角锥天线设计的非线性方程求解

制　导　与　引　信　

GUIDANCE&FUZE

Vol.31No.1

Mar.2010

文章编号:167120576(2010)0120055206

角锥天线设计的非线性方程求解

江轶慧,　张谟杰

(上海无线电设备研究所,上海200090)

　　摘　要:角锥喇叭天线设计被等同于求解一组非线性方程,方程组的约束条件是两个主波束宽度和增益指标,解向量是决定喇叭形状的一组独立尺寸。求解采用全局收敛准则的

Newton2Raphson迭代法。将指标扩展到一个连续变域后,解向量的矢端将描绘出三维空间曲面,曲面的边界恰对应指标的容许界限。作出该收敛域的几组二维投影图,看出角锥天线特性和算法收敛特征之间的诸多关联。解向量的存在和唯一性得到回答。几种特殊情况下的指标界限被列于文中。设计并加工测量一个S波段角锥天线,证实方法在应用层面的效果。

关键词:角锥喇叭;迭代;收敛;天线

中图分类号:TN823.16　　　　　　文献标识码:A

PyramidalHornDesignbyNonlinearEquationsSolving

JIANGYi2hui,　ZHANGMo2jie

(ShanghaiRadioEquipmentResearchInstitute,Shanghai200090,China)

　　Abstract:Iterationfornonlinearsetsofequationsisappliedtopyramidalhorndesign.Therestrictionsareestablishedbyforcingthebeamwidthesandthegainexpressionstosatis2fysimultaneouslythecorrespondingindiceswhilethesolutionvector,eachdimensionofwhichrepresentsanindependentgeometricalparameterofthehorn,isfoundbyNewton2Raphsoniterationwithanentire2domainconvergencestrategy.Byextendingtheindicestoacontinumm,thesolutionvectorisfoundtolimncontinuoussheetsin3Dspace,theboundaryofwhichcorrespondstothelimitsoftheindicesrange.2Dprojectionsofthisconvergencedomainiscurvedwiththedesignparametersasthreedimensionsvaryingwiththehornindi2ces.Thecurvesgiveaninsightintothecorrelationbetweenthehorncharacteristicsandtheconvergencebehaviorofthealgorithm.Conclusionisderivedabouttheexistenceandunique2nessofthesolution.Thelimitsofindicesforthreespecialcasesarelisted.AnSbandpy2ramidalhornisdesignedandfabricatedtoshowthevalidityofthemethodtoantennaengi2neering.

Keywords:pyramidalhorn;iteration;convergence;antenna

收稿日期:2009-11-10

作者简介:江轶慧(1978-),女,硕士,主要从事计算电磁学和天线技术的研究;张谟杰(1943-),男,研究员,主要从事天线罩和天线技术的研究。

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第31卷

0　引言

角锥喇叭天线的设计方式通常是根据增益的指标,用经验公式估算出一个面的大致尺寸,查阅图线图表得到完整的尺寸值,再视计算出的性能接受与否继续修正。虽然这样不难得到一个可供多数情况下使用的角锥喇叭天线,但是未能做到

性能对两个主面的波束宽度θ0.5H、θ0.5E和增益G这三个指标严格意义上的同时满足。经验公式和图线的适用范围有限,得到的喇叭天线并非最佳,

造成偏差加大。合理指标的界限也从未被设计人员考察过。

本文从分析角锥喇叭天线的严格公式出发,直接求解逆问题,寻找多维方程的解向量。以该解为尺寸的角锥天线,其性能的理论值能够满足任意合理的给定指标,实现了波束宽度和增益的任意控制。对于方程组无解的情形也能够明确指出假想的解不存在,即要求的指标不可实现。设计过程因此严格化。

在此基础上,描画收敛域的完整图界并讨论解向量的存在性和唯一性。从中看出口面分布,口面利用率,指标界限和算法收敛域之间的关联。

设计并加工、测量了一个S波段角锥天线,证实方法在应用层面的效果。

1　基于逆问题求解的综合方法

1.1　分析公式

根据角锥喇叭的内外场两步分析法以及口面场等效假定[1]

