2022年内蒙古包头市中考数学试卷（真题）
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ） A．8
B．6
C．5
D．2
2．（3分）（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（ ） A．﹣8
B．﹣5
C．﹣1
D．16
3．（3分）（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ） A．m﹣2＜n﹣2
B．﹣m＞﹣n
C．n﹣m＞0
D．1﹣2m＜1﹣2n
4．（3分）（2022•包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
5．（3分）（2022•包头）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
6．（3分）（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22
的值为（ ） A．3或﹣9
B．﹣3或9
C．3或﹣6
D．﹣3或6
的中点，
7．（3分）（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
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A．22°
B．32°
C．34°
D．44°
8．（3分）（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（ ） A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
9．（3分）（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，
D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4
B．4：1
C．1：2
D．2：1
10．（3分）（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ） A．5
B．4
C．3
D．2
11．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3
B．2
C．3
D．2
12．（3分）（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，
BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则
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OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC＝
EF B．OC＝2EF C．2OC＝EF D．OC＝EF
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
13．（3分）（2022•包头）若代数式围是 ．
14．（3分）（2022•包头）计算：
+
＝ ．
+在实数范围内有意义，则x的取值范
15．（3分）（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知
识
甲 乙
80 80
专业知识 90 85
实践能力 85 90
根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是 ．（填“甲”或“乙”） 16．（3分）（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2则劣弧
的长为 ．
，
17．（3分）（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 ．
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18．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 ．
19．（3分）（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
20．（8分）（2022•包头）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）． 请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
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（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
21．（8分）（2022•包头）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物
AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
22．（10分）（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝
千克）与x之间的函数关系如图所示． （1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
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，草莓价格m（单位：元/
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式； （3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
23．（12分）（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE． （1）若⊙O的半径为5，求CG的长；
（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
24．（12分）（2022•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，
BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N． ①若AE＝，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．
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25．（13分）（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G． （1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于
y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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2022年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）（2022•包头）若24×22＝2m，则m的值为（ ） A．8
B．6
C．5
D．2
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m， ∴m＝6， 故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（3分）（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（ ） A．﹣8
B．﹣5
C．﹣1
D．16
【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1，由此可解出此题． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4， ∴a+b＝0，c＝， ∴3a+3b﹣4c ＝3（a+b）﹣4c ＝0﹣4× ＝﹣1． 故选：C．
【点评】本题考查的是相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为0；两数互为倒数，它们的积为1．
3．（3分）（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ） A．m﹣2＜n﹣2
B．﹣m＞﹣n
C．n﹣m＞0
D．1﹣2m＜1﹣2n
【分析】A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
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B、不等式的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变； C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变； D、不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变． 【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、﹣mn，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意； D、∵m＞n， ∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意； 故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键． 4．（3分）（2022•包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
