2021年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1．（3分）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（ ） A．6
B．5
C．4
D．3
2．（3分）下列运算结果中，绝对值最大的是（ ） A．1+（﹣4） B．（﹣1）4
C．（﹣5）﹣1
D．
3．（3分）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，则线段AD的长为（ ） A．1
B．3
C．1或3
D．2或3
4．（3分）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
，BC＝2，以点
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
A为圆心，交AB于点D，交AC于点C，AC的长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．8﹣π 6．（3分）若x＝A．7
B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（ ） B．4
C．3
D．3﹣2
7．（3分）定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（ ） A．﹣1
B．﹣2
C．1
D．2
8．（3分）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
9．（3分）下列命题正确的是（ ） A．在函数y＝﹣
中，当x＞0时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则1+a＞1﹣a C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．各边相等的圆内接四边形是正方形
10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，AD相交于点E，BC＝6，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0），与对角线OB交于点E，与AB交于点F，DE，EF
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。 13．（3分）因式分解：14．（3分）化简：
+ax+a＝ ．
＝ ．
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15．（3分）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 ．
16．（3分）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8 ．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为B，且BD＝3，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，则MN的长为 ．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 ．
19．（3分）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，连接CE，EF，EF＝EC，则∠BAF的度数为 ．
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20．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE的面积为 ．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
21．（8分）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分） 人数
3
a
b
5
70
80
90
100
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
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22．（8分）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点
km，CD长为（
+
），
BD长为km，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）． （1）求A、D两点之间的距离； （2）求隧道AB的长度．
23．（10分）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
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24．（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，交于点G，交AD于点M，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°； （2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2
25．（12分）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R上时，连接AP，CD＝AP，连接DP；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，连接EP并延长，交AC于点F，若
，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，AB＝6a，MP＝
a1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式
表示）．
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26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n） （1）如图1，当m＞0，n＞0， ①求点M的坐标； ②若点B（
，y）在该抛物线上，连接OM，C是线段BM上一
动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，），当m＞2，n＞0，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，点G的坐标为（0，
），连接GF．若EF+NF＝2MF
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答案与卡片
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 1．参考答案：因为46.61万＝466100＝4.661×105，
所以将46.61万用科学记数法表示为3.661×10n，则n等于5． 故选：B．
2．参考答案：因为|1+（﹣4）|＝|﹣2|＝3，|（﹣1）6|＝|1|＝1，|（﹣5）﹣1|＝|﹣|＝，|且＜4＜2＜3，
所以绝对值最大的是选项A． 故选：A．
3．参考答案：根据题意分两种情况， ①如图1，
∵AB＝4，BC＝6， ∴AC＝AB﹣BC＝2， ∵D是线段AC的中点， ∴AD＝②如图2，
∵AB＝2，BC＝2， ∴AC＝AB+BC＝6， ∵D是线段AC的中点， ∴AD＝
，
＝；
＝×6＝3．
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∴线段AD的长为6或3． 故选：C．
4．参考答案：两双不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一双鞋，B，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4， 所以取出的鞋是同一双的概率＝故选：A．
5．参考答案：根据题意可知AC＝设∠B＝n°，∠A＝m°， ∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90， ∴S（故选：D． 6．参考答案：∵x＝
阴影部分
＝．
＝＝1，
＝S△ABC﹣（S
扇形
EBF+S
扇形
DAC
）＝﹣
＝1﹣，
+1，
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∴x﹣3＝，
∴（x﹣1）7＝2，即x2﹣8x+1＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x4﹣2x+2＝2+2＝3． 故选：C．
7．参考答案∵a⊗b＝a﹣2b， ∴x⨂m═x﹣2m． ∵x⨂m＞3， ∴x﹣2m＞3， ∴x＞5m+3．
∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣4， ∴2m+3＝﹣5， ∴m＝﹣2． 故选：B． 8．参考答案：如图，
∵l1∥l2，
∴∠6+∠3＝180°， ∵∠1+∠6+∠3＝240°，
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∴∠2＝240°﹣（∠5+∠3）＝60°， ∵∠3+∠3+∠5＝180°，∠3＝50°， ∴∠5＝180°﹣∠2﹣∠3＝70°， ∵l5∥l2，
∴∠4＝∠8＝70°， 故选：B．