,主模工作频率下喇叭开口面上的

场为

E=^yEπx

-j0cos

λ

π

x2

R+

y2

RDe

H

E

(1)

H

　　等效源辐射的(未归一化)远场幅度和增益表达式为

E

far+2sinH

=(1+cos

θ){ej

π

λR1

4

Hλ

θ2DH

[c(u1)-

js(u1)+c(u2)-js(u2)]}+

(1+cosθjπ

){e

4λRH

1

-2sinλ

θ2DH

[c(u3)-

js(u3)+c(u4)-js(u4)]}

(2)

Efar

jπE

=(1+cos

θ)eλsin2

θRE

[c(w1)-

js(w1)+c(w2)-js(w2)]

　　主波束宽度为

θ0.5H=(θ+-EH-θH)|

Efarmax

H=2

θ+-0.5E=(

θ-θ)|EE

E

Efarmax

E

=()

2

3　　其中:

u1

H

11=

D-λRH2λRH

D+2sin

θHλu1DH

λR1

2=

λR+

2sinθ

H2H

D+

H

λu1DH

λ1

2sinθ3=2λR+

RHH

D-

H

λ

u1DH

4=

λ-λH

1-2sin

θ2

RRDH

λ(4)

H

wD1=

E

2RE

2λR+

E

λsinθwDE

2=2RE2λR-

λ

sinθ

(5)

E

G=

8πRHRE

2

D{[C(u)+C(v)]+

HDE

[S(u)+S(v)]2}[C2

(ω

)+S2(ω)]2(6)

式(6)中:

u=

1

DH

2λR+

λRH

H

DH

v=

1DH

2

λ-

λRH

()

RH

DH

7ω=

DE

2λREu

C(u)=∫cosπ02t2

dtu

S(u)=

∫

sin

π(8)

0

2

t2

dt式中:DH为口面宽边的长度;DE为口面窄边的

长度;H为喇叭高;RH为H面斜径;RE为E面斜径;λ为工作波长;式(8)为菲涅尔积分。

1.2　约束方程组

选取口面长宽DH,DE和高度H为决定式

(2)和式(6)的独立变量。将波束宽度(3)看作式

(2)的必然结果,列出波束宽度和增益关于尺寸的

形式表达式,迫使它们等于要达到的指标,就可建立起一组约束:

第1期江轶慧,等:角锥天线设计的非线性方程求解　　　　

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G(DH,DE,H)=G0

θ0.5H(DH,DE,H)=θ0.5H0(9)

θ0.5E(DH,DE,H)=θ0.5E0

式中,左边项Gθ,0.5H和θ0.5E仅代表增益和波束宽度关于尺寸DH,DE,H的可解析或不可解析的形式,右边项G0,θ0.5H0和θ0.5E0是要求达到的指标数值。从中解出独立尺寸DH,DE,H,就得到了设计值。

2　求解方法

方程(9)属于N个未知量的N个方程。常用多维方程求根的Newton2Raphson迭代法或由之发展而来的拟Newton迭代法可以给出其一个精确解[2]。但是,前提是迭代的初始预测向量必须足够靠近真实解向量,否则x可能会偏离至无规则的远处而使求解失败。这种对初始值的明显依赖会造成如下弊端:

a)需要事先获知解的大致位置;

b)当结果不收敛时,无法判断是因为初始值取得不够理想还是该问题本身就无解。

为克服这两点,本文用Newton2Raphson法结合一种全局收敛的改进来求解[2],只需粗略的取定DH,DE,H三个尺寸的起始值就能迭代出满足方程的一组解。2.1　迭代方法

向量方程:

F(x)=0

(10)

