高中数学知识清单完整版

（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“” 表示）。

（3）常用数集及其表示符号

自然数集 名称 正整数（非负整数集 整数集 有理数集 实数集 集） 符号 N N* Z Q R （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。

二、集合间的基本关系 表示 定义 记法 关系

相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 AB 集合 间的 子集 集合A中任意一元素都在集合B中 AB或BA 基本 关系真子集合A中任意一元素都在集合B中， 集 且集合B中至少有一个元素不在集合 A中 空集（没有任空集是任何集合的子集 A 何元素的集合） 空集是任何集合的真子集

三、集合的基本运算

集合的并集 集合的交集 集合的补集 符若全集为U，集合A是U的号集合A和集合B集合A和集合B子集，集合U除去集合A中表的所有元素，记作的共同元素，记作所有的元素，剩余的所有元示 AB AB 素，记作CUA 图 形表示 意ABxxAABxxA义 或xB 且xB CUAxxU且xA (1)AA; (1)A; (1)ACUAU; (2)AAA; (2)AAA; (2)ACUA; 性(3)ABBA(3)ABBA质(3) ; ; CUCUAA; (4) ABA (4) ABA (4)CUABCUACUB BA AB (5)CUABCUACUB

知识拓展：

设有限集合A中元素的个数为n，则（1） （1）A的子集个数是2n； （2）A的真子集个数是2n-1； （3）A的非空子集个数是2n-1；

（4）A的非空真子集个数是2n-2。

一、不等式的定义

用数学符号“ 、 、 、 、 ”连接两个数或代数式以表示它

们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 abba  传递性 ab,bcac  可加性 abacbc  abc0acbc 可乘性 c 的符号 abc0acbc 同向可加性ab cdacbd  同向同正可乘ab0性 cd0acbd  可乘方 ab0anbnnN,n1  可开方 ab0nanbnN,n2 同正 三、比较大小的基本方法 作差法：

理论依据：ab0ab;ab0ab;ab0ab。 基本步骤： （1）作差；

（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子

分母有理化、指数对数的恒等变形）； （3）结论（与0比较）。 四、不等式的解法

1、一元一次不等式组（ab）：

（1）xaxb 的解集为xxb； （2）xaxb的解集为xxa；

（3）xa的解解为xbxaxb；（4）xaxb的解集为

2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0) 的图像 一元二次方程 有两个不相等实根 有两个相等实根 ax2bxc0 没有实数根 x1,x2x1x2 x1x2b2a (a0)的根 ax2bxc0 (a0)的解xxx1或xx2 b集 xx2a R ax2bxc0 (a0)的解xxx1或xx2 R  集 ax2bxc0 (a0)的解xx1xx2   集 ax2bxc0 (a0)的解xx1xx2 xxb集2a 3、绝对值不等式

（1）当a0时，有xaxxa或xa；xaxaxa； （2）当a0时，有x0xx0； x0； （3）当a0时，xaxR； xa； （4）当a0时，有

cxdaxcxda或cxda；

cxdaxacxda.

（5）当a0时，有

cxd0xcxd0； cxd0。（6）当a0时，有

cxdaxR；cxda。

4、分式不等式

（1）fxfx*ggx0x0 ；

gx0（2）

fxfx*gx0gx00 gx（3）

fxgx0fx*gx0 （4）

fxgx0fx*gx0 一、函数的概念

1、定义

（1）两个非空的数集A、B；

（2）如果按照某种确定关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集（1）定义域：各个部分的并集； （2）是一个函数；

（3）求fx，要判断自变量x在哪个范围内，在代入相应的表达式。 合B中都有唯一确定的数fx 和它对应；

（3）称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yfx,xA。2、函数的定义域、值域

（1）定义域：自变量x的取值范围； （2）值域：与x相对应y的取值范围。

3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 二、函数的相关结论

1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。

2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。

3、分段函数：自变量x的取值范围不同，需要不同的对应法则。

4、求函数定义域的方法：

（1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为R；分母0；偶次根式下0；奇次根式为R；0次幂底0；指数为R；对数0 。