9．参考答案：A、在函数y＝﹣合题意；
B、若a＜7，故原命题错误；
C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，不符合题意； D、各边相等的圆内接四边形是正方形，是真命题， 故选：D．
10．参考答案：∵点（1，﹣b）在第一象限． ∴﹣b＞0． ∴b＜6．
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（3，﹣b）．
∴﹣b＝a﹣b+c． ∴a+c＝0． ∵a≠0． ∴ac＜2．
∴一次函数y＝bx﹣ac的图象经过一、二、四象限．
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＜0，y随x的增大而增大，不符
故选：C．
11．参考答案：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称， ∴AC＝CD，AB＝BD， ∵AB＝AC，
∴AC＝CD＝AB＝BD， ∴四边形ABDC是菱形，
∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO， ∴BD＝∵CE⊥CD，
∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO， ∴∠CAO＝∠ECO， ∴tan∠ECO＝∴
，
＝
， ＝
＝5，
∴EO＝， ∴AE＝， ∴
＝
＝，
故选：D．
12．参考答案：①矩形OABC中， ∵B（4，2）， ∴OA＝3，OC＝2， 由勾股定理得：OB＝
＝8
，
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当y＝2时，5＝， ∴x＝1， ∴D（5，2）， ∴CD＝1，
由勾股定理得：OD＝∴sin∠DOC＝cos∠BOC＝
＝＝
＝，
＝，
，
∴sin∠DOC＝cos∠BOC， 故①正确；
②设OB的解析式为：y＝kx（k≠0）， 把（2，2）代入得：4k＝8， ∴k＝， ∴y＝x， 当x＝时， ∴E（2，7）， ∴E是OB的中点， ∴OE＝BE， 故②正确；
③当x＝4时，y＝， ∴F（4，）， ∴BF＝2﹣＝， ∴S△BEF＝
（4﹣2）＝，
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S△DOE＝＝4﹣6﹣ ＝，
﹣﹣
∴S△DOE＝S△BEF， 故③正确；
④由勾股定理得：DF＝∵OD＝∴
＝
， ，
＝
，
即OD：DF＝5：3． 故④正确；
其中正确的结论有①②③④，共4个． 故选：A．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。
13．参考答案：原式＝a（x2+4x+4）＝a（x+2）4， 故答案为：a（x+2）2． 14．参考答案：原式＝＝
•（m+2）
＝1． 故答案为6．
15．参考答案：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+7，
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∴2b﹣1+b+6＝0， ∴b＝﹣1． ∴b+5＝﹣1+4＝3， ∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣3）＝8， ∵8的立方根为3， ∴a+b的立方根为2． 故答案为：2．
16．参考答案：根据题意，数据5，7，x，10的中位数为6， 则有x＝8，
这组数据的平均数为（5+10+7+3+10）＝8，
则这组数据的方差S2＝[5﹣6）2+（10﹣8）3+（7﹣8）2+（8﹣8）
2
+（10﹣8）2]＝5.6，
故答案为：3.8．
17．参考答案：∵∠ACB＝90°，BD⊥CD， ∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN， ∴△MAC∽MBD，△CMN∽CDB， ∴∴∴
， ，
，
，
∴MN＝．
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故答案为：．
18．参考答案：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴∠EOD+∠OEC＝180°， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴OE⊥BC， ∴∠OEC＝90° ∴∠EOD＝90°， ∵CF⊥AD， ∴∠CFO＝90°， ∴四边形OECF为矩形， ∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12， ∴FC＝OE＝OD＝AD＝2， ∵OC＝AB，CF⊥AD， ∴OF＝OD＝3，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
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OC2＝OF2+FC2＝32+72＝45， ∴AB＝OC＝3
，
∴▱ABCD的周长为12+12+3+2
，
故答案为：24+2
．
19．参考答案：如右图，连接AE， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC＝45°， ∵DE＝DC＝AD， ∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.7°＝22.5°， ∵EF＝EC，
∴∠EFC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.7°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°， ∴∠BEF＝135°﹣112.7°＝22.5°， ∵AD＝DE，∠ADE＝45°， ∴∠AED＝
＝67.6°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°， 在△ADE和△EDC中，
第18页（共52页）
，
∴△ADE≌△EDC（SAS）， ∴AE＝EC， ∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形， ∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.3°＝67.5°， ∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.7°， 故答案为：22.5°．
20．参考答案：当y＝0时，x2﹣5x﹣3＝0，解得x7＝﹣1，x2＝6，则A（﹣1，B（3，
抛物线的对称轴为直线x＝5，
当x＝0时，y＝x2﹣5x﹣3＝﹣3，则C（8， 当x＝4时，y＝x2﹣7x﹣3＝5，则D（2， 连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点， ∵BE+DE＝EA+DE＝AD， ∴此时BE+DE的值最小，
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设直线AD的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，5），5）代入得∴直线AD的解析式为y＝x+1， 当x＝1时，y＝x+3＝2，2）， 当x＝4时，y＝x+1＝1，7）， ∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×3×1+． 故答案为4．
，
三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。 21．参考答案：（1）∵每组学生均为20名， ∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名）， ∵b＝4a， ∴a＝4，b＝8；
（2）小明的计算不正确，
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正确的计算为：
（3）竞赛成绩较好的是甲组，
＝87.5（分）；
理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100××
+70×
，
+90
80.5＜87.8，
∴竞赛成绩较好的是甲组．
22．参考答案：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示： 则∠AEC＝∠AED＝90°， ∵∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， ∴CE＝AC＝
，AE＝
+
（km）， ）﹣
＝
，
∴DE＝CD﹣CE＝（∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝
AE＝
×
＝
；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝
AE＝
，∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°， ∴AB＝
＝
＝3（km），
即隧道AB的长度为2km．
第21页（共52页）
