总复习 爬坡题
例1 两个数的最大公因数是30，最小公倍数是180。其中的一个数是90，另一个数是多少？
【详解】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先180除以90得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数30乘另一个数的独有因数，即可得解。
【答案】180÷90=2 30×2=60 答：另一个数是60。
例2 四个连续自然数的乘积是11880，求这四个自然数的和。
【详解】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先把11880分解质因数，然后适当的调整计算，即可求出这四个连续的自然数，再求出它们的和。 【答案】把11880分解质因数： 11880=2×2×2×3×3×3×5×11； 3×3=9 2×5=10 2×2×3=12
这四个自然数数是9，10，11，12。 9+10+11+12=42
答：这四个自然数的和是42。
1例3 商场有“长虹”和“海尔“液晶电视75台，售出“长虹”电视的和“海
33尔”电视的后，两种电视共剩下42台。原来两种电视各有多少台？
51【详解】此题的两个分数单位“1”不同，我们可假设都卖了，这样的话一共
31就卖了75的，即25台，还剩50台。其实是剩余42台，差的8台，是把“海
314尔”液晶电视的也假设为售出造成的。因此，8台和对应，也就是“海尔”
3154液晶电视的是那8台，所以，先求出了“海尔”液晶电视的台数，再用两种
15电视的总数量减去“海尔”液晶电视的数量就是“长虹”电视的数量。
1【答案】75×（1-）
32 =75×
3 =50（台）
31（50-42）÷（-）
534=8÷
15=30（台） 75-30=45（台）
答：“长虹”液晶电视有45台，“海尔”液晶电视有30台。
例4 一个文具盒卖价5元，如果小东买了这个文具盒，小东与小鹏的钱数之比是2：5，如果小鹏买了这个文具，则小东与小鹏的钱数之比是8：13，小东原来有多少钱？
【详解】由题意可知：小东和小鹏剩余的钱数的和是不变的，把二人剩余的钱数
2，5288当小鹏买了这个文具盒后，小东的钱数，占总剩余钱数的，增加了（
81381328-），增加的分率所对应的量是5元，于是用对应量5除以对应分率（528132-），就得到二人剩余钱数的总量，进而根据求一个数的几分之几是多少，52看作单位“1”，则小东买了这个文具盒后，他剩余的钱数占总剩余钱数的
用乘法即可求解。
828-）×
81352813828 =5÷()
2172128 =5÷
2121【答案】5÷（
=20（元） 答：小东原来有20元钱。
例5 甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B地时，乙离B地还有35米，丙离B地还有68米；当乙跑到B地时，丙离B地还有40米，A、B两地相距多少米？
【详解】依据题意：当甲跑到B地时，乙离B低还有35米，丙离B地还有68
米；当乙跑到B地时，丙离B地还有40米，也就是说当乙跑35米到达B地时，丙跑了68-40=28（米），据此先求出乙和丙的速度比，设A、B两地相距x米，依据路程和速度成正比可列方程：（x-35）：（x-68）=4：5，依据等式的性质即可求解。
【答案】设A、B两地相距x米。 68-40=28（米）
35：28=5：4
（x-35）：（x-68）=5：4 5x-340=4x-140 5x-340+340=4x-140+340 5x-4x=4x+200-4x x=200 答：A、B两地相距200米。
例6 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AE=EB=CD=3厘米，BC=ED=2厘米。以CD边为轴将该梯形旋转一周，形成的物体体积是多少？
【详解】将梯形ABCD以CD为轴旋转一周后形成的物体，是一个底面半径是2厘米、高为6厘米的圆柱中挖去一个底面半径是2厘米、高为3厘米的圆锥，分别计算出圆柱的体积和圆锥的体积，然后相减即可。也可以这样分析：圆锥的体
1积是与其等底等高圆柱体积的，则旋转后上半部分的物体体积相当于下半部分
3255圆柱体积的，于是该物体的体积是下半部分圆柱体积的，列式可得×3.14
333×2²×3=62.8（立方厘米）。
1【答案】3.14×2²×6-3.14×2²×3×
31 =12.56×6-12.56×3×
3 =75.36-12.56
=62.8（立方厘米）
答：形成的物体体积是62.8立方厘米。
例7 一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥的底面半径为3分米，圆柱的底面半径为2分米．容器内装有水，如果按图1放置，水深比圆柱高的
1多22分米，如果颠倒这个容器(如图2)，那么容器中的水刚好装满圆锥部分。这个容器中圆柱部分的高是（ ）分米，这个容器的容积是（ ）升。
1【详解】首先根据圆锥的容积公式：v=sh，求出容器中水的体积，再根据圆柱
3的容积公式：v=sh，由于水的体积不变这个等量关系，列出方程求出容器的高，进而求出这个容器的容积． 解：设圆柱、圆锥的高为x分米。
11 π×3²x=π×2²×（x+2） 321 3πx=4π（x+2）
2 3πx=2πx+8π πx=8π x=8
1×3.14×3²×8+3.14×2²×8 31=×3.14×9×8+3.14×4×8 3=75.36+100.48 =175.84（立方分米） =175.84（升）
