巧设参数解决解析几何问题三例

２０１２年第２期　中学数学月刊　・　５７　・　巧设参数解决解析几何问题三例　徐剑　（江苏省泰州中学２２５３００）　平面解析几何中的许多问题，若解题方法不　当，就会使解题过程繁杂而冗长，从而影响到解题　速度和结果的准确性．有些解析几何问题，通过引　入参数，设而不求，整体处理，就可避免不必要的　运算，从而简化解题过程．兹举三例说明如下：　例１　ＡＢ为抛物线Ｙ。一２ｐｘ（　＞Ｏ）的焦点　１　｛　－—－ｏ２　／，＝　ｆ　ｚｙ　１＋ｚｙ　ｚ一一６，４・①②　又因为Ｂ，Ｃ在椭圆　。　弦，ＡＢ的中垂线交ｚ轴子Ｒ，求证：ｆ脉Ｉ一÷・　厶　上一故　霪　由③一④，得４（　＋　７　　ｌＡＢ　Ｉ（Ｆ为抛物线的焦点）．　分析　题中没有给　图，为帮助思考，应该先作　出图形，这是处理解析几　何问题的第一步．　解　如图１，设Ａ，Ｂ，　Ｒ的坐标分别为（ｚ　，ｙ　），　（　２，ｙ２），（ｚ，０），由中垂　ｙ　Ｃ　●●－　、　Ｘ２）（　１一　２）＋５（　１＋　Ａ／　ｙｚ）（Ｙｌ—ｙ２）一０．　由题意，知　１一Ｘ２≠　Ｄ　０　／１　●＿●●＿　图２　０．将①②整体代人，得　二丝一　６即ｋＢｃ一　６，．　＝　一２　　＼　图１　而Ｂｃ的中点坐标Ｍｆ牮、　线的性质，ｆ　ＡＲ　Ｉ—Ｉ　ＢＲ　Ｉ，　两边平方，整理得　一‘．　，　厶　１，即　／　所以￣／（ｚ—ｘ１）　＋ｙ｝一Ｊ（ｘ—　２）　＋ｙ；．　２ｚ（　ｌ—　２）十　ｉ—Ｘ；＋ｙ｝一ｙｉ＝０．　因为　１一　２≠０且Ｙ　一２ｐｘｌ，Ｙ；：＝＝２ｐｘ　２，　所以一２ｚ＋Ｘ１＋Ｘ　２＋２ｐ一０，　Ｍ（３，一２），故直线　的方程为　＋２一　（　－－３）．　评注　若由①②③④求出Ｂ，Ｃ两点的坐　标，再求直线ＢＣ的方程，解题的方向是正确的，　但通过四个方程直接求出点的坐标，运算量大．但　若设而不求，整体处理，问题就容易解决了．　例３　已知圆０的方程为　。＋ｙ。一１，直线ｚ　故　一　妻　＋Ｐ．　于是Ｉ　ＦＲ　Ｉ＝ｘ一等一半一一＋等　过点Ａ（３，０），且与圆Ｏ相切．　（１）求直线Ｚ　的方程；　（２）设圆Ｏ与ｚ轴交于　Ｐ，Ｑ两点，Ｍ是圆。上异　于Ｐ，Ｑ的任意一点，过点　Ａ且与ｚ轴垂直的直线为　ｚ　，直线ＰＭ交直线Ｚ。于点　Ｊ　’　Ｐ　号『（　＋号）＋（　ｚ＋号）］　寺（Ｉ　ＡＣ　Ｉ＋Ｉ　ＢＤ　Ｉ）：÷ｆ　ＡＢ　Ｉ．　评注　若直接求出Ｉ　ＦＲ　Ｉ和Ｉ　ＡＢ』后证明　Ｐ　／＼　，Ｑ２　图３　　于点　Ｉ　ＦＲ　Ｉ一去Ｉ　ＡＢ　Ｉ，则要设直线ＡＢ的方程Ｙ：　Ｐ　，直线ＱＭ交直线ｚ志（　一号），再用是表示Ｉ　ＦＲ　ｌ和ｌ　ＡＢ　ｌ，解题过　程稍繁．　Ｑ　．求证：以Ｐ　Ｑ　为直径的　圆Ｃ总经过定点，并求定点坐标．　解　（１）略．　（２）方法１　对于圆方程　。＋ｙ　一１，令ｙ一　０，得ｚ：±１，即Ｐ（一１，０），Ｑ（１，Ｏ）．　例２　已知ＡＡＢＣ的三个顶点都在椭圆４　＋５ｙ。一８０上，若Ａ（０，４），ＡＡＢＣ的重心是椭圆　的右焦点，求直线ＢＣ的方程．　解　因Ａ（０，４）为椭圆的短轴的顶点，右焦　点Ｆ（２，０）为ＡＡＢＣ重心，所以Ｆ的坐标与三顶　点Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标有关，故设Ｂ（ｘ　，Ｙ　），Ｃ（ｘ　ｚ，　又直线ｚ　过点Ａ且与　轴垂直，所以直线Ｚｚ　的方程为　一３．　ｊ￣Ｍ（ｓ，￡），则直线ＰＭ的方程为　—　己（ｚ　＋１）．　・　５８　・　中学数学月刊　２０１２年第２期　数学文化走进课堂的三维实施路径初探　王摘芳（浙江省义乌中学３２２０００）　要：以数学教育理论、现代课程论及社会建构主义理论为指导，从教材、教室、教师这三个维度探讨了数学　文化走进课堂的实践过程：对数学文本采取以数学应用为链、以教学语言为渠等方式，通过教师的“传”，扩大　学生的文化感知面；在数学知识、数学思想等方面，通过学生“做”数学，创设一个具有文化特色并符合学生认　知规律的动态的“场”；总结并反思了文化视野下教师应具有的数学教学观．　