23．参考答案：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分， 根据题意，得解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分， 则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分）， 骑自行车所用时间为12﹣4.5＝2.5（分）， ∵在家取作业本和取自行车共用了3分，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+4.5+3＝22.8（分）． 又∵22.5＞20，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
24．【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
第22页（共52页）
，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF， ∵四边形AEDF是圆的内接四边形， ∴∠EAF+∠EDF＝180°， ∴∠GAD+∠EDF＝180°． （2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高， ∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴
＝
，
＝2，
∵tan∠ABC＝∴
＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°， ∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
第23页（共52页）
∴△AHM∽△FOM， ∴
＝
＝8，
∵AD＝4， ∴OF＝OA＝2， ∴
＝8，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在△AHM中有：AH6+HM2＝AM2， 即（4x）2+x2＝6，解得x1＝∴AH＝
，
，x2＝﹣
（舍去），
∵OF＝OA＝2， ∴AF＝2
，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF7， 即（
）2+HF2＝（6
）2，
，
解得HF＝故HF的长为
，或HF＝﹣．
25．参考答案：（1）如图1，连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， 在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
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∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD， ∵∠ABP+∠PBC＝60°， ∴∠CBD+∠PBC＝60°， 即∠PBD＝60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴∠BPD＝60°， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BPC＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；（2）如图2，连接AP交BC于D， ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝
AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，
∵
AB＝4BP，
∴BP＝AB，
∴PD＝
＝
＝
AB，∴PD＝AD， ∵EC＝3BE， ∴BE＝BC， ∵BD＝BC，
第25页（共52页）
∴BE＝BD，
∴EP是△ABD的中位线， ∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴
＝
＝
＝，
∴2EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，交AC于点F， 由（2）得：AD＝∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°， ∵∠CHP＝90°， ∴PH＝PM•sin∠PMF＝MH＝PM•cos∠PMF＝∵EF⊥BC， ∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CFE＝∠PMF， ∴PF＝PM＝
a，
a•cos30°＝a， a•sin30°＝
a，
AB＝3
a，BC＝AC＝AB＝6a，
a•cos30°＝a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝∵AM＝3MC， ∴CM＝AC＝，
∴CF＝CM++MH+HF＝5a，
第26页（共52页）
∴EF＝CF•sin∠ACB＝4a•sin60°＝∴PE＝EF﹣PF＝
a﹣
a，
a，
∴S1﹣S6＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣﹣
a2．
BC•（AD﹣PE）＝a
26．参考答案（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴n＝﹣m7+4m（Ⅰ）， ∵n＝3m（Ⅱ）， 联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，∴M（1，3）；
第27页（共52页）
（舍去）或，
②OD＝MC，理由： 如图7，∵点B（∴y＝﹣（∴B（
，
，y）在该抛物线y＝﹣x2+5x上， ＝
，
）2+2×），
由①知，M（3，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+令y＝0，则﹣∴x＝3，
延长MB交x轴于P， ∴P（5，0）， ∴OP＝2， ∵M（1，3）， ∴PM＝
∴∠POM＝∠PMO， ∵CD∥MO，
∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴PD＝PC，
∴PO﹣PD＝PM﹣PC， ∴OD＝MC；
第28页（共52页）
，
＝0，
＝6＝OP，
（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣7）2+4， ∴E（5，），
令y＝4，则﹣x2+4x＝3， ∴x＝0或x＝4， ∴A（8，0）， ∵AN⊥x轴， ∴点N的横坐标为4， 由图知，NF＝EF+EM+MN， ∵EF+NF＝6MF，
∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM）， ∴MN＝EM，
过点M作HM⊥x轴于H， ∴MH是梯形EKAN的中位线， ∴M的横坐标为3， ∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣22+4×4＝3， ∴M（3，3）， ∵点E（2，），
∴直线EF的解析式为y＝x+2， 令y＝0，则x+1＝0， ∴x＝﹣， ∴F（﹣，0），
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∴OF＝，
∵令y＝0，则y＝1，
记直线EF与y轴的交点为L， ∴L（7，1）， ∴OL＝1， ∵G（6，∴OG＝
）， ，
，
＝
＝
，
∴LG＝OG﹣OL＝
根据勾股定理得，FG＝过点L作LQ⊥FG于Q， ∴S△FLG＝FG•LQ＝， ∴LQ＝
＝
＝4＝OL，
∵OL⊥FA，LQ⊥FG， ∴FE平分∠AFG， 即射线FE平分∠AFG．
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考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结：
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①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“
”，负的平方根表示为“﹣
”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质
．零的算术平
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为
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．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 5．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 6．实数大小比较 实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
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（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 7．提公因式法与公式法的综合运用 提公因式法与公式法的综合运用． 8．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 9．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免
