新华区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A(ðUB)（ A．2,4,6 2． 已知x，y满足A．4

B．﹣4

C．0）1111]B．15

C．20

D．30）

B．1,3,5 时，z=x﹣y的最大值为（ D．2

）

C．2,4,5

）

D．2,53． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ A．10

4． 阅读下面的程序框图，则输出的S=（

A．14　

B．20C．30D．55

＞0的解集为

5． 设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式（ 2）

）

A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，

6． “m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（

）

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A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

，则

7． 已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若实数a的取值范围是（ A．C．

B．

D．

）

D．33）

8． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ A．4

B．5

C．32

9． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心10．若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ）

A．﹣2B．±2C．0D．2　

11．设函数f(x)loga|x1|在(,1)上单调递增，则f(a2)与f(3)的大小关系是（ A．f(a2)f(3)

B．f(a2)f(3)

C. f(a2)f(3)

）

12．已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3•a7（ A．5　

B．18

C．24

D．36

）

D．不能确定

二、填空题

13．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是　 　．第 2 页，共 17 页

14．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是　　　．　

15．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的　　　　　　条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）　

16．C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，过原点的直线l与函数y=的图象交于B，则|

+

|=　　　　　　．　

17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为　　　　　　．18．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　　　．三、解答题

12axx,aR．2（1）令gxfxax1，讨论gx的单调区间；

19．已知函数fxlnx（2）若a2，正实数x1,x2满足fx1fx2x1x20，证明x1x251．220．在平面直角坐标系xOy中，经过点和Q．

（Ⅰ）求k的取值范围；

且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P

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（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

与共线？

21．（本小题满分10分）已知圆P过点A(1,0)，B(4,0).

（1）若圆P还过点C(6,2)，求圆P的方程； （2）若圆心P的纵坐标为，求圆P的方程.

22．（本小题满分12分）若二次函数fxaxbxca0满足fx+1fx2x,

2且f01.

（1）求fx的解析式；

（2）若在区间1,1上，不等式fx2xm恒成立，求实数m的取值范围．

23．已知函数（Ⅰ）求

的解析式；

，且．

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（Ⅱ）若对于任意（Ⅲ）证明：函数

，都有

的图象在直线

，求的最小值；

的下方．

24．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{an+2n}是等比数列；（Ⅱ）设bn=ansin（Ⅲ）设Cn=﹣　

π，求数列{bn}的前n项和；

，数列{Cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＜．

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新华区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2． 【答案】A

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

联立，得A（6，2），

化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，

由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：A．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　

3． 【答案】D【解析】

试题分析：分段间隔为

150050，故选D.30第 6 页，共 17 页

考点：系统抽样4． 【答案】C

【解析】解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．

【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．　

5． 【答案】B

【解析】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x）不等式

也就是xf（x）＞0

①当x＞0时，有f（x）＞0

∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2

综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选B　

6． 【答案】B

【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则

×

=﹣1，解得m=1．

，即

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．

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∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B．

【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．　

7． 【答案】 A

【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0（3）x＞时，解得

；，

综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，

∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．

【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．　

8． 【答案】D【解析】

试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图AD,AB,AG相互垂直，面AEFG面

ABCDE,BC//AE,ABADAG3,DE1,根据几何体的性质得：AC32,GC32(32)22733,GE32425，BG32,AD4,EF10,CE10,所以最长为GC33．

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考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．9． 【答案】D

【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。故答案为：D10．【答案】C

【解析】解：∵复数（2+ai）2=4﹣a2+4ai是实数，∴4a=0，解得a=0．故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．　

11．【答案】A 【解析】

，所以直线与圆相交。

圆

：

loga1x,x,1试题分析：由fx且fx在,1上单调递增，易得logax1,x1,0a1,1a12.fx在1,上单调递减,fa2f3，故选A.

