专题2.1 指数函数-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮(人教版必修1)

第二章 基本初等函数（Ⅰ）

2.1 指数函数

一、根式

1．n次方根的概念

一般地，如果____________，那么x叫做a的n次方根，其中n1，nΝ． 2．n次方根的性质

（1）当n是____________时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号na表示．

（2）当n是____________时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成

na(a0)．负数没有偶次方根．

（3）0的任何次方根都为0，记作n00． 3．根式的概念

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质

根据n次方根的意义，可以得到：

n（1）(na)a(n1,且nN)；

（2）当n为奇数时，aa；

nna,a0nnn（3）当为偶数时，aa．

a,a0二、实数指数幂 1．分数指数幂

（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是aa(a0,m,nN,且n1)．

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1

mnnm*

于是，在条件a0,m,nN*,且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式． （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定amn1amn(a0,m,nN*,且

n1)．

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r,s，均有下面的运算性质： （1）aras____________(a0,r,sQ)； （2）(a)____________(a0,r,sQ)； （3）(ab)____________(a0,b0,rQ)． 3．无理数指数幂

对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数． 一般地，无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系

分数指数幂a(a0,m,nN*,且n1)和整数指数幂an都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂a不可以理解为三、指数函数 1．指数函数的概念

一般地，函数____________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R． 2．指数函数ya(a0,且a1)的结构特征 （1）底数：大于零且不等于1的常数； （2）指数：仅有自变量x；

2

xmnrsrmnm个a相乘． n原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

（3）系数：ax的系数是____________． 四、指数函数的图象与性质

1．一般地，指数函数ya(a0,且a1)的图象和性质如下表所示：

图象 x0a1 a1 定义域 值域 奇偶性 对称性 过定点 单调性 函数值的变化情况 R (0,) 非奇非偶函数 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点(0,1)，即x0时，y1 在R上是____________函数 当x0时，y1； 当x0时，0y1 在R上是____________函数 当x0时，y1； 当x0时，0y1． 2．指数函数ya(a0,且a1)中的底数对其图象的影响

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0x

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3

一、1．xna

2．（1）奇数

（2）ars

（2）偶数 （3）arbr 2．（3）1 2．变大

二、2．（1）ars

x三、1．ya(a0,且a1) 四、1．减

增

帮—重点 1．根式与指数幂的运算，有理数指数幂的运算； 2．指数函数的概念，指数函数的图象与性质． 帮—难点 1．理解根式的概念，准确运用性质进行计算； 2．指数函数的图象与性质． 1．运用根式的性质时容易出错，在化简a时一定要注意n的奇偶性； nn帮—易错 2．指数函数的值域是(0,)，因此在解与指数函数有关的问题时，一定要注意，避免出错． 1．分数指数幂与根式的转化

在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．

例 1 下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）

12A．x(x)(x0) C．x12

B．6yy(y0)

13213y233y2x(x0,y0) D．x3x(x0)

【答案】C

4

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12【解析】对于A，xx，故A错误；

对于B，当y0时，6y20，y0，故B错误； 对于C，x1213y233y2x(x0,y0)，故C正确；

对于D，x131(x0)，故D错误． 3x【名师点睛】根式形式比较容易观察出各式的取值范围，而分数指数幂在应用上比较方便，故根式与分数指数幂的互化是学习的重点内容，要熟练掌握． 2．指数幂的运算

进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

例 2 （1）a392化简：

a3133a73a13；

3706（2）0.001()164(233)；

8x2y2（3）

x23y23x2y2x23y23．

2323【答案】（1）1；（2）89；（3）2x【解析】（1）因为a所以原式=aa（2）原式=1039232y．

3有意义，所以a0，

73133aa123a3a2aa1．

61332233441132231018233289． 2332323323323233（3）

xyx232223xyx23223y(x)(y)xy2323(x)(y)xy232y23

[(x)xy2xy232323223(y)][(x)xy23223223(y)]

．

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5

【名师点睛】注意立方和、立方差公式在分数指数幂中的应用，因为完全平方公式、平方差公式一般在使用中一目了然，而对于立方和、立方差公式却不易觉察到，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力． 3．知值求值问题

