高中数学重要二级结论

1.若奇函数f(x)在原点处有定义,则f(0)0,若奇函数f(x)周期为T,则

Tf(T)0,f()0(需在相应点有定义)

22.幂函数yxa(aZ),当a为奇数时为奇函数，当a为偶数时为偶函数. 3.形如yf(x)f(x)的函数为偶函数,形如yf(x)f(x)的函数为奇函数. 4.形如yf(x)的函数为偶函数.

ax15.形如yx的函数为奇函数

a16.形如yloga1b2x2bx的函数为奇函数

2bx7.形如ylogaa8.形如y1bx的函数为偶函数

nn(logm,) 中心对称 的函数关于点aaxm2m9.形如yf(x)f(2ax)的函数关于xa轴对称,形如yf(x)f(2ax)的函数关于点(a,0)中心对称.

10.形如yf(xa)的函数关于xa轴对称. 11.若f(x)满足faxfbx,则fx关于xab轴对称（括号内相加除以2）. 2ab,c中心对称；

212.若f(x)满足faxfbx2c,则fx关于点13.函数f(xa)与函数f(bx)关于xba轴对称（括号内零点之和除以2）. 2bacd,)中心对称 14.函数f(xa)c与函数df(bx)关于点(2215.若f(x)满足f(xa)f(xb),则f(x)周期为ab 16.若f(x)同时关于xa和xb轴对称,则f(x)周期为2ab 若f(x)同时关于(a,m)和(b,m)中心对称,则f(x)周期为2ab

若f(x)关于(a,m)中心对称,同时关于xb轴对称,则f(x)周期为4ab

17.若函数f(x)满足：f(xa)+f(xb)C(C为常数),则f(x)周期为2ab 特殊地：若f(xa)f(x),则f(x)周期为2a.

18.若函数f(x)满足：f(xa)f(xb)C(C为常数),则f(x)周期为2ab 特殊地：若f(xa)1,则f(x)周期为2a. f(x)1f(x),则f(x)周期为2a.

1f(x)19.若函数f(x)满足f(xa)若函数f(x)满足f(xa)f(x)1,则f(x)周期为2a.

f(x)11f(x),则f(x)周期为4a.

1f(x)f(x)1,则f(x)周期为4a.

f(x)11,则f(x)周期为3a.

1f(x)若函数f(x)满足f(xa)若函数f(x)满足f(xa)20.若函数f(x)满足f(xa)21.若函数f(x)满足f(x)f(xa)f(x2a),则f(x)周期为6a 22.函数奇偶性的叠加：

奇奇=奇,偶偶=偶

奇/偶奇/奇=偶,=奇,偶/偶= 偶偶/奇奇（奇）=奇，奇（偶）=偶，偶（奇）=偶，偶（偶）=偶；（内偶则偶，内奇同外） 23.若f(x)为奇函数则f(x)为偶函数,若f(x)为偶函数则f(x)为奇函数. 24.f(x)ax3bx2cxd(a0)的图像关于点(

三角函数二级结论

1.当ABC时,tanAtanBtanCtanAtanBtanC 2.当AB 当ABbb,f())中心对称. 3a3a4时,(1+tanA)(1tanB)2 时,(1+3tanA)(13tanB)4

3 当AB6时,(1+334tanA)(1tanB) 333ABCsincos22sin(AB)sinCsin2(AB)sin2CABC3.在△ABC中,cos(AB)cosC,cos2(AB)cos2C,cossin

22tan(AB)tanCtan2(AB)tan2CAB1tanC2tan214.△ABC中,若AB(x1,y1),AC(x2,y2),则SABCx1y2x2y1

2

abc) 2abc) 6.△ABC三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则SABC=pr,(p25.△ABC三边长分别为a,b,c,则SABCp(pa)(pb)(pc),(p

7.△ABC三边长分别为a,b,c,外接圆半径为R,SABC=abc 4R1coscos=cos()cos()2sinsin=1cos()cos()28.积化和差：

1sincos=sin()sin()21cossin=sin()sin()2+cos+cos=2coscos22coscos=2sin+sin22

和差化积：sinsin2sin+cos22+sinsin2cossin229.正弦平方差公式：sin()sin()sin2sin2 sin2

余弦平方差公式:cos()cos()cos2向量二级结论

1.向量平方差公式：

向量平方差公式1（极化恒等式）：

CDA 如图：△ABC中,D为BC中点则:

B

22ABAC(ADDB)(ADCD)(ADDB)(ADDB)ADDB

向量平方差公式2：

DCAB

22如图：平行四边形ABCD中,ACBD(ADAB)(ADAB)ADAB

2.三角形四心的向量表达式与奔驰定理：

（1）奔驰定理：已知点O为△ABC平面上一点,则SBOCOASAOCOBSAOBOC0

（2）三角形四心的向量表达：

①已知O为△ABC的重心,则OAOBOC0

②已知O为△ABC的垂心,则tanAOAtanBOBtanCOC0（OAOBOBOCOAOC）

③已知O为△ABC的外心,则sin2AOAsin2BOBsin2COC0（OAOBOC）

④已知O为△ABC的内心,则aOAbOBcOC0 a3.单位向量：（1）对于非零向量a,则是与a共线的单位向量.

a

ab（2）对于非零向量a,b,若p(),则p与a,b夹角平分线共线

ab（3）任意单位向量可设坐标为(cos,sin)

4.向量与三点共线及向量的等和线：

（1）三点共线的向量表达：如图A,B,C三点共线,O为线外一点：

OACB

①若OCxOAyOB,则xy1,反之也成立.

AC,则OCOAOB ②若

BC③若ACCB,即OCOA(OBOC),将此式整理即能用OA,OB,OC中任意两个

为基底表示第三个. （2）向量的等和线：

APOlB

如图,向量OA,OB不共线,若直线l与直线AB平行（或重合），称直线l为基底OA,OB的等和线.若P在直线l上,且OPxOAyOB,则xy为定值,xy随O与l的距离成比例扩

大或缩小：

①当l与AB重合时：xy1 ②当l过点O 时：xy0

③当l在O与AB之间时：0xy1

④当l在O与AB同侧,O到AB这一侧时：xy1 ⑤当l在O与AB同侧,AB到O这一侧时：xy0

5.平行四边形对角线定理：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方之和

DCAB

222222如图：平行四边形ABCD中,ACBD(ADAB)(ADAB)2(ADAB)

6.矩形对角线定理：矩形所在平面内任意一点到矩形两对角线端点距离的平方和相等.

DPACB

2222如图,四边形ABCD为矩形,P为矩形所在平面上一点,则PAPCPBPD

数列二级结论

1.等差数列an中,若amn,且anm,则amn0 . 2.等差数列an中,若Smn,且Snm,则Smn(mn). 3.等差数列an中,S2m1(2m1)am,S2mm(aia2m1i) . 4.等差数列an和bn 前n项和分别为Sn和Tn,则

anS2n1apS2p12q1,. bnT2n1bqT2q12p15.等差数列an,若SMSN(MN) ,则SKSMNK.

6.等差数列an,a10(a10) ,且SMSN(MN),若MN为偶数,则当nMN时, 2Sn最大,若MN为奇数,则当nMN1MN1或n 时,Sn最大（最小）. 227.等差数列an,公差为d,则Sm,S2mSm,S3mS2m 也成等差数列且公差为m2d.

8.等差数列an,公差为d，则SmnSmSnmnd

S奇anS奇n==9.等差数列an前2n项中：,前2n1项中： S偶an+1S偶n110.等差数列an首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则公差为

11.等比数列an中：a1a2a3a2m1am

12.an是公比为q的正项等比数列,则logman是公差为logmq的等差数列.

n11113.等比数列an公比为q,前n项和为Sn,数列前n项和为Tn，数列a1前

anq2m1Sn也为等差数列且首项仍为a1,nd. 2,a1a2a3a2m(amam1)m .

n项和为Mn,则

SSna1an ；nqn1

MnTnm14.等比数列an公比为q,则Sm,S2mSm,S3mS2m 也成等比数列且公比为q . 15.等比数列an公比为q,前n项连乘积为Tn,则Tm,2T2mT3m, 也成等比，且公比为qm TmT2m16.an为公差不为零的等差数列,且am,ak,ap依次成等比数列,则公比为17.等比数列an公比为q,若1q1，则Sn趋近于18.等比数列an,SmnSmqSn

mpk kma1 1q