关键词：数学文化；数学学习；数学课堂教学　“数学文化”于２００３年以单独的版块同时出　现于《普通高中数学课程标准》与《全日制义务教　育数学课程标准》后，激起了中学一线数学教师的　共同关注．目前正以较快速度在我国中学数学教　学实践中展开．然而，相对于其它模块，数学文化　的实施状况不容乐观：“不少教师对数学文化抱着　观望的态度．在一些公开课上，‘数学文化’仅仅是　教案的装饰、教学的点缀”［１］．阻碍数学文化走进　课堂的主要障碍，一是没有在数学课程与数学文　化之间建立有效的文本对接，渗透途径狭隘；二是　没有认识到数学文化在培养能力中的重要作用，　阈限了数学文化与数学解题、数学探究等的联系；　三是固守于惯有的“纯理科”教学方式，缺乏行为　经典数学应用题的基础上，结合新课程增设的“函　数应用”、“算法”、“框图”等章节，开发与学生生　活、实践关系密切的应用案例．　基于学校学习这一特殊条件，我们还必须特　别关注“友邻学科”这一宝贵的课程资源．数学是　自然科学研究的基础，“数学课程向‘友邻’课程提　供知识和智能方面的储备工具，又从‘友邻’课程　那里获得需求信息、实证材料、强化运用数学智能　的场所．”ｌ２　随着课程改革的不断推进，彼此的关　系已经从知识层面上升到能力层面，并继续衍生　至思想与方法．“每年的高考都很重视对学生运用　数学知识解决物理问题的能力的考查……试题涉　及到了数学中的一次线性函数、一元二次方程、三　角函数、圆周的集合知识、数列与数学归纳法、函　上的同化与顺应．在此，将从与课堂教学密切相关　的教材、教室与教师三个方面出发，探讨数学文化　走进课堂的实施过程．　数的极值问题等等”［３］，《普通高中生物课程标准》　明确提出要学会“利用数学方法处理、解释数　据”＿４］，在生物实验数据分析中，大量使用了比较　分析法、相关分析法、数学模型分析法等　］．此外，　数学与社会科学的联系在中学阶段也目益明显，　如诗词语言的对仗与函数图象的对称，矛盾对立　统一观与数形结合思想，乃至英语的句式结构与　１教材维度——数学文本的文化诠释　１．１　以数学应用为链，延伸数学触角　作为人类文化的一个有机组成部分，数学的　触角几乎伸向了一切领域．尽管如此，很多学生并　不苟同——也许他们正在运用数学，但不认为这　属于数学的范畴．针对这种情形，我们可以在传承　集合表示方法等．一旦教师以“大学科观”俯视高　解法２　设Ｐ　（３，口），Ｑ　（３，６），Ｍ（ｘ，　），　，・足∞，一一１，得ａｂ一一８．由Ｍ在以Ｐ　Ｑ　为　解方程组｛１一Ｙ一．　．．　（ｚ＋１十　’），　得Ｐ　（、　３，　１　）．　由　ＰＰ直径的圆Ｃ上，得ＭＰ　・ＭＱ＇一Ｏ，所以（ｚ一３）　＋　同理可得Ｑ　ｆ、　５一ｌ，３，　１．　　以Ｐ　Ｑ　为直径的圆Ｃ　的方程为（ｚ一３）（ｚ一　（ａ—　）（６一　）一Ｏ，即（ｚ一３）　＋Ｙ　一（口＋６）Ｙ一　８．令Ｙ一０，得ｚ一３±２√２．因此，圆Ｃ　总经过的　定点坐标为（３±２√２，０）．　３　＋（　～　）（　一　）一ｏ．ｙ．ｓ２　理得（ｚ　＋　ｚ一６ｘ＋１）＋　；　一０．　整　评注　比较两种方法，方法１引参不当，过　若圆Ｃ　经过定点，只需令Ｙ—Ｏ，从而有ｚ　一　程较繁，得到圆的方程后容易迷失解题方向，因为　方程较复杂，而且其中含有两个参数，要消参的话　还要去寻找这两个参数间的关系．而方法２通过　６　＋１＝０，解得ｚ：３±２√　．因此，圆Ｃ　总经过　的定点坐标为（３±２√　，０）．　设而不求，整体处理，轻松地解决了问题．