带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求式子转化为已知的式子．

例 3 1）已知aa12123，求下列各式的值：

（1）aa1；（2）a2a2． 【答案】（1）7；（2）47． 【解析】（1）将aa12123两边平方，得aa129，即aa1=7．

（2）将aa17两边平方，得a2a2249，∴a2a2=47．

【技巧点拨】仔细分析条件与结论，灵活运用完全平方公式，要注意运用整体的观点、方程的思想处理问题．

12122）若x,x1

【答案】 3

为方程x2－3x＋a＝0的两根，则

xx3________．

x2x223232【解析】因为x,x所以xx32321212为方程x2－3x＋a＝0的两根，所以xx12121212123,

211212xxxx1xxxx3＝3×(32－3)＝18，

12x2＋x-2＝xx11212222xx22＝(32－2)2－2＝47，

2所以

xx31831.

x2x22472332324．指数函数的概念

（1）判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否满足：①ax的系数是1；②底数a满足

a0,且a1；③指数是x；④定义域是R．

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6

（2）已知函数类型时，通常设出函数的解析式，利用待定系数法求解．

例 4 【答案】4

（1）函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，则a的值为________．

【解析】∵函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，∴a2－5a＋5＝1，解得a＝1或a＝4.又∵指数函数y＝ax的底数a需满足a>0且a≠1，∴a＝4. （2）已知指数函数f(x)的图象经过(2,【答案】f(1)1)，试求f(1)和f(2)的值． 161，f(2)16． 4x【解析】设f(x)a(a0,且a1)，∵函数f(x)的图象经过(2,11)，∴a2，解得a4，又1616a0，则a4，∴f(x)4x，则f(1)411，f(2)4216．

4【技巧点拨】解方程a25．指数函数的图象

（1）由于指数函数ya(a0,且a1)的图象过定点(0,1)，因此形如ykaxxc112的关键是先把变形为4，则a242． 1616b(k0,a0,且

a1)的函数图象过定点的问题，可令指数为0，即令xc0，即xc，得ykb，从而图象过

定点(c,kb)．

（2）指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系总结如下： 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．

（3）判断底数大小的方法：过点（1，0）作与y轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数．

例 5 （1）如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数a的值可取为

2，

431，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，a依次为（ ） 3105

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7

413，2，， 3510314C．，，2，

1053A．【答案】D

431，， 3105134D．，，，2

5103B．2，

【解析】方法一：相应于曲线C1，C2，C3，C4，设a依次是a1,a2,a3,a4，由指数函数的性质，知0a11，

0a21，a31，a41，从而排除选项A，B． 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在

y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，从而a1134，a2，a3，a42．故选D． 5103方法二：相应于曲线C1，C2，C3，C4，设a依次是a1,a2,a3,a4，作直线x1，如图所示，可看出

a1a2a3a4，故选D．

【知识延伸】一般地，当函数ya与函数y()x（即函数ya）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图象是关于y轴对称的． 1a1b

（2）已知实数a，b满足等式2＝3，下列五个关系式

①01x1x的图象(如图)． 【解析】 在同一坐标系内，作出函数y＝和y＝23

x1a

x

1a1b

1a＝1b可能成立． 当a>b>0时，＝可能成立． 当a1b. 当a＝b＝0时，＝显然成立．当08

1a1b

当b（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是ya型还是ya是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y等式（组）．

（2）对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是

xf(x)型，前者的定义域

f(ax)型函数的定义域时，往往转化为解指数不

(0,)．

例 6 （1）函数y()x1x123x1的定义域是____________，值域是____________．

（2）函数y2的定义域是____________，值域是____________．

【答案】（1） R，（0，1]；（2） (,1)【解析】（1）显然函数y()(1,)，(0,2)(2,)．

23x1的定义域是R．由于|x＋1|≥0，而0<

2<1， 3所以y有最大值1，即值域为（0，1]．

（2）因为x10，所以x1，则函数y2因为指数函数的值域是(0,)，又则函数y2x1x1x1x1的定义域是(,1)(1,)．

x1211，所以y≠2， x1x1的值域为(0,2)(2,)．

【名师点睛】求指数函数的定义域和值域，前面所讲的求函数的定义域和值域的方法仍然适用，但在求解过程中要注意正确运用指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0,)．

a

（3）已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

213

【答案】 或

22

a1

【解析】 当022a313

当a>1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或.

2222(4)函数f (x)＝4x－2x＋1的值域是________． 【答案】 [－1，＋∞)

【解析】 设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．

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9

当t＝1时，ymin＝－1，无最大值．∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．

1（5）若函数f (x)＝3【答案】 1

ax2-4x3有最大值3，则a＝________.

