矩形(基础)知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1. 理解矩形的概念.

2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】

【高清课堂 特殊的平行四边形（矩形） 知识要点】 要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线

可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对

称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形

的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角

三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质

1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长．

【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；

（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP． 【答案与解析】 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，

∴MN∥BC，

∴∠CBN=∠MNB， ∵∠PNB=3∠CBN， ∴∠PNM=2∠CBN； （2）连接AN，

根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN， ∵MN∥AD，

∴∠PAN=∠ANM，

由（1）知∠PNM=2∠CBN， ∴∠PAN=∠PNA， ∴AP=PN，

∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点， ∴DN=2，

设AP=x，则PD=6﹣x， 在Rt△PDN中

PD+DN=PN，

222

∴（6﹣x）+2=x， 解得：x=所以AP=

．

2

2

2

【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．

举一反三：

【高清课堂 特殊的平行四边形（矩形） 例7】

【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别

作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．

【答案】；

提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.

类型二、矩形的判定

2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE. （1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD. ∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE＝

11AB，DF＝CD. 22∴BE＝DF.

∴△BEC≌△DFA. （2）四边形AECF是矩形.

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD.

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE＝

11AB，DF＝CD. 22∴AE∥CF且AE＝CF.

∴四边形AECF是平行四边形. ∵CA＝CB，E是AB的中点， ∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是矩形.

【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直

角.

举一反三： 【变式】（2016·黄冈二模）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.

（1）求证：△BDF≌△CDE； （2）若DE=

1BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论. 2

【答案】（1）证明：∵CE∥BF

∴∠CED=∠BFD， ∵D是BC边的中点 ∴BD=DC．

∴在△BDF与△CDE中，

BFDCEDBDFCDE， BDDC ∴△BDF≌△CDE（AAS）； （2）四边形BFCE为矩形．

证明：∵△BDF≌△CDE， ∴DE=DF， 又∵BD=DC，

∴四边形BFCE是平行四边形，

∵BD=DC，DE=

1BC, 2∴BD=DC=ED， ∴∠BEC=90°，

∴平行四边形BFCE为矩形．

3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H． 求证：四边形EFGH是矩形．

【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在

ABCD中，∠BAD+∠ABC＝

180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°． 【答案与解析】

证明：在ABCD中，AD∥BC， ∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，

∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴ ∠BAE＋∠ABE＝

11∠BAD＋∠ABC＝90°． 22 ∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．

同理：∠H＝∠F＝90°． ∴ 四边形EFGH是矩形．

【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形． 类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）

A．20 B．12 C．14 D．13

【答案】C； 【解析】

解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，

∴AD⊥BC，CD＝BD＝

1BC＝4， 2∵点E为AC的中点， ∴DE＝CE＝

1AC＝5， 2∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14． 【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 举一反三：

【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一

点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．

【答案】

解：连接OP．

∵ 四边形ABCD是平行四边形． ∴ AO＝CO，BO＝DO， ∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，

∴ OP＝

11AC，OP＝BD， 22∴ AC＝BD．

∴ 四边形ABCD是矩形．