【答案】8 175.84 例8 如果用“
”表示一个立方体，用“
”表示两个立方体叠加，用“
”
表示三个立方体叠加，那么图中由7个立方体叠加的几何体，从正面观察，可画出的平面图是（ ）。
【详解】先找到从正面看所得到的图形（注意所有看到的棱都应表现在视图中），再根据题意进行分析：从正前方观察，应看到下层一行有三个立方体且中间的为三个立方体叠加，上层中间位置有两个立方体叠加。所以选A。 【答案】A
例9 用8个棱长5cm的正方体拼成一个长方体（如图），这个长方体的表面积是多少？如果拿走一个小正方体后，它的表面积是多少？
【详解】（1）观察图形可知，这个长方体的长是4个小正方体的棱长之和，是20厘米，宽是10厘米，高是5厘米，利用长方体的表面积=（ab+ah+bh）×2计算即可；
（2）如果是拿走顶点处的小正方体，表面积在减少4个面的同时，也增加了2个面，所以比原来的长方体的表面积是减少了2个小正方体的面的面积；如果拿走的不是顶点处的小正方体，则表面积在减少3个面的同时，也增加了3个面，所以与原长方体的表面积相等，据此即可解答。 【答案】（1）5×4=20（厘米） 5×2=10（厘米）
（20×10+20×5+10×5）×2 =350×2
=700（平方厘米）
（2）若从顶点处拿走一个小正方体，表面积： 700-5×5×2 =700-50
=650（平方厘米）
若不是从顶点处拿走小正方体，则表面积在减少3个面的同时，也增加了3个面，所以表面积还是700平方厘米。
答：长方体的表面积是700平方厘米．如果拿走一个小正方体后，它的表面积是650平方厘米或700平方厘米。
例10 一个小正方形内接于一个圆，而这个圆则内接于一个大正方形（如图所示），若外面的大正方形的边长是3厘米，则阴影部分的面积是多少？（取3.14）
【详解】由大正方形的边长是3厘米，可知这个圆的半径是1.5厘米。小正方形可以看作是由底为3厘米、高为1.5厘米的两个三角形组合而成。再用圆的面积减去小正方形的面积就可以求出阴影部分的面积。 【答案】如下图
正方形内接圆的面积：3.14×1.52=7.065（平方厘米）
小正方形的面积：3×1.5÷2×2=4.5（平方厘米） 7.065-4.5=2.565（平方厘米） 答：阴影部分的面积是2.565平方厘米。
例11 用同样长的小棒摆成如下图所示的图形，照这样继续摆，图形⑥一共用
了（ ）根小棒。
【详解】图形①用5根小棒摆成，图形②用9根小棒摆成，图形③由13根小棒摆成„„仔细观察发现：在图形①的基础上，每增加一个五边形，小棒的根数增加4。图形⑥可以看作是在图形①的基础上增加了5个五边形，所用小棒的根数为5+5×4=25。 【答案】25
例12 星期天，阳光明媚．淘气的三个伙伴A、B、C在楼下喊他，约他去打球，淘气站在阳台上不能看到（ ）。
【详解】淘气站在阳台上，只能朝前下方看，即右下方，向后看可是有楼板挡着呢。如下图，连接淘气和A、B、C三个伙伴。
到。 【答案】A
A在左下方，淘气站在阳台上不能看到；B、C在右下方，淘气站在阳台上能看得
例13 点A处有一电灯，画出立杆BC在地面上的影子。
【详解】光在同一均匀介质中是沿直线传播的，当光照在不透明的物体上就在物
体的背面形成一个黑暗的区域，这就是影子；过光源和立杆的顶点做一条光线，这条光线和地面的交点就是影子的最右端的位置，从而得出结果。 【答案】
例14 小明假期随爸爸去旅游，他把汽车从A城到B城的行驶情况制成下面的图，请看图后回答下列问题。
（1）汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了（ ）千米。
（2）汽车在距B城（ ）千米处时休息了一段时间，休息了（ ）小时。 （3）在A城到B城这段公路上，汽车的平均速度是每小时（ ）千米。（休息时间除外）
【详解】（1）根据统计图纵轴所示，每一格表示60千米，因此汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了60千米。
（2）从横轴上看，1小时是4个格，因此每一格是15分钟，因此汽车休息了15×2=30（分钟），即0.5小时；汽车休息的地点距B城：360-240=120（千米）。 （3）要求平均速度，用总路程除以总时间，但要注意：休息时间除外。 即（1）汽车从A城行驶到高速公路收费站C处行驶了（60）千米。 （2）360-240=120（千米），15×2=30（分钟）=0.5（小时）； （3）在A城到B城这段公路上，汽车的平均速度是每小时行：
360÷（4.5-0.5）=90（千米） 【答案】60 120 0.5 90
例15 下面是一辆汽车与一列火车的行程图表，根据图示回答问题。
（1）汽车的速度是每分钟（ ）千米； （2）火车停站时间是（ ）分钟；
（3）火车停站后时速比汽车每分钟快（ ）千米； （4）汽车比火车早到（ ）分钟。
【详解】观察折线统计图可得：第（1）题根据统计图可知：汽车出发的时刻是7:55，行驶到15千米时的对应时刻是8:20，所以用路程（15千米）除以时间（25分钟）即可；第（2）题从图中可知火车在8:00到8:10之间停站，也就是停站时间是10分钟；第（3）题可先求出火车停站后的时速，再减去汽车的时速即可；第（4）题，由图中得出信息可知汽车到达时刻为8:20，火车到达时刻为8:25，汽车比火车早到5分钟。
31【答案】（1）；（2）10；（3）；（4）5
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