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出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 10．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 12．不等式的性质 （1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
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即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 13．不等式的解集 （1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
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（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
14．一次函数的性质 一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 15．反比例函数的性质 反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 16．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
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②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣称轴直线x＝﹣性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣y随x的增大而减小；x＞﹣y取得最小值
时，y随x的增大而增大；x＝﹣
时，时，
，
），对
，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下
，即顶点是抛物线的最低点．
时，时，
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣y随x的增大而增大；x＞﹣y取得最大值
时，y随x的增大而减小；x＝﹣
，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣
|个单位，再向上或向下平移|
|个单位得到的．
18．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣
）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣
成轴对称，所以抛物线上的点关于对
，
称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
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③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝19．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 20．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用
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．
几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
21．两点间的距离 （1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 22．平行线的性质 1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
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2、两条平行线之间的距离处处相等． 23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 25．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝c＝
．
，b＝
及
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 26．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
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（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 27．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
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②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 28．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 29．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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30．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 31．正方形的判定 正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 32．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
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推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
33．切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
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34．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 35．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝
πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法；
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②和差法； ③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
36．圆的综合题 圆的综合题． 37．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
38．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
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2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 39．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
40．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
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②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝
＝，cosA＝
＝，tanA＝
＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 41．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 42．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
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（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． 43．中位数 （1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． 44．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表
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示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 45．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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