1h(x)

【解析】 令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝3，由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

a>0，因此必有12a－16

4a＝－1，

解得a＝1，即当f (x)有最大值3时，a的值为1.

【名师点睛】求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 7．指数函数单调性的应用

（1）比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同，若底数相同、指数不同，可直接利用单调性比较；若底数不同、指数相同，可利用指数函数的图象解决；若底数不同、指数也不同，可以采用中间量法，中间量常取1．

（2）解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．

例 7 (1)设a3,b2,c2，则a,b,c的大小关系是( )

253525555A．acb C．cab 【答案】A

B．abc D．bca

【解析】对于函数y()x，在其定义域上是减函数，

253222，，即bc． 5555253525在同一平面直角坐标系中画出函数y()x和函数y()x的图象，可知而bca．故A正确．

3535252，即ac．从525【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分a1与0a1两种情况讨论．

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10

131434(2)已知a＝333，b＝，c＝255，则a，b，c的大小关系是________．

【答案】 c3x3【解析】 ∵y＝是R上的减函数，∴5533>>，即a>b>1， 55131433又c＝<＝1，∴c22（3）若偶函数f (x)满足f (x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f (x－2)>0的解集为________________． 【答案】 {x|x>4或x<0}

【解析】 ∵f (x)为偶函数，f (x)在[0，＋∞)上递增，且f (2)＝0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.

34（4）函数f (x)＝【答案】 (－∞，1]

12x2+2x1的单调减区间为________．

1u

【解析】 设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝2在R上为减函数， ∴函数f (x)＝12x2+2x1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x)的减区间为(－∞，1]． 8．忽略n的范围导致式子nan(aR)化简出错

例 8 化简：3(13)36(13)6．

36【错解】3(13)6(13)13132．

【错因分析】错解中忽略了n的奇偶性，从而在化简6(13)时出现错误． 【正解】3(13)6(13)133123．

【名师点睛】对于nan(aR)的化简一定要注意n的奇偶性，当n为正偶数时，ana9．利用换元法时，遗漏指数函数的值域导致出错

n636a,a0．

a,a0例 9 求函数y()()1的值域．

14x12x【错解】令t()x，则yt2t1(t)212123313，即当t时，ymin， 442411

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则y()x()x1的值域为[,)．

【错因分析】t()x0，错解中忽略了这一点，把t的取值范围当成了实数集R． 【正解】令t()x，t(0,)，则yt2t1(t)21412341212123． 43在t(0,)上单调递增， 411所以y1，即函数y()x()x1的值域为(1,)．

42因为函数y(t)2【名师点睛】解决与指数函数有关的问题时，经常用到换元法，以达到化繁为简的目的，但换元时，必须考虑原函数的定义域及值域，并由此确定新元的范围，以达到等价转化，避免因考虑不周而失分．

12

1．3aa的分数指数幂表示为（ ）

A．a B．a C．a D．都不对 【答案】A

【解析】aaaaa1212323433123123a．故选A．

12012．计算：832021（ ）

2A．6 C．8 【答案】B

B．7 D．

3 2013【解析】8320212(2)312+22+1＝7．故选B．

22020(32)2021（ ） 3．计算：(32)122A．32 B．32

12

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C．32 【答案】A

D．32

【解析】原式＝[（32）（32）]2020•（32）＝（–1）]2020•（32）4320330.75)(2)164．计算64(= . 21332，故选A．

【答案】916

13341111110.753，[(2)3]324，16164343，

16864416164【解析】化简:64原式=

11191416816.

1的解是（ ） 9B．–1 D．1

5．方程3x1A．–2 C．2 【答案】B

【解析】∵方程3x111，∴3x–1＝3–2，∴x–1＝–2，∴x＝–1，因此方程3x1的解是x＝–1．故选B． 996．若指数函数f（x）＝（m–1）x是R上的单调减函数，则m的取值范围是（ ） A．m<2 C．1【解析】∵指数函数f（x）＝（m–1）x是R上的单调减函数，∴00且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（0，1） C．（1，0） 【答案】B

【解析】已知函数f（x）＝ax+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，∴因为指数函数y＝ax恒过点（0，1），∴当x＝–1时，x+1＝0，可得y＝a0＝1，∴函数f（x）＝ax–1恒过点（–1，1），故选B． ８．下列是指数函数的是（ ）