考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性.12．【答案】D

【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为Tr+1=令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，∴a3a7=a52=36，故选：D．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　

•x4﹣2r，

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二、填空题

13．【答案】0

【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．故答案为：0．

=（1，﹣1，﹣1），

14．【答案】　[4

【解析】解：直线l：化为普通方程是即y=tanα•x+1；圆C的参数方程

，16]　．

（t为参数），

，

=

（θ为参数），

化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；

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画出图形，如图所示；

∵直线过定点（0，1），

∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，最小值是2故答案为：[4

=2×

，16]．

，16]．

=2×

=4

∴弦长的取值范围是[4

【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．　

15．【答案】　充分不必要　

【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，

∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．　

16．【答案】　4　．

【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），∴2|

|=4，

+

|=2|

|是解题的关键．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|　

+

|=2|

|，

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17．【答案】　平行　．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．　

18．【答案】　3　．

【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．

【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．　

三、解答题

19．【答案】（1）当a0时，函数单调递增区间为0,，无递减区间，当a0时，函数单调递增区间为0,



11,，单调递减区间为；（2）证明见解析.

aa【解析】

试

题解析：

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（2）当a2时，fxlnxxx,x0，

2由fx1fx2x1x20可得lnx1x2x1x1x2x20，

22即x1x2x1x2x1x2lnx1x2，

21t1，

tt则t在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，

令tx1x2,ttlnt，则t1所以t11，所以x1x2x1x21，

2第 13 页，共 17 页

51，2由x10,x20可知x1x20．1

又x1x20，故x1x2考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得

．①

，

．

，

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=解得

或

．即k的取值范围为

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

与

共线等价于

．，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ②． ③

．

，

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．

21．【答案】（1）xy5x7y40；（2）(x)(y2)【解析】

22522225.4第 14 页，共 17 页

试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程xyDxEyF0，将

22三点代入，求解圆的方程；（2）AB的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.

试题解析：（1）设圆P的方程是xyDxEyF0，则由已知得

225，圆心与圆上任一点连线21202D0F0D522，解得E7．404D0F062(2)26D2EF0F422故圆P的方程为xy5x7y40.

5145，故圆心P(,2)，（2）由圆的对称性可知，圆心P的横坐标为2225252故圆P的半径r|AP|(1)(02)，

2252252故圆P的标准方程为(x)(y2).

24考点：圆的方程

22．【答案】（1）fx=xx+1；（2）m1．

2【解析】

试题分析：（1）根据二次函数fxaxbxca0满足fx+1fx2x，利用多项式相等，即

22可求解a,b的值，得到函数的解析式；（2）由x1,1,fxm恒成立，转化为mx3x1，设试题解析：（1） fxaxbxca0 满足f01,c122gxx23x1，只需mgxmin，即可而求解实数m的取值范围．

故fx=xx+1.

2fx1fx2x,ax1bx1ax2bx2x，解得a1,b1,

考点：函数的解析式；函数的恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数解析式的求解、函数的恒成立问题，其中解答中涉及到一元二次函数的性质、多项式相等问题、以及不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，以及转化与化归思想，试题有一定的难度，属于中档试题，其中正确把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键.

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23．【答案】

【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对所以所以（Ⅱ）由因为所以对于任意设令

当x变化时，

，则 ，解得

与

．

的变化情况如下表：

，

，都有

．

．

求导，得，解得．，得

，

，

，

所以当时，

，都有．

．

成立，

因为对于任意所以 ．所以的最小值为（Ⅲ）证明：“函数等价于“即要证所以只要证由（Ⅱ），得所以只要证明当设所以令由所以所以

．，得

，，解得

的图象在直线”，

，．

，即时，

，

（当且仅当即可．

的下方”

时等号成立）．

．，所以，即

在

．

上为增函数．

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故函数

24．【答案】

的图象在直线的下方．

【解析】（I）证明：由Sn=2an﹣n2+3n+2（n∈N*），∴当n≥2时，，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4，

变形为an+2n=2[an﹣1+2（n﹣1）]，当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+3+2，解得a1=﹣4，∴a1+2=﹣2，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为﹣2，公比为2；

（II）解：由（I）可得an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n．∴bn=ansin

π=﹣（2n+2n）

，∵

=

=（﹣1）n，

∴bn=（﹣1）n+1（2n+2n）．设数列{bn}的前n项和为Tn．

当n=2k（k∈N*）时，T2k=（2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k）+2（1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k）=

当n=2k﹣1时，T2k﹣1=（III）证明：Cn=﹣

=﹣2k=

﹣n．﹣2k﹣（﹣22k﹣4k）=，当n≥2时，cn

．

+n+1+2n+1=

+n+1．

∴数列{Cn}的前n项和为Pn＜==，

当n=1时，c1=综上可得：∀n∈N*，

成立．

．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递推式的应用，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

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