（2）若已知函数fx的定义域为a,b ，则函数fgx 的定义域由

agxb求出。

（3）若已知函数fgx的定义域为a,b，则函数fx的定义域为gx在xa,b时的值域。 5、求函数解析式的方法

（1）待定系数法：若已知fx 的解析式类型，设出它的一般式，根据

特殊值，确定相关系数即可；

例1、已知fx是一次函数，且ffx4x3 ，则fx的解析式。

（2）换元法：设tgx ，解出x ，代入fgx，求ft的解析式即可； （3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于fx 的方程组求出fx ；

例2、已知函数fx2f1xx ，求fx的解析式。

（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。

例3、已知f01 ，对任意的实数x,y 都有fxyfxy2xy1 ，求fx的解析式。 一、函数的单调性 1、单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数fx 的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ， 定义 当x1x2 时，都有fx1fx2，当x1x2 时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上那么就说函数fx在区间D上是增函数。 是增函数。 2、单调区间的定义

若函数fx在区间D上是增函数或减函数，则称函数fx在这一区间上

具有单调性，区间D叫做fx的单调区间。 3、判断（证明）单调性的方法

（1）图像法：在区间D上，图像呈上升趋势，则函数在区间D上是增函

数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间D上是减函数。 （2）利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取x1,x2D，且x1x2； b. 作差fx1fx2；

c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；

d. 定号（即判断fx1fx2的正负，和“0”比较）； e. 下结论（即指出函数fx在给定的区间上的单调性）。 4、几种初等函数单调性的判断（证明） （1）一次函数ykxb(k0),xR

解（证明）： 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，则

fx1fx2(kx1b)kx2b

k(x1x2)

x1x2x1x20

当k0时，有

fx1fx2k(x1x2)0

即 fx1fx2 故函数ykxb在R上是增函数。 而当k0时，有

fx1fx2k(x1x2)0

即 fx1fx2

故函数ykxb在R上是减函数。 （2）二次函数yax2bxca0

解：单调区间为,bbb2a ，2a, ,当a0时，函数在,2a是减函数；在b2a,上是增函数；当a0时，函数在,b2a是增函数；在b2a,上是减函数 证明函数yax2bxca0在,b2a是减函数；在b2a,上是增函数。

证明：a. 在,b2a上任取x1,x2,且x1x2，则 f(xx21)f2ax21bx1cax2bx2cax221ax2bx1bx2ax221x2bx1x2

ax1x2x1x2bx1x2x1x2ax1x2bx1x2x1x20

又x1b2a,xb22a xbbb1x22a2a,x1x2a 又a0,ax1x2b

ax1x2b0

f(x1)fx2x1x2ax1x2b0

即 f(x1)fx2

故函数yax2bxca0在,b2a是减函数。

b.在b2a,上任取x1,x2,且x1x2，则 f(x)fx2212ax1bx1cax2bx2cax2ax212bx1bx2ax221x2bx1x2ax1x2x1x2bx1x2x1x2ax1x2bx1x2x1x20

又x1bb2a,x22a xb1x22ab2a,xb1x2a 又a0,ax1x2b

ax1x2b0

f(x1)fx2x1x2ax1x2b0

即 f(x1)fx2 故函数yax2bxca0在b2a,是减函数。 （3）反比例函数ykx(k0)

解：单调区间为,0 ，0,，当k0时，函数在,0和0,上都

为减函数；当k0时，函数在,0和0,上都为增函数。 证明函数ykx(k0)在,0上是减函数；在0,上是减函数。

证明：在,0上任取x1,x2,且x1x2，则

f(x1)fxkk2x1x2

kx2kx1x

1x2kx2x1x1x2x1x2x2x10

又k0,kx2x10 又x10,x20，x1x20

f(xkx2x11)fx2x0

1x2即 f(x1)fx2

故函数y(k0)在,0上是减函数。

（4）指数函数yax ，当0a1 时，在R上是减函数；当a1时，在Rkx又a1,axx1

12即

f(x1)1 上是增函数。

证明：a. 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，则f(xx1)fxa1ax2ax1x2 2x1x2,x1x20