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13

B．m>2 D．0B．（–1，1） D．（1，1）

A．y＝（–4）x C．y＝ax 【答案】D

B．y2xD．y＝πx

21

【解析】根据指数函数的解析式，A，B，C不满足，故选D． ９．函数f（x）＝（

A．1 41x

）在区间[–2，2]上的最小值是（ ） 21B．

4D．4

C．–4 【答案】B

111【解析】函数fx()x在定义域R上单调递减，∴（fx）在区间[–2，2]上的最小值为（f2）故．

224选B．

１０．函数y＝（a–2）ax是指数函数，则

A．a＝1或a＝3 C．a＝3 【答案】C

【解析】若函数y＝（a–2）ax是指数函数，则a–2＝1，解得a＝3，故选C． １１．已知a＝B．a＝1 D．a>0且a≠1

211，b＝，c＝2，则下列关系中正确的是( ) 22234-313 A．c211273201２．(2)2(2)()3()__________．

48211x在R上为减函数，4>2>1，所以1<1<1， ，函数y＝2333222243432313【答案】

1 2221112733322344110223【解析】(2)2(2)()3()[()]21[()]3()1．故答案为：．

48222329922原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

14

12(4ab1)31１３．·1(a>0，b>0)＝________.

4(0.1)1(a3b3)28

【答案】 5

【解析】 原式＝

24ab10ab32323232328＝. 5

x4，x≥0，

１４．已知实数a≠1，函数f (x)＝a－x若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为______．

2，x<0，

1

【答案】 2

11

【解析】 当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.

22

1５．函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（ ）

A．f（xy）＝f（x）•f（y） C．f（xy）＝f（x）+f（y） 【答案】B

【解析】由函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1），得f（x+y）＝ax+y＝ax•ay＝f（x）•f（y）．所以函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有f（x+y）＝f（x）•f（y）．故选B． 1６．已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（ ）

A．c【解析】∵a＝0.50.8<0.50.5，b＝0.80.5>0.50.5，∴b>a，又c＝0.80.8>0.50.8，∴c>a，又b＝0.80.5>c＝0.80.8，∴a1７．已知函数f（x）＝ax–2+3（a≠0），则f（x）的图象过定点（ ）

A．（0，4）

B．（2，4）

15

B．f（x+y）＝f（x）•f（y） D．f（x+y）＝f（x）+f（y）

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C．（0，3） 【答案】B

D．（4，3）

【解析】令x–2＝0，即x＝2，此时f（2）＝1+3＝4，故f（x）的图象过定点（2，4），故选B． 1８．若函数f（x）＝2×ax+m–n（a>0，且a≠1）的图象恒过点（–1，4），则m+n＝

A．3 C．–1 【答案】C

【解析】∵函数f（x）＝2×ax+m–n（a>0，且a≠1）的图象恒过点（–1，4），∴m–1＝0，且2•am–1–n＝4，解得m＝1，n＝–2，∴m+n＝–1，故选C． 1９．若

B．1 D．–2

111（）a<（）b<1（a，b∈R），则（ ）

222B．baA．aa11111

【解析】若（）a<（）b<1（a，b∈R），∵y是定义域R上的减函数，

22222

∴0aa>ba，故选B．

２０．若实数a>0，则下列等式成立的是( ) A．(－2)2＝4 C．(－2)0＝－1 【答案】 D

12

【解析】 对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；

4a对于D，(a144－

0x

B．2a3＝D．(a－

1 2a3

1

144)＝a )＝a，故D正确．

1

２１．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1【解析】 ∵当x>0时，11.

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16

axa

∵当x>0时，bx0时，>1.∴>1，∴a>b，∴1A．t≤–1 C．t≤–3 【答案】C

【解析】指数函数y＝3x过定点（0，1），函数g（x）＝3x+1+t过定点（0，3+t）且为增函数，要使g（x）＝3x+1+t的图象不经过第二象限，只须函数g（x）＝3x+1+t与y轴的交点的纵坐标小于等于0即可，如图所示，即图象不过第二象限，则3+t≤0，∴t≤–3，则t的取值范围为：t≤–3．故选C．

２３．已知函数f (x)＝|2x－1|，af (c)>f (b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 C．2a<2c 【答案】 D

【解析】 作出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图，

－

B．t<–1 D．t≥–3

B．a<0，b≥0，c>0 D．2a＋2c<2

∵af (c)>f (b)，结合图象知，00，∴0<2a<1. ∴f (a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f (c)<1，∴0f (c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.