【分析】根据俯视图中正方体的个数画出左视图即可得出结论． 【解答】解：由俯视图可以得出几何体的左视图为：
则这个几何体的左视图的面积为4， 故选：B．
【点评】本题主要考查三视图的知识，根据俯视图作出左视图是解题的关键． 5．（3分）（2022•包头）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲
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从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：∵3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛， ∴小明被选到的概率为， 故选：D．
【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6．（3分）（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22
的值为（ ） A．3或﹣9
B．﹣3或9
C．3或﹣6
D．﹣3或6
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算． 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1， ①x1＝3，x2＝﹣1时，②x1＝﹣1，x2＝3时，故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．
7．（3分）（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
的中点，
＝3， ＝﹣9，
A．22°
B．32°
C．34°
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D．44°
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理
求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：连接OE， ∵OC＝OB，∠ABC＝22°， ∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°， ∵E是劣弧∴
＝
，
的中点，
∴∠COE＝×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE＝∠COE＝×68°＝34°， 故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）（2022•包头）在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（ ） A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
【分析】根据一次函数的增减性，确定自变量x的系数﹣5a的符号，再根据
ab＞0，确定b的符号，从而确定点A（a，b）所在的象限． 【解答】解：∵在一次函数y＝﹣5ax+b中，y随x的增大而增大， ∴﹣5a＞0， ∴a＜0． ∵ab＞0， ∴a，b同号， ∴b＜0．
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∴点A（a，b）在第三象限． 故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
9．（3分）（2022•包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，
D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4
B．4：1
C．1：2
D．2：1
【分析】利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出∠BAF＝∠HCD，进而得到∠BAC＝∠DCA，则AB∥CD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：如图所示，
由网格图可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1， ∴AB＝
＝2＝
． ，
CD＝∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG． 在Rt△ABF中， tan∠BAF＝在Rt△CDH中， tan∠HCD＝
，
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，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD， ∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴△ABE与△CDE的周长比＝故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，充分利用网格图的特征是解题的关键．
10．（3分）（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ） A．5
B．4
C．3
D．2
＝
＝2．
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5． 【解答】解：∵b﹣a＝1， ∴b＝a+1， ∴a2+2b﹣6a+7 ＝a2+2（a+1）﹣6a+7 ＝a2+2a+2﹣6a+7 ＝a2﹣4a+4+5 ＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5， 故选：A．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
11．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，
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点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3
B．2
C．3
D．2
【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2，∠B＝60°，由旋转的性质得出
CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴AC＝
BC＝2，∠B＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C， ∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′， ∵CB＝CB′，∠B＝60°， ∴△CBB′为等边三角形， ∴∠BCB′＝60°， ∴∠ACA′＝60°， ∴△CAA′为等边三角形， 过点A作AD⊥A'C于点D， ∴CD＝AC＝∴AD＝
，
＝3，
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CD＝
∴点A到直线A'C的距离为3， 故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质．
12．（3分）（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，
BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC＝
EF B．OC＝2EF C．2OC＝EF D．OC＝EF
【分析】过点O作OH⊥BC于H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝【解答】解：过点O作OH⊥BC于H，
OH，即可得出结论．
∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB， ∴四边形ABFE是正方形， ∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF， ∵BF＝2CF， ∴CF＝EF＝2OH， ∴OC＝即2OC＝故选：A．
【点评】本题主要考查矩形和正方形的性质，熟练掌握矩形和正方形的性质及勾股定理等知识是解题的关键．
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OH， EF，
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
13．（3分）（2022•包头）若代数式围是 x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可． 【解答】解：根据题意，得解得x≥﹣1且x≠0， 故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键． 14．（3分）（2022•包头）计算：
+
＝ a﹣b ．
，
+在实数范围内有意义，则x的取值范
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分． 【解答】解：原式＝＝＝a﹣b，
故答案为：a﹣b．
【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．
15．（3分）（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知
识
甲 乙
80 80
专业知识 90 85
实践能力 85 90
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根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是 甲 ．（填“甲”或“乙”） 【分析】将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