其中:

x=(…,xi,…)　F=(…,Fi,…)　i=1,…,N

　　Taylor展开为

F(x+δx)=F(x)+J

=

δx+O(δx2

)(11)

式中:偏导数构成的Jaccobi矩阵为Jij≡

5Fi

5x(12)

j

忽略δx2及其更高阶项,并置F(x+δx)=0,可以得到一个关于修正项δx的线性方程组:J

=

δx=-F(13)　　对式(12)的矩阵方程求出的修正项添加到解向量中:

xnew=xold+δx

(14)

这一过程不断迭代直到收敛为止。2.2　全局收敛改进

引入辅助函数:

f=

12

F

F

(15)

　　沿每一次步长δx方向求f的极小值:

f(x+λδx)=fmin(16)

得到相应λ,以λδx代入式(16)中δx。

2.3　求解结果

(G,θ0.5H,θ0.5E)对(DH,DE,H)是渐变的,使方程有解的指标全体也描划出一个连续的三维区域,其边界使得(G,θ0.5H,θ0.5E)对DH,DE,H至少之一趋向一个极限。由此,固定指标中的两个值,允许另一个值变动,计算这一界限的三个两维投影,如图1～6所示。

图1　尺寸随增益变化(局部放大)

图2　尺寸随增益变化

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　　　　　制　导　与　引　信　　第31卷

图3　尺寸随H面波束宽度变化(局部放大)

图4　尺寸随H面波束宽度变化

图5　尺寸随E面波束宽度变化(局部放大)

　　图中横轴表示另两个指标固定前提下变动的一个指标,纵轴表示满足指标的一组尺寸。粗线表示主值,即实用段的尺寸;细线表示存在的另外

图6　尺寸随E面波束宽度变化

多组解,是口面分布畸变后的结果。图1,3,5显示小尺寸结果;图2,4,6给出完整结果。

3　结果分析

3.1　全局收敛

计算结果体现出该算法的全局收敛特性。只要在工作波长的尺度内选择,三个尺寸的迭代起始点总能收敛到一组结果,表现出足够宽范围内

的全局收敛特性。虽然不会是绝对意义上的全局收敛,因为起始值的任意选择也不能超出使分析公式有意义的限度,否则会引起波导截止或函数

形态严重畸变导致计算缓慢。3.2　收敛域的有界性和多值性

既然算法是全局收敛的,只要有解就必能找到,不收敛的情形只能代表问题本身就无解,而无

解的原因只能是指标规定的不合理。由图可见:

a)使得方程组(9)有解的指标存在一个上限和下限,超过这个界限迭代不会有结果;

b)满足同一组指标的尺寸取值并不是唯一的,即方程组是多解的。

考察粗线表示的主值支,它代表的解其实是口面上只有同相场情形下的尺寸。此时,当增益或波束宽度之一过大到无法与其余指标相适应时,算法试图通过无限延伸喇叭长度H,趋近这样不合理的指标,因为H越大,口面相差越趋于分布均匀,因此利用效率越高。但是,对于一定波束宽度的天线来说,增益的提高不可能是无限制

第1期江轶慧,等:角锥天线设计的非线性方程求解　　　　

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的(或者对于一定增益的天线来说,波束宽度的增加也不可能是无限制的),因此天线就达到了某一指标的上限,也就是此时结果不再能收敛的物理意义所在。

另一方面,当增益或波束宽度之一减小,而其余指标不变时,算法主要通过增加口面宽边DH同时适当调整DE和H来实现,因为这样会使得口面相差分布趋于不均匀,利用率降低。值得注意的是,随着DH的增加,增益会到达一个极小值点,然后再次增大重复先前的数值,致使解向量第二分支的出现。这是由于此时边缘相差已超过,使得口面上出现反相场部分抵消了中心同相场的最外缘,相位不均匀性被削弱,反而使口面利用率再次回复,并且随着反相场的加强而增大。反相场刚出现的这一点也就规定了增益(或波束宽)指标能够到达的下限。同理,DH继续增加会出现边缘场的多次相位反转,增益也随之波动达到多个极值点,其极小值不低于两分支汇合处的第一极小值,极大值甚至超过主单值支的上限。此时,H面呈现的是从等效相位中心发出的近似球面波被该口面所截的n多个波长的投影,其整体幅度是沿DH的一个半波长余弦分布,相位从口面中心每隔一定间隔反转一次。当DH→∞,所有同相场和反相场的总体贡献收敛于一个确定数