【名师点睛】对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． ２４．已知函数f (x)＝2|2x【答案】 (－∞，4]

mm

，＋∞上单调递增，在区间－∞，上单调递减．而y【解析】 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间22m

＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的

2取值范围是(－∞，4]．

2５．如果45x＝3，45y＝5，那么2x+y＝__________． 【答案】1

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17

－m|

(m为常数)，若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．

【解析】由45x＝3，得（45x）2＝9，45y＝5，则452x×45y＝9×5＝45＝1．∴2x+y＝1．故答案为：1．

1x－1与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是________． ２６．若曲线y＝3

【答案】 (0,1)

1x－1与直线y＝b图象如图所示，由图象可得：如果曲线y＝1x－1与直线y＝b【解析】 曲线y＝33

有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．

xa，x>1，２７．若函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．

2－3ax＋1，x≤1

23

【答案】 3，4

a，x>1，【解析】 若函数f (x)＝

2－3ax＋1，x≤1

x

0

是R上的减函数，则2－3a<0，

a≤2－3a＋1，

23解得a∈3，4.

２８．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 (－1,2)

1x

【解析】 原不等式变形为m2－m<2，

1x

1x≥1－1＝2， 因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以2221x

2－m<2，解得－1令t＝2x>0，∴t2＋2t－3≤0，∴(t－1)(t＋3)≤0，∴03０．已知函数fx()ax，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．

（1）求a的值；

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18

＋

12

（2）若g（x）＝4–x–2，且g（x）＝f（x），求满足条件的x的值． 【解析】（1）由已知得(12)a2，解得a＝1．

（2）由（1）知f（x）(12)x，又g（x）＝f（x）， 则4–x–2(1)x，即(1)x(1242)x2＝0， 即((1)x)2(1)x2＝0，令(1222)xt，则t>0， t2–t–2＝0，即（t–2）（t+1）＝0， 又t>0，故t＝2， 即(12)x2，解得x＝–1， 故满足条件的x的值为–1．

３１．已知函数y＝ax（a>0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为6，求a的值． 【解析】y＝ax（a>0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，

且y＝ax（a>0，且a≠1）在区间[1，2]上最值差为6， 即|a–a2|＝6，

所以a–a2＝6或a–a2＝–6， 即a2–a+6＝0或a2–a–6＝0，

解得a＝3或a＝–2（不合题意，舍去）， 所以a＝3．

３2．已知函数f（x）＝b•ax（a>0，a≠1）的图象经过点A（1，2），B（3，8）．

（1）求a，b的值；

（2）设函数g（x）＝f（x）+f（–x）14b（x≤–2），求函数g（x）的值域． 【解析】（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中， 得ab2，两式相比得a2＝4，∵a>0，∴a＝2，b＝ba381， （2）由（1）可知f（x）＝2x，∴g（x）＝f（x）+f（–x）14b2x+2–x14， 设2x＝t，则2–x111t∵x≤–2，∴0∵g（t）在（0，14]为减函数，∴g（t）≥g（14）144144，∴函数g（x）的值域为[4，+∞）．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！

19

３３．已知函数f（x）＝ax–a（a>0且a≠1），f（2）＝2．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x2+2x）在区间[–2，1]上的值域．

【解析】（1）∵函数f（x）＝ax–a（a>0且a≠1），f（2）＝2，

∴f（2）＝a2–a＝2，∴a＝–1（舍去），或a＝2，函数f（x）＝2x–2． （2）令t＝x2+2x，–2≤x≤1，

∵t＝（x+1）2–1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝–1，

∴t在[–2，–1]上递减，在[–11]上递增，∴x＝–1时，t取得最小值–1． 又函数f（t）＝2t–2，当–1≤t≤3时为递增函数． ∴2–1–2≤f（t）≤23–2，即33f（t）≤6，故f（x2+2x）在区间[–2，1]上的值域为[，6]． 22３４．已知函数f (x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f (x)的表达式；

1x1x

(2)若不等式a＋b－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

b·a＝6，【解析】 (1)因为f (x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a2＝4，

b·a3＝24.

又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f (x)＝3·2x.

