值点，但前面已　证明域内极小值点不是最小值点．观察这样函数的曲面模型，　我们可以看到显然在极小值点处可以形成“盆地”，但在它周　围的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方，若区域有界，则最　低点就在边界上．　由以上讨论可以看出．多元函数的极值和最值问题要比　元函数的情况复杂得多．即便在有界闭区域的边界上有限　个点的函数值都大于区域内点的函数值，也不能做出区域内　一ｆｘ　（ｘ，ｙ）＝一ｅ　ｓｉｎｘ，ｆ　（ｃｏｓｘ－２－ｙ）　可知在点（２ｋ仃，０）处：　２０１５年第７６期　；试周刊　谈数学解题中发掘隐含条件的若干途径　谢新明　（中国水利水电第八工程局有限公司高级技工学校，湖南长沙４１０１１９）　摘　要：数学题往往是灵活多变的，隐含条件的挖掘能够最大限度地帮助解答者搜集解题的有利信息。本文将对数学解题　中隐含条件的类型、存在方式及挖掘办法进行探讨。　关键词：数学解题　隐舍条件　类型　存在方式　挖掘途径　隐含条件对于解答数学题目来说具有重要的价值，有的　时候，隐含条件往往是解答数学题目的关键之所在，并且制约　着数学题目的解答过程。教导学生开发与利用数学解题的隐　含条件有利于培养学生的逆向思维和学习能力，其在提高数　学教学水平方面具有显著的效果。　隐含条件挖掘的重要性分析　隐含条件挖掘是数学解题过程中的重要推理与演算过　程．尤其是在应用题中，隐含条件的开发直接关系到最后的结　果解答。在一些数学题目中，隐含条件的挖掘能够收到快速解　题的效果。甚至不需要利用到题目中的明显条件，而隐含条件　却往往是最容易被学生忽略的解题要素。总的来讲，挖掘数学　题目中的隐含条件具有以下作用。　（一）快速解题，解锁解题过程，变复杂为简单。　由于隐含条件制约着数学解题过程的发展，并与最终的　结果和解题思路密切相关。因此挖掘数学题目中的隐含条件　具有快速解题、解锁解题过程及变复杂为简单的作用，能够给　予学生激励，激发学生学习数学的自信心。产生学习的自豪感　和成功感。　（二　）培养学生的观察能力和思维能力。　隐含条件的挖掘需要学生反复不断观察和阅读数学问题　的题干．因此隐含条件的挖掘过程具有锻炼学生观察能力的　作用，从隐含条件挖掘方面解答数学问题是一种新的解题方　式．通过观察力的培养及思路的转换能够培养学生的思维能　力。通过思维能力的培养，学生学习其他学科时也可以运用同　样的思维方式进行学习，这是一种学习能力的培养。　（三）提升数学教学水平。降低数学学习难度。　隐含条件的挖掘具有快速、高效解题的特点，通过隐含条　件的挖掘，数学问题的解答就不会显得那么困难．学生学习数　学的积极性得到提高，且能够全心全意地参与数学教学，数学　教学水平自然也会有所提高。　二、关于隐含条件的类型分析　存在于数学题目中的隐含条件由于其存在方式和性质的　差异，也被分为几种不同的类型，下文笔者将对其不同的类型　进行阐述。　一、数学题目给出的条件中存在特殊性，对题目具有隐藏的补充　作用。当解题者感觉题目所给出的条件存在不足或遗漏的时　候就要考虑题目中是否存在补充性隐含条件。作为问题解答　的关键，补充性条件会在解题开始、解题过程中、结果确立等　全部过程实施干扰，始终让人存在一种似有忽略的感觉。　（三）导向性。　导向性隐含条件对解题思路产生影响。导向性隐含条件　未被挖掘往往会破坏解题者已经设计好的解题思路．并在进　行过程中给予一定的阻碍，他们往往存在于题目当中结构或　者将会利用到的概念、公式或定论的纵向、横向因素当中。解　题前能够挖掘出这些导向性隐含条件往往就预示着解题思路　的确立。　（四）综合性。　数学是一门充满了辩证逻辑的学科．一个问题的解答拥　有多种辩证方向和解题思路，数学中的定论、概念、公式等相　互之间几乎都存在论证关系，从这个角度看，数学问题的题目　与解答条件之间也不会是孤立存在的，它们之问始终都存在　着一条关系链，在某一条件介入之后，它们就能够相互转化与　辅证，当然这样的关系同样存在于隐含条件中，除了自身拥有　功能之外，与某一因素结合还会使它们具备其他特殊的辩证　功能，也就是说它拥有了导向、制约、补充等多种功能．这便是　综合性隐含条件。　三、数学解题中隐含条件的存在方式分析　了解与挖掘数学题目隐含条件的首要条件是必须明确各　类型隐含条件的存在方式，养成随时观察与挖掘隐含条件的　思维习惯。　（一）存在与概念或公式中的隐含条件。　数学中的概念与公式大都是叠加、推理而来的．由于具有　广泛辩证性质，因此也受到了一定的制约，而概念与公式的叠　加、辩证及制约条件正是题目当中隐含条件的栖身之所。解题　时必须注意解题定律或公式中的限制范围．找出公式、定律中　有价值的条件。　（二）存在于题设中的隐含条件。　隐含条件的挖掘需要解题者具备良好的文字功底和语言　分析能力。在相当一部分的数学题设当中都存在着隐含条件，　般涉及一些公式和性质的运用。这类隐含条件的挖掘能够　给人以豁然开朗的感觉，找到这类隐含条件之后，问题的解答　就会显得容易得多。　（三）存在于结论中。　存在于结论中的隐含条件一般为限制性的隐含条件．具　有限制结论范围的作用。很多数学题目的答案都会受到一定　　．（一）制约性。　制约性的隐含条件主要是对解题答案存在制约，对解题过　程并没有什么影响。制约性的隐含条件通常存在于数学题目中　出现的公式、概念中，这些制约都是由于它们自身存在制约性　质，例如在ｌｏｇｘ　，答案就受到了Ｏ＜ａ＜ｌ或ａ＞ｌ、ｘ＞Ｏ的限制。　（二）补充性。　一补充性条件的挖掘会影响到整个数学解题过程。在一些　必有极小值点的判断．更不能得出最小值一定在区域内的结　论．对极大值也是如此．所以对一般多元函数求最值的方法是　首先找出函数在区域内的驻点和边界上的最值点。然后比较　它们的函数值确定函数的最值点．在解决具体的实际问题中，　如果根据问题的性质，我们确实可以肯定函数是在区域内部　取得最值时，才能利用域内有唯一驻点且是极值点而得出此　点即为最值点的结论　参考文献：　［１］高等数学．同济大学数学教研室．高等教研出版社，　１９８２．　［２］钱吉林，等．数学分析题解精粹．崇文书局，２００３．