值,因此由图2,图4,图6看出,G或θ0.5H0,θ0.5E0最终趋于不再随尺寸变动。

3.3　解向量的存在条件和唯一与否

收敛域全图表明,当所给指标不超出对应的收敛域界限时,存在满足式(9)的多个解向量,其中的最小尺寸值是口面场正常分布下的实用设计值。

主单值支的收敛域边界对应的指标容限为:

a)当固定θ0.5H0=30°θ,0.5E0=30°时,G0的容

许变动范围为[14.66611dB,15.815dB];

b)当固定G0=14.66611dB,θ0.5E0=30°时,0.5H0的容许变动范围为[30°

,38.726°];c)当固定G0=14.66611dB,θ0.5H0=30°时,0.5E0的容许变动范围为[30°,38.750°]。

4　设计实例

设计S波段角锥喇叭天线。

4.1　设计要求

中心频率f0=3.08GHz,增益为15dB。馈电波导采用S波段标准波导:a×b=72.14×34.04mm2。4.2　设计值

将增益G0=15dB,主波束宽度θ0.5H0=30°,

0.5E0=28°代入式(8)的右端项,求解约束方程组得到一组尺寸:

DH=255.49mmDE=189.26mmH=122.43mm

4.3　结果对比

依据这组尺寸实际加工了二个角锥天线。对该天线作回代计算,HFSS仿真和实物测量。结果如下:

(1)远场

图7和图8是归一化远场幅度的回代计算值、HFSS仿真值和测量值结果对比。说明:测量的频率点是3.1GHz。

图7　H2面归一化远场幅度

　　(2)主波束宽度

主波束宽度的计算值、仿真值和测量值如表1所示。

　　主面波束宽度的回代计算值与指定指标相同,表明算法收敛;计算值与仿真或测量值间的误差是分析式(2)本身引起的,与求根算法无关。

πθθθ60

　　　　　制　导　与　引　信　　第31卷

图8　E2面归一化远场幅度

表1　主波束宽度的计算值、仿真值和测量值

计算值

仿真值

测量值

θ0.5H

30°

32°

31.73°1#31.52°2#θ27.64°1#0.5E

28°28°

27.98°2#

　　(3)增益

　　a)计算值=15.001dB;

b)仿真值=15.33dB;

c)测量值=15.17dB1#;

15.28dB2#。

(上接第32页)

3　结束语

本文根据工程应用的需要,首先阐述了传统使用DSP实现CZT所面对的不足,然后从CZT的原理出发,提出了基于FPGA硬件平台实现CZT的方法。试验证明该方法的实时性比传统使用DSP实现显著提高,并且易于硬件实现,具有较高的工程应用推广价值。

　　同理,增益的回代计算值与指标相同也表明了算法收敛;而计算值与仿真或测量值间的误差是式(6)本身包含的,与求根算法无关。

5　结论

文章实现了全局收敛改进的Newton2Raph2son算法在天线设计中的应用,使多参数综合的逆问题一次性严格求解成为可能;描画出角锥天线设计尺寸收敛域的完整图界。发现收敛域的分布显示多值和有界两个特征,是角锥天线尺寸形

状,口面场,天线性能之间物理关联的呈现。由此回答了矢量方程(9)解向量的存在条件和唯一与否。采用本文论述的设计方法,通过实物研制与测试和仿真验证了方法的正确性。易于推广到已知分析函数的任何其它器件设计问题上。参考文献

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