数学建模竞赛论文

论文题目：

关于商店三类产品的进货策略问题

姓名：黄文 学号：01512505 专业：12输配电1班 姓名：杨震宇 学号：01512515 专业：12输配电1班 姓名：袁国平 学号：01512533 专业：12输配电1班

2013年5月21日

目 录

摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(1) 一、问题重述„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 二、问题分析„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 三、模型假设„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 四、定义与符号说明„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 五、模型的建立与求解„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(3)

第一部分、准备工作„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(3) 第二部分、问题的解答„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(3-5)

（一）问题一的解答„„„„„„„„„„„„„„„„„(3) （二）问题二的解答„„„„„„„„„„„„„„„„„(4)

（三）问题三的解答„„„„„„„„„„„„„„„„„ (4)

（四）问题四的解答„„„„„„„„„„„„„„„„„ (5)

六、 对模型的评价与推广„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ (5) 七、附录„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6-8)

关于商店三类产品的进货策略问题

摘 要

本文解决的是商店三类产品的进货策略问题，商店的目的是盈利，但是在

经营过程中，由于得不到科学的指导，往往无法使盈利最大化，甚至会导致亏损。

为使盈利最大化，减少不必要的亏损，我们针对进货策略这一方面建立了以下

几个模型。

对于问题一：我们结合图表及附表数据进行概率统计分析。简要地得出结

论。

对于问题二：计算各商品在销售总量中占有的份额，结合问题一中的相关

数据，通过比较，分析各商品的市场需求。

对于问题三：假设其符合泊松分布，并进行检验通过计算各商品的期望，

预测计算在缺货时间内的损失。

对于问题四：根据6SQ统计软件，分别计算A,B,C三类产品的每天销售量，

进而根据商家进货策略，分析A,B,C三类商品未来的进货规律。

关键字：日销售量 进货策略 泊松分布 概率统计 卡方拟合检验

1

一、问题重述

某商店取得了某物在该区域的市场经销权，销售该物的三类产品，附表1给出了该店过去连续800多天的三类产品销售记录。 根据附表1数据，解决如下问题：

（1） 该店三类产品的进货策略是什么？800多天内共进了多少次货？ （2） 该三类产品在该区域的市场需求如何？

（3） 分析现有进货策略下，该店的缺货情况（包括缺货时间及缺货量）。 （4） 如果现有进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，如何改进进货

策略，将缺货损失减半，且进货次数尽可能少？

二、问题分析

(一) 问题1的分析

问题1属于概率统计的数学问题，对于解决此类问题一般用概率统计的数学方法分析。对附件所给的数据进行分析并作出假设。 (二) 问题2的分析

属于估计预算的问题，基于问题一的结论进行对“零销售日”的简单预测，得到的数据为期望值。 (三) 问题3的分析

假设各商品的日销售量服从泊松分布，并用卡方拟合检验。 (四) 问题4的分析

根据三类产品在每天的销售量中所占比例，利用6SQ统计方法算出A,B,C各类产品在825天的比率占有量，从而估算商家进货的规律。

三、模型假设 1. 假设各类商品不受市场青睐度的变化影响； 2．假设各类商品的日销量服从泊松分布。 3．假设每一次进货三种商品都买进若干。

四、定义与符号说明

各商品占销售总量的百分比m

日销量期望值 销售天数K

五、模型的建立与求解 第一部分：准备工作

（一）数据的处理

1、对数据进行排序筛选，筛选出日销量为零的数据。 2、观察日销量为零的数组是否有周期规律。

3、数据残缺，根据数据挖掘等理论根据，变化趋势进行补充。

2

4、对数据特点（后面将会用到的特征）进行提取。 （二）预测的准备工作

根据数据特点，对总体和个体的特点进行比较，以表格或图示方式显示。

第二部分：问题的解答

（一）问题一的解答

1.利用Excel画出概率分布图

①根据以上三个表格以及附表中的数据分布可以看出商家的进货策略是：综合考虑三件商品的存货剩余量进行进货。即当其中某件商品的存量为零时，商家不会立即进货，此时商家还会考虑到其它两件商品的剩余量，直到三件商品的货存量都接近零时，才会开始进货。这一点可以从附表的数据中看出，各商品的日销售量中都有连续几天出现零销量的情况，这几天不是因为市场青睐降低，而是因为商家在这几天没有了货存。 2.以下是对这个进货策略的图文解说：

