数值分析答案

2009~2010第二学期《数值分析》（选修）试卷（A）

班级： 姓名： 学号： 得分：

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一、填空题(64’)

110kn1. 2， 3

2. 7, 8

3. 3 4. B1。

二、计算、证明

xn1.（10分）求积分Indx可得递推公式0x51 In5In-1n1,2,...n给定初始近似值 I*0.2，计算0，计算到 I8 时，误差是多少？分析该递推式的稳定性。011解：I0dx=0.1823 ，0I*I00.0177， （2分）00x511nI*nIn5I*n-15In-15I*n-1In-1nn152I*In-2n-25n0.0177n5nI*I50 00（6分）（8分）（10分）8580.0177=6914.0625 因此计算到I8时误差为6914.0625，利用递推公式8步计算误差扩大了390625倍。故该公式数值计算不稳定。

2.（12分）计算节点列（1,3.6）（2,1.8）（3,1.2）（4,0.9）（5,0.72）的差商表，并给出插值与该节点列的牛顿插值函数。

1 3.6000 0 0 0 0

2 1.8000 -1.8000 0 0 0

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3 1.2000 -0.6000 0.6000 0 0

4 0.9000 -0.3000 0.1500 -0.1500 0

5 0.7200 -0.1800 0.0600 -0.0300 0.0300

（8分）

牛顿插值函数为Nx3.61.8(x1)0.6(x1)(x2)0.15(x1)(x2)(x3)0.03(x1)(x2)(x3)(x4)

（12分）

3.(12分)已知线性方程组113215-3x13x27-21219x361)讨论用Jacobi和Guass-Seidel法求解时的收敛性；2）若1）中方法收敛，则取x0=0,0,0T为初始点计算到x3;3)试写出另外一种迭代格式，并分析收敛性；

解：1）系数阵严格对角占优； （4分）03211 11 2）J=13 0 0.2727 0.1818505 0.2000 0 0.6000 0.1053 0.6316 021219190Jacobi方法计算数据： 0 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.2727 1.4000 -0.3158 2 0.5971 1.2651 0.5971 3 0.7263 1.8777 0.5461 （7分） 0 0.2727 0.1818G-S=  0 0.0545 0.6364 0 0.0632 0.4211G-S方法计算数据： 0 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.2727 1.4545 0.6316 2 0.7843 1.9358 0.9894 3 0.9806 2.1897 1.1704 （9分）3）如xk+1IAxkb，迭代基本收敛定理； （12分）

注：数据不准确，酌情减分。

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14. （10分）写出Romberg求积公式，并用它计算

If2x2dx的近似值0,要求精确到10。

6解 用Tkj4j1Tk,j1Tk1,j14j11(m1,2,,k;lm,m1,,k) （4分）hn11 T2nTnfxk1/2，得2k02b-a1,fafbT1124T21T11b-ab-a0.6666667T0.75 T212fa+fb+2fa2241223b-a2b-ab-ab-aT313fafb+2fa0.6875 2fa+2fa444242T32T224T31T210.66666670.6666667T33T3224141T33 T22010,故If2x2dx0.666667 601（7分）（10分）

注：数据不准确，酌情减分。

5. （8分）确定如下三次样条

s0x=ax13bx11 Sx332sx=cx2x2dx2114已知s(x)插值于1，，12，，13，0。141x<22x3

解：由题意s02s12，s130得到ab0,cd3又s0i2s1i2,i1,2,得到3abd,6a,2求解得，1111a=-,b,c,d4442(3分）（6分）（8分）

4680c106.(12分) 给出计算实数的四次方根的牛顿求解公式，并用该公式求，要求精确到。

解 构造方程x4c，则x为c的四次方根。设fxx4c, 求解方程根即是c的四次方根。43xkc 牛顿法得，xk+1。34xk43xk80 80是x800的根，由于381，故取x03，代入xk+1，34xk444（2分）（5分）（10分）得 x12.9907407,x22.9906976 ,x32.9906975,x3-x2 0.2106故x=2.990697。（12分）

3

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7.（12分）用经典Runge-Kutta方法求解初值问题'y2xyy01其中x0,0.4,取步长h0.2。解：fx,y2xy,h0.20.2yyk12k22k3k4nn+16k12xnynk2x+0.1y0.1knn12k32xn+0.1yn0.1k2k42xn+0.2yn0.2k3当n0时，x00,y01: k10,k20.2,k30.196,k40.38432,y10.9607893当n1时，x10.2,y10.9607893: k1-0.3843157,k20.5534241,k30.5432681,k40.8555543,y20.8463475注：数据不准确，酌情减分。

(4分)(8分)(12分)

此装订线以下答题无效

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