又0a1,ax1x21

即

f(x1)fx1 2故 f(x1)fx2

所以函数yax0a1 在R上是减函数。

b. 在定义域R上任取x1,x2R,且x1x2，则

f(x1)ax1x1x2fxx2a 2ax1x2,x1x20

fx2故 f(x1)fx2 所以函数yax0a1 在R上是增函数。 例1 讨论函数fxaxx21a0 在1,1上的单调性。解：任取x1,x21,1，且x1x2，则

f(x1)fx12axx2ax211x221ax1x221ax2x211x211x221ax21x2ax1ax2x21ax

2x211x221ax22

1x2ax2x1ax2ax1x2211x21ax1x2x2x1ax2x1x211x221ax2x1x1x21x211x2211x1x21

x2x10,x1x210,x2211x210

又a0,fx1fx20

故函数fxaxx21a0在1,1上为减函数。

二、函数的奇偶性

1、奇函数、偶函数的概念

奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数fx 的定义域内任意关于y 轴对称 一个x，都有fxfx ，那么函数fx是偶函数。 如果对于函数fx 的定义域内任意奇函数 一个x，都有fxfx ，那么函关于原点对称 数fx是奇函数。 2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤

（1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称； （2）求fx；

（3）判断fx是否等于fx或fx：

a. 若fxfx，则fx是偶函数； b. 若fxfx,则fx是奇函数；

c. 若fxfx且fxfx,则fx既是偶函数又是奇函数；

d. 若fxfx且fxfx,则fx既不是偶函数也不是奇函数；

例2 判断下列函数的奇偶性

（1）fx1x1x1x （2）fx4x2x33

（3）fxx22x1(x0),x22x1(x0);

解：（1）因为要使函数有意义，要满足

1x1x0，即 1x01x0 或1x0 1x0解得 1x1

由于定义域关于原点不对称，所以函数fx既不是偶函数也不是奇函数。（2）因为要使函数有意义，要满足4x20330

x解得 2x2 且x0 所以函数的定义域关于原点对称。

fx4x24x2x33x

2又fx4x4x2xx

fxfx ，即函数是奇函数。

（3）函数的定义域为xx0 ，关于原点对称，

当x0时，x0,fxx22x1x22x1fx， 当x0时，x0,fxx22x1x22x1fx，fxfx ，即函数是奇函数

三、二次函数 1、二次函数的定义

形如fxax2bxc(a0) 的函数叫做二次函数。

2、二次函数的三种表示形式

（1）一般式：fxax2bxc(a0)；

2（2）顶点式：fxaxb2a4acb24a(a0)；

（3）两根式：fxaxx1xx2(a0)。 3、二次函数的图象和性质

解析式 fxax2bxc(a0) fxax2bxc(a0) 图象 定义域 R R 值域 4acb24, 4acb2 a,4a最值 fx4acb2min4a fxacb2max44a 在,b2a 上单调递减，在在,b2a 上单调递增，在单调性 b2a,上单调递增 b2a,上单调递减 奇偶性 当b0 时为偶函数；当b0时为非奇非偶函数 顶点坐2b2a,4acb4a 标 对称性 图像关于直线xb2a对称 四、幂函数

1、幂函数的定义

形如yx 的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数。 2、幂函数的性质

（1）当0 时，幂函数yx有下列性质：

a. 图像都通过点0,0,1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随x的增大而增大。 （2）当0 时，幂函数yx有下列性质： a. 图像都通过点1,1 ；

b. 在第一象限内，函数值随x的增大而减小

例1 若函数fx是幂函数，且满足f43f2，求（1）fx的函数表

达式；（2）求f12。

解：设fxx，

f43f2,43*2 ，223*2 ，即23，故

log23log3 ，所以fxxlog223，则f1132=

22log213。 例2 已知幂函数fxxm22m3mZ为偶函数，且在区间0,上是单调增函数，求fx的函数表达式

解：fx在区间0,上是单调增函数

m22m30 ，即m22m30

1m3, 又mZ,m0,1,2

当m0,2时，fxx3不是偶函数，而当m1 时，fxx4是偶函数

fxx4 。