AGAD(R);GEGF
求点G的横坐标的取值X围． 2设椭圆的中心是坐标原点，焦点
. 在
2GH;.
高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集
1.如图，直线 l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上
(B、D位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点， 点是N，且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ)建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．
(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线 l交(Ⅰ)中的轨迹 C于E、F两点；另外平面上的点G、 H满足：
GHEF0.
l2
3
M
l1
M在l1上的射影
e
x
轴上，离心率
2 ，点P(0,3)到这个椭圆 B
上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程.
A D N B
22
x y
1(a b 0) x 25, C1: 3
22
. 椭圆 a b 4 其左、右顶点分别 的一条准线方程是
x
C22
y
2
2是A、B；双曲线 :a2 b 1 的一条渐近线方程为3x－5y=0. 〔Ⅰ〕求椭
C1的方程及双曲线 C2的离心率； 圆
〔Ⅱ〕在第一象限内取双曲
C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆 线
1 MN AB0.
C 于点N，假设AM MP. 求证： 4
. 椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点F〔c,0〕到相应准线的距离为 交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为
〔1〕用半焦距c表示椭圆的方程及
tan;
〔2〕假设2 与原点的距离为2 〔1〕求椭圆的方程 5.椭圆a 2 b 〔a＞b＞0〕的离心率 3 22 1，倾斜角为45°的直 线 a. 6 e 3 ，过点A〔0，-b〕和B〔a，0〕的直线 〔2〕定点E