【解答】解：甲的测试成绩为：（80×2+90×5+85×3）÷（2+5+3）＝86.5（分）， 乙的测试成绩为：（80×2+85×5+90×3）÷（2+5+3）＝85.5（分）， ∵86.5＞85.5， ∴甲将被录用． 故答案为：甲．
【点评】此题考查了平均数，熟记加权平均数公式是解答本题的关键． 16．（3分）（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2则劣弧
的长为 π ．
，
【分析】根据勾股定理的逆定理和弧长的计算公式解答即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为2， ∴AO＝BO＝2， ∵AB＝2
，
＝AB2，
∴AO2+BO2＝22+22＝
∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∴
的长＝
＝π．
故答案为：π．
【点评】本题主要考查了勾股定理逆定理和弧长的计算，熟练掌握相关的定理和计算公式是解答本题的关键．
17．（3分）（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 y2﹣xy+3 ．
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【分析】现根据题意列出算式，再去掉括号合并同类项即可． 【解答】解：由题意得，这个多项式为： （2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8） ＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8 ＝y2﹣xy+3．
故答案为：y2﹣xy+3．
【点评】本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键． 18．（3分）（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 3
﹣3 ．
【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， ∴AB＝
AC＝3，∠A＝∠B＝45°，
∵BD＝BC＝3，AC＝BC， ∴BD＝AC，AD＝3∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC． ∵BD＝BC， ∴∠DCE＝∠CDB， ∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB， ∴∠CDE＝∠B＝45°．
∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°． ∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，
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﹣3．
∴∠ACD＝∠EDB． 在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS）． ∴BE＝AD＝3故答案为：3
﹣3． ﹣3．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质，准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
19．（3分）（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 4 ．
【分析】根据反比例函数k＝xy（定值）求出B点坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点C的坐标，求出AB，BC的长度，根据AD•BC＝AB•DO，得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2，从而S1﹣S2＝S2，根据S1+S2＝S△AOC得到S2＝S△AOC，从而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），
B（3，b）两点， ∴1×6＝3b，
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∴b＝2， ∴B（3，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
，
解得：
，
∴y＝﹣2x+8， 令y＝0， ﹣2x+8＝0， 解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∵AB＝
＝2＝
， ，
BC＝
AD•BC＝AB•DO， ∴AD•
＝2
•DO，
∴AD＝2DO， ∴S1＝2S2， ∴S1﹣S2＝S2， ∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2＝S△AOC＝××4×6＝4． 故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据
AD•BC＝AB•DO得到AD＝2DO，根据△ADC，△DOC是等高的三角形，得到S1＝2S2是解题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
20．（8分）（2022•包头）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成
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绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）． 请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 40 名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
【分析】（1）把各组频数相加即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据（2）的结论解答．
【解答】解：（1）4+6+10+12+8＝40（名）， 故答案为：40； （2）960×
＝480（人），
故优秀的学生人数约为480人；
（3）加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
【点评】本题主要考查频数分布直方图及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用．
21．（8分）（2022•包头）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑
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物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物
AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．
【分析】根据题意得：DH＝CG＝BE＝1.5米，CD＝GH＝5米，DE＝BH，∠AED＝90°，然后设CE＝x米，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
DH＝CG＝BE＝1.5米，CD＝GH＝5米，DE＝BH，∠AED＝90°， 设CE＝x米，
∴BH＝DE＝DC+CE＝（x+5）米， 在Rt△ACE中，∠ACE＝45°， ∴AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝α， ∴tanα＝
＝
＝，
∴x＝17.5，
经检验：x＝17.5是原方程的根， ∴AB＝AE+BE＝17.5+1.5＝19（米）， ∴建筑物AB的高度为19米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种
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植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝
千克）与x之间的函数关系如图所示． （1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式； （3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
，草莓价格m（单位：元/
【分析】（1）当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；
（2）利用待定系数法即可求得草莓价格m与x之间的函数关系式； （3）利用销售金额＝销售量×草莓价格，比较第8天与第10天的销售金额，即可得答案．
【解答】解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320， ∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克）， ∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b， ∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上， ∴解得：
， ，
∴函数解析式为m＝﹣x+28．
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（3）当0≤x≤10时，y＝12x， ∴当x＝8时，y＝12×8＝96， 当x＝10时，y＝12×10＝120； 当4≤x≤12时，m＝﹣x+28， ∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20， 当x＝10时，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元）， 第10天的销售金额为：120×18＝2160（元）， ∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额多．