查看存货数量 A商品的存货数量是否接近零 B商品的存货数量是否接近零 C商品的存货数量是否接近零 当三个子框内的判断都为“是”时，商家才会开始进货；当三个子框中的判断不都为“是”时，商家会继续下一天的销售，不去进货，直到判断均为“是”为止。 ②对于第二小问，我们是这样分析的：日销量中出现的零不一定全是因为缺货造成，

还有部分是因为当日业绩下降。所以我们将日销量中零出现的概率与整体的数据进行了比较分析，得到了表一、二、三，并通过Excel筛选了日销售量连续数日为零的情况，发现共有10次较大的间隔，其销量为零的间隔天数都是≥2天，这些间隔天数被我们判断为因缺货而 导致的零销量天数。考虑到缺货后商家必会进货，所以商家总共的进货次数为10+1=11次。

（二）问题二的解答

3

指标一，各商品占销售总量的百分比m

种类 A类商品 B类商品 C类商品 销量/件 2274 3817 6183 占总销量比(m)/% 18.53 31.10 50.37 总缺货天数/日 8 21 9 通过上表不难发现，C类商品的销售比重最大，B类其次，A类最少。因此可以得出以下结论：C类市场需求量最大，B类其次，A类在市场的销量最少。

（三）问题三的解答

我们先假定商品的日销量服从泊松分布，然后根据附录给出的数据得到每天出售的商品件数,再利用6SQ统计软件进行卡方拟合优度检验得到如下结果（结果见表四）：

表四：各类商品的日销量服从泊松分布的卡方拟合优度检验 A产品的日销售量： B产品的日销售量： C产品的日销售量： 假设检验 假设检验 假设检验 零假设 服从泊松零假设 服从泊松零假设 服从泊松分布 分布 分布 自由度 8 自由度 11 自由度 13 卡方统13.36905卡方统238.3775卡方统60.23856计量 823 计量 218 计量 842 p值 0.099766p值 7.54657Ep值 4.76177E639 -45 -08 显著性0.01 显著性0 显著性0 水平 水平 水平 结果 接受零假结果 接受零假结果 接受零假设 设 设 根据以上假设检验的结果知：各类商品的日销量均符合泊松分布。 根据指数分布与泊松分布的关系：如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布，即单位时间内该事件出现k次的概率为

p(k)kek!(k0,1,2,,n)

将各类商品日销量数，即值（运用matlab软件计算）代入上式，可得相应的概率密度函数，计算结果见表五。

指标二，日销量期望值

表五 类别 A产品 B产品 C产品  2.7564 4.6267 7.4945 4

p(k) 2.7564ke2.7564k! 4.6267ke4.6267k! k7.49457.4945ek!

对于第三问的解答：

由于数据符合了泊松分布，所以表五中的值为有效的期望值。

所以，可以得出下表： 种类 A B C 缺货天数/日 8 21 9 每日期望()/件每日 总损失/件 2.8 4.6 7.5 22.4 96.6 67.5

（四）问题四的解答

根据附录提供的数据得到每天销售的件数，再利用6SQ统计软件进行概率统计和每类产品的销售率的计算，得到如下结果： 种类 A产品 B产品 C产品 销售比率/% 18.8722 31.1683 49.9595 根据计算出的销售比率，我们可以得出A、B、C三类商品的进货策略，商家将按照A、B、C以2:3:5的比例进行进货，当三种商品快断货时按照2:3:5的比例进货，从而使缺货损失减半，进货次数尽可能少。

