(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法

要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。 作业：习题8－8（P71）3,5,8,9,10

问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例,先来讨论多元函数的极值问题．

一．多元函数的极值

定义 设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有(x,y)(x0,y0)，如果总有f(x,y)f(x0,y0),则称函数zf(x,y)在点(x0,y0)处有极大值；如果总有f(x,y)f(x0,y0)，则称函数zf(x,y)在点(x0,y0)有极小值．

函数的极大值,极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．

例1．函数zxy在点(0,0)处不取得极值,因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点(0,0)的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点． 例2．函数z3x24y2在点(0,0)处有极小值． 因为对任何(x,y)有f(x,y)f(0,0)0．

从几何上看，点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面z3x24y2的顶点,曲面在点(0,0,0)处有切平面z0,从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件)

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,即

fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0．

证明 不妨设函数zf(x,y)在点(x0,y0)处有极大值，依定义,在该点的邻域上均有 f(x,y)f(x0,y0)，(x,y)(x0,y0) 成立．

特别地，取yy0而xx0的点，有f(x,y0)f(x0,y0)也有成立． 这表明一元函数f(x,y0)在xx0处取得极大值，因而必有 fx(x0,y0)0．

1

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

类似地可证 fy(x0,y0)0． 几何解释

若函数zf(x,y)在点(x0,y0)取得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为

zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)

是平行于xoy坐标面的平面zz0．

类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 fx(x0,y0,z0)0，fy(x0,y0,z0)0，fz(x0,y0,z0)0

说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组

fx(x0,y0)0 ，求得解(x1,y1),(x2,y2)(xn,yn)，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数zf(x,y)f(x,y)0y00的驻点．

注意1．驻点不一定是极值点，如zxy在(0,0)点． 怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题． 定理2（充分条件）

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数，又

fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0，

令 fxx(x0,y0)A，fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C，则

（1）当ACB20时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)取得极值,且当A0时，有极大值f(x0,y0)，当A0时，有极小值f(x0,y0)；

（2）当ACB20时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)没有极值；

（3）当ACB20时，函数zf(x,y)在点(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论． 求函数zf(x,y)极值的步骤:

（1)解方程组fx(x0,y0)0，fy(x0,y0)0，求得一切实数解，即可求得一切驻点

(x1,y1),(x2,y2)(xn,yn)；

（2）对于每一个驻点(xi,yi)(i1,2,n)，求出二阶偏导数的值A,B,C；

（3）确定ACB2的符号,按定理2的结论判定f(xi,yi)是否是极值，是极大值还是极小值；

2

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

（4）考察函数f(x,y)是否有导数不存在的点,若有加以判别是否为极值点．

例3．考察zx2y2是否有极值． 解 因为

zxxxy22，

zyyxy22在x0,y0处导数不存在，但是对所有的(x,y)(0,0)，均

有f(x,y)f(0,0)0，所以函数在(0,0)点取得极大值．

注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样? 例4．求函数f(x,y)x3y33x23y29x的极值．

2fx3x6x90解 先解方程组，求得驻点为(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)， 2f3y6y0y再求出二阶偏导函数fxx6x6，fxy0，fyy6y6．

在点(1,0)处，ACB2126720,又A0,所以函数在点(1,0)处有极小值为f(1,0)5; 在点(1,2)处，ACB2720，所以f(1,2)不是极值； 在点(3,0)处,ACB2720，所以f(3,0)不是极值；

在点(3,2)处，ACB2720，又A0，所以函数在点(3,2)处有极大值为f(3,2)31．

二．函数的最大值与最小值

求最值方法：

⑴ 将函数f(x,y)在区域D内的全部极值点求出;

⑵ 求出f(x,y)在D边界上的最值;即分别求一元函数f(x,1(x))，f(x,2(x))的最值; ⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值．

实际问题求最值

根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最值一定在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最值．

例4．求把一个正数a分成三个正数之和,并使它们的乘积为最大．

解 设x,y分别为前两个正数，第三个正数为axy，

问题为求函数 uxy(axy)在区域D：x0，y0,xya内的最大值． 因为

uuy(axy)xyy(a2xy)，x(a2yx)， xy3

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

a2xy0aa解方程组 ，得x,y．

33a2yx0由实际问题可知,函数必在D内取得最大值,而在区域D内部只有唯一的驻点,则函数必在该点处取得最a大值，即把a分成三等份，乘积()3最大．

3另外还可得出，若令zaxy，则

axyz3) uxyz()3(33xyz即 3xyz．

3三个数的几何平均值不大于算术平均值．

例5．由一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm,倾斜角为,那么梯形断面的下底长为242x，上底长为242x2xcos，高为xsin,则断面面积

1 A(242x2xcos242x)xsin

2即

A24xsin2x2sinx2sincos， D：0x12，02，

下面是求二元函数A(x,)在区域

D：0x12，02上取得最大值的点(x,)．

Ax24sin4xsin2xsincos0令  2222A24xcos2xcosx(cossin)0由于sin0，x0上式为

(1)122xxcos02x12cos将代入（2)式得x8，再求出2x24cos2xcosx(2cos1)0(2)cos1，则有600，于是方程组的解是600，x8cm． 233 在考虑边界，当2时，函数A24x2x为x的一元函数，求最值点，由