【点评】此题考查了一次函数的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用． 23．（12分）（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE． （1）若⊙O的半径为5，求CG的长；
（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
【分析】（1）连接CE，由切线的性质及圆周角定理证出△ODE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠DOE＝60°，由直角三角形的性质可得出答案； （2）方法一：证明△OCE为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠OCE＝60°，由直角三角形的性质可得出结论；
方法二：连接CE，过点O作OH⊥DF于H，证明四边形OCFH是矩形，得出CF＝OH，证明Rt△CFE≌Rt△OHE（HL），由全等三角形的性质得出EF＝EH，则
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可得出结论．
【解答】解：（1）连接CE，
∵
，
∴∠COE＝2∠CGE， ∵∠DOE＝2∠CGE， ∴∠COE＝∠DOE，
∵AB为⊙O的切线，C为切点， ∴OC⊥AB， ∴∠OCB＝90°， ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠OCB＝∠DFB＝90°， ∴OC∥DF， ∴∠COE＝∠OED， ∴∠DOE＝∠OED， ∴OD＝DE， ∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形， ∴∠DOE＝60°， ∴∠CGE＝30°， ∵⊙O的半径为5， ∴EG＝10，
∵EG是⊙O的直径， ∴∠GCE＝90°，
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在Rt△GCE中，GC＝EG•cos∠CGE＝10×cos30°＝10×（2）DE＝2EF． 方法一：
证明：∵∠COE＝∠DOE＝60°， ＝5；
∴
＝
，
∴CE＝DE， ∵OC＝OE，
∴△OCE为等边三角形， ∴∠OCE＝60°， ∵∠OCB＝90°， ∴∠ECF＝30°， ∴EF＝CE， ∴EF＝DE， 即DE＝2EF； 方法二： 证明：连接CE，
过点O作OH⊥DF于H， ∴∠OHF＝90°， ∵∠OCB＝∠DFC＝90°， ∴四边形OCFH是矩形， ∴CF＝OH，
∵△ODE是等边三角形， ∴DE＝OE，
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∵OH⊥DF， ∴DH＝EH， ∵∠COE＝∠DOE， ∴
＝
，
∴CE＝DE， ∴CE＝OE， ∵CF＝OH，
∴Rt△CFE≌Rt△OHE（HL）， ∴EF＝EH， ∴DH＝EH＝EF， ∴ED＝2EF．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的性质和等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（12分）（2022•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，
BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N． ①若AE＝，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．
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【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； ②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可； （2）连接CF，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6， ∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE， ∴△AGE∽△DCE， ∴
＝
，
∵AE＝， ∴DE＝， ∴AG＝5×， ∴AG＝．
②证明：∵AD∥BC， ∴∠EFN＝∠CMN， ∵∠ENF＝∠CNM，EN＝NC， ∴△ENF≌△CNM（AAS）， ∴EF＝CM， ∵AE＝，AE＝DF， ∴DF＝，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝3，
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∴CM＝﹣3， ∵BC＝6， ∴BM＝3， ∴BM＝MC， ∴AB＝AC， ∴AM⊥BC． （2）连接CF， ∵AB＝AC，AB＝DC， ∴AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS）， ∴CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴∠EHG＝∠EFG+∠CEF， ∴∠EHG＝∠EFG+∠CFE＝∠CFG， ∴EH∥CF， ∴
＝
，
∵HF＝2GH， ∴
＝，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE， ∴△AGE∽△DCE， ∴∴
＝
，
＝，
∴DE＝2AE，
设AE＝x，则DE＝2x， ∵AD＝6，
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∴x+2x＝6， ∴x＝2， 即AE＝2， ∴DF＝2，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2．
【点评】本题主要考查了四边形的相关知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定定理是解答本题关键．
25．（13分）（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G． （1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于
y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点M作MD⊥y轴，垂足为D，根据面积关系得出OA＝2MD，设M点的坐标为（m，﹣m2+4），求出M点的坐标，用待定系数法求出直线AM的解析式，根据C点坐标求出直线CN的解析式，确定N点的坐标，即可得出结论； （3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），用m的代数式表示出
OE和ME，利用三角函数得出OH和OG的代数式，根据2OH﹣OG＝7，得出关于m的方程，求出m的值即可得出M点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4）， ∴解得
， ，
2
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4； （2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D，
第31页（共34页）
当△AOG与△MOG都以OG为底时， ∵S1＝2S2， ∴OA＝2MD，
当y＝0时，则﹣x2+4＝0， 解得x＝±2， ∵B（2，0）， ∴A（﹣2，0）， ∴OA＝2，MD＝1，
设M点的坐标为（m，﹣m2+4）， ∵点M在第一象限， ∴m＝1， ∴﹣m2+4＝3， 即M（1，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b， ∴解得
， ，
∴直线AM的解析式为y＝x+2， ∵CN∥AM，
∴设直线CN的解析式为y＝x+t， ∵C（0，4）， ∴t＝4，
即直线CN的解析式为y＝x+4，将其代入y＝﹣x2+4中， 得x+4＝﹣x+4， 解得x＝0或﹣1， ∵N点在第二象限， ∴N（﹣1，3）， ∵M（1，3），
∴点N与点M关于y轴对称；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），
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2
∴OE＝m，ME＝﹣m2+4， ∵B（2，0）， ∴OB＝2，BE＝2﹣m， 在Rt△BEM和Rt△BOH中， ∵tan∠MBE＝tan∠HBO， ∴∴OH＝∵OA＝2， ∴AE＝m+2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中， ∵tan∠GAO＝tan∠MAE， ∴∴OG＝
，
＝
＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
，
＝
＝2（2+m）＝2m+4，
∵2OH﹣OG＝7，
∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7， 解得m＝， 当m＝时，﹣m2+4＝∴M（，
），
），使得2OH﹣OG＝7．
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，
∴存在点M（，
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角函数，一次函数的性质等知识是解题的关键．
第34页（共34页）
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