六、模型评价与推广 优点：

①计算简洁方便，多利用图表形式，直观，便于理解。 ②根据我们的模型可以有效解决进货问题。 缺点：

①没有将所有的变量、因素考虑进去， ②没有找到最合适恰当的模型。 ③无法将进货次数限制在最低。

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七、附录

（一）A产品的卡方拟合检验的泊松分布------6SQ统计软件 统计量 数据个数 总和 最大值 平均值 825 2274 11 2.756363636 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 计算表 数据 观测 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 70 148 165 188 128 71 33 15 4 1 1 1 泊松分布概率 0.063522339 52.40592985 0.175090666 144.4497994 0.241306772 199.0780871 0.221709737 182.9105334 0.152778165 126.0419857 0.084222435 69.48350922 0.038691276 31.92030303 0.015235318 12.5691375 期望 合并的观测 70 52.40592985 148 144.4497994 165 199.0780871 188 182.9105334 128 126.0419857 71 69.48350922 33 31.92030303 15 12.5691375 3 1.783499518 接受零假设 合并的期望 对卡方的贡献 5.9067992 0.087254704 5.833469865 0.141613881 0.030417006 0.033097699 0.036520504 0.470127125 0.829758241 0.099766639 0.01 假设检验 零假设 服从泊松分布 8 13.36905823 0.00524926 4.330639194 0.001607652 1.326312933 0.000443127 0.365580074 0.000111038 0.091606511 6

（二）B产品的卡方拟合检验的泊松分布---6SQ统计软件 统计量 数据个数 总和 最大值 平均值 825 3817 16 4.626666667 假设检验 零假设 服从泊松分布 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 计算表 数据 观测 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 33 77 110 131 137 107 91 37 28 14 5 2 0 1 1 1 泊松分布概率 0.009787329 8.074546606 0.04528271 37.35823563 0.104754002 86.42205176 0.16155395 133.2820087 0.186864069 154.1628567 0.172911552 142.6520301 0.133334019 110.0005654 0.088127437 72.70513563 0.050967034 42.04780344 0.026200831 21.61568562 0.012122251 10.00085721 0.005098692 4.206421155 0.001965829 1.621809045 0.000699634 0.577197681 0.000231212 0.190750091 7.13161E-05 0.058835806 2.06222E-05 0.017013354 期望 合并的观测 50 8.074546606 33 37.35823563 77 86.42205176 110 133.2820087 131 154.1628567 137 142.6520301 107 110.0005654 91 72.70513563 37 42.04780344 28 21.61568562 14 10.00085721 5 2.465605977 接受零假设 合并的期望 对卡方的贡献 217.689454 0.508434552 1.027226935 4.066954984 3.480202325 0.22393964 0.081848606 4.603554609 0.605984558 1.885643176 1.599177219 2.605101191 7.54657E-45 0 11 238.3775218 7

（三）C产品的卡方拟合检验的泊松分布---6SQ统计软件 统计量 数据个数 总和 最大值 平均值 825 6183 17 7.494545455 自由度 卡方统计量 p值 显著性水平 结果 计算表 数据 观测 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 8 14 31 55 77 107 113 102 81 77 57 32 30 6 10 2 2 泊松分布概率 0.000556109 0.458790285 0.004167787 3.438424647 0.015617836 12.8847149 期望 合并的观测 43 16.78192984 31 32.18836051 55 60.30928273 77 90.39813215 107 112.9154851 113 120.8928908 102 113.2546581 81 94.31024258 77 70.68123999 57 48.15670599 32 30.07605183 30 17.33894904 6 9.281967266 4 3.129967658 40.95996169 0.043873023 0.467398746 1.985770511 0.309904027 0.515313384 1.118429313 1.878508132 0.564884376 1.623945147 0.123073886 9.245209211 1.160455411 0.241841565 合并的期望 接受零假设 对卡方的贡献 4.76177E-08 0 假设检验 零假设 服从泊松分布 13 60.23856842 0.039016195 32.18836051 0.073102161 60.30928273 0.109573494 90.39813215 0.136867255 112.9154851 0.146536837 120.8928908 0.137278373 113.2546581 0.114315446 94.31024258 0.08567423 70.68123999 0.058371765 48.15670599 0.03645582 30.07605183 0.021016908 17.33894904 0.011250869 9.281967266 0.005621343 4.637608372 0.002633088 2.172297922 0.001160812 0.957669736 8