1x1x

1x＋1x在(－∞，1]上(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤2323恒成立．

1x

1x在(－∞，1]上均为减函数，所以y＝1x＋1x在(－∞，1]上也是减函数，所以当又因为y＝与y＝23231x1x55－∞，5. x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是62366

３５．【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， fxx，则f8的值是 ． 【答案】4

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20

【解析】2f(8)834，

因为f(x)为奇函数，所以f(8)f(8)4 故答案为：4

【名师点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

３６．【2020年高考北京】已知函数f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是（ ）

A. (1,1) B. (,1)(1,)

C. (0,1) D. (,0)(1,)

【答案】D

【解析】因为fx2xx1，所以fx0等价于2xx1，

在同一直角坐标系中作出y2x和yx1的图象如图：

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，

不等式2xx1的解为x0或x1.所以不等式fx0的解集为：,01,.故选：D.【名师点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

３７．【2020届广东省惠州市】已知函数f(x)e|x||x|，则满足f(2x1)f13的x取值范围是

（ A．1123,23 B．1,233 C．12,23 D．2,3 【答案】A

【解析】由f(x)e|x||x|f(x)，知f(x)是偶函数，

不等式f(2x1)f113等价为f(|2x1|)f(3)，

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）21

x当x0时，f(x)ex，f(x)在区间[0,)上单调递增，

112|2x1|,解得x.故选A.

333【名师点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.

３８．【2020·山东省高三期末】函数yfx是R上的奇函数，当x0时，fx2，则当x0时，

xfx（ ）

A．2x C．2x 【答案】C 【解析】

xx0时，fx2.

B．2x D．2x

当x0时，x0，fx2，

x由于函数yfx是奇函数，fxfx2，因此，当x0时，fx2，故选C.

xx【名师点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出fx的表达式，再利用奇偶性得出fx的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.

2x3３９．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数yx在6,6的图像大致为 x22A． B．

C． D．

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22

【答案】B

2(x)32x32x3【解析】设yf(x)x，则f(x)xxf(x)，所以f(x)是奇函数，图象xxx222222243263关于原点成中心对称，排除选项C；又f(4)40,排除选项D；f(6)67，排除选项

224226A，故选B．

2x，x0４０．【2018年高考全国I卷文数】设函数fx，则满足fx1f2x的x的取值范

1，x0围是

A．，1 C．1，0 【答案】D

【解析】将函数（的图象画出来，观察图象可知会有fx）B．0， D．，0

2x0，解得x0，所以满足

2xx1fx1f2x的x的取值范围是，0，故选D．

【名师点睛】该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果．

xx４１．【2017年高考北京卷理数】已知函数f(x)3()，则f(x)

13A．是奇函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数

B．是偶函数，且在R上是增函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

23

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【答案】A

1【解析】fx33xxx1x3xfx，所以该函数是奇函数，并且y3是增函数，3x1y是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A．

3【名师点睛】本题属于基础题型，根据fx与fx的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性．

x1，x0，1４２．【2017年高考全国Ⅲ卷】设函数f(x)x则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是

22，x0，__________． 【答案】(,)

1411111xxx0x2x11恒成时，x恒成立，即；当时，222122221111立，即0x；当x0时，x1x11x，即x0.综上，x的取值范围是

22441(,)． 4【解析】由题意得：当x1λ

４３．(2020·长沙模拟)已知函数f (x)＝x－x－1＋4(－1≤x≤2)．

423

(1)若λ＝，求函数f (x)的值域；

2(2)若方程f (x)＝0有解，求实数λ的取值范围．

12x1λ1x＋4(－1≤x≤2)． 【解析】 (1)f (x)＝x－x1＋4＝－2λ·2242－1x12－2λt＋4≤t≤2. 设t＝，得g(t)＝t243371

t－2＋≤t≤2. 当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4＝2442

1533＝7.所以f (x)max＝53，f (x)min＝7， 所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g41624164753故函数f (x)的值域为4，16.

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(2)方程f (x)＝0有解可转化为λ＝2·2x＋11

2·2

x(－1≤x≤2)．

设φ(x)＝2·2x＋112·2x2≤2x≤4，当2x＝1

2，即x＝－1时，φ(x)min＝2； 当2x＝4，即x＝2时，φ(x)65

8

.所以函数φ(x)的值域为2，65max＝

8. 故实数λ的取值范围是2，65

8.

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