2244x0，得 x6． Ax所以A(6,)246sin262sin72， 222A(8,)248sin282sin82sincos48383． 33333

4

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域D：0x12，0知2内取得，通过计算得

2时的函数值比600，x8cm时函数值为小，又函数在D内只有一个驻点，因此可以断定，当

x8cm，600时，就能使断面的面积最大．

三．条件极值，拉格朗日乘数法

引例 求函数zx2y2的极值．

该问题就是求函数在它定义域内的极值,前面求过在(0,0)取得极小值；

若求函数zx2y2在条件xy1下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分xy1的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值．

如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出y1x，代入zx2y2中，得zx2(1x)22x22x1成为一元函数极值问题,令zx4x20，得x1，求出极值为2111z(,)． 222但是在很多情形下,将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题,这就是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件．

求函数zf(x,y)在条件

(x,y)0

下取得极值的必要条件．

若函数zf(x,y)在(x0,y0)取得所求的极值，那么首先有 (x0,y0)0．

假定在(x0,y0)的某一邻域内函数zf(x,y)与均有连续的一阶偏导数，且y(x0,y0)0．

有隐函数存在定理可知，方程(x,y)0确定一个单值可导且具有连续导数的函数y(x)，将其代入函数

zf(x,y)中，得到一个变量的函数 zf(x,(x))

于是函数zf(x,y)在(x0,y0)取得所求的极值,也就是相当于一元函数zf(x,(x))在xx0取得极值．由一元函数取得极值的必要条件知道

5

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

dzdyfx(x0,y0)fy(x0,y0)0，

dxxx0dxxx0而方程(x,y)0所确定的隐函数的导数为

dydxxx0x(x0,y0)．

y(x0,y0)dy0中，得

dxxx0将上式代入fx(x0,y0)fy(x0,y0)fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0，

y(x0,y0)因此函数zf(x,y)在条件(x,y)0下取得极值的必要条件为

x(x0,y0)f(x,y)f(x,y)0y00x00(x,y) ． y00(x0,y0)0为了计算方便起见,我们令

fy(x0,y0)y(x0,y0)，

则上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0， (x0,y0)0容易看出，上式中的前两式的左端正是函数

F(x,y)f(x,y)(x,y)

的两个一阶偏导数在(x0,y0)的值，其中是一个待定常数．

拉格朗日乘数法

求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的可能的极值点． ⑴ 构成辅助函数

F(x,y)f(x,y)(x,y),（为常数） ⑵ 求函数F对x，对y的偏导数，并使之为零，解方程组

fx(x,y)x(x,y)0fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0

6

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

得x,y,,其中x,y就是函数在条件(x,y)0下的可能极值点的坐标；

⑶ 如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定． 拉格朗日乘数法推广 求函数uf(x,y,z,t)在条件(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的可能的极值点． 构成辅助函数

F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t)

其中1,2为常数,求函数F对x,y,z的偏导数，并使之为零，解方程组

fx1x2x0f02yy1yf1z2z0 z

ft1t2t0(x,y,z,t)0(x,y,z,t)0得x,y,z就是函数uf(x,y,z,t)在条件(x,y,z,t)0，(x,y,z,t)0下的极值点．

注意:一般解方程组是通过前几个偏导数的方程找出x,y,z之间的关系，然后再将其代入到条件中，即可以求出可能的极值点．

例6。求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积． 解 设长方体的三棱长分别为x,y,z，则问题是在条件 (x,y,z)2xy2yz2xza20 下，求函数vxyz (x0,y0,z0)的最大值．

构成辅助函数F(x,y,z)xyz(2xy2yz2xza2), 求函数F对x,y,z偏导数，使其为0，得到方程组

(1)yz2(yz)0xz2(xz)0(2) 

xy2(xy)0(3)2(4)2xy2yz2xza0由

yxy(2)xxz(3)，得 ， 由 ， 得 ,

zxz(1)yyz(2)即有， x(yz)y(xz),xy ，y(xz)z(xy),yz,

7

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

可得xyz，将其代入方程2xy2yz2xza20中,得 xyz6a． 6这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处取得,即在表面积为a2的长方体中，以棱长为

663a的正方体的体积为最大,最大体积为va． 636例7．试在球面x2y2z24上求出与点(3,1,1)距离最近和最远的点． 解 设M(x,y,z)为球面上任意一点，则到点(3,1,1)距离为 d(x3)2(y1)2(z1)2

但是,如果考虑d2，则应与d有相同的最大值点和最小值点,为了简化运算，故取 f(x,y,z)d2(x3)2(y1)2(z1)2，

又因为点M(x,y,z)在球面上，附加条件为(x,y,z)x2y2z240．

构成辅助函数F(x,y,z)(x3)2(y1)2(z1)2(x2y2z24)． 求函数F对x,y,z偏导数,使其为0,得到方程组

(1)2(x3)2x02(y1)2y0(2) 

2(z1)2z0(3)222(4)xyz4从前三个方程中可以看出x,y,z均不等于零（否则方程两端不等）,以作为过渡,把这三个方程联系起来，有

x3y1z1311， 或xyzxyz故x3z,yz，将其代入x2y2z24中，得 (3z)2(z)2z24， 求出z2，再代入到x3z,yz中，即可得 116，y112， 118

x

(完整)第八节 多元函数的极值及其求法

从而得两点(622622,,)，(,,)， 111111111111对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以最近点为

(622622,,)，最远点为(,,)． 111111111111

思考题

1．若二元函数zf(x,y)在某区域内连续且有唯一的极值点,那么这个点就是函数在该区域上的最大值点或最小值点吗？

2．利用拉格朗日乘数法求函数uf(x,y,z)在条件(x,y,z)0,(x,y,z)0下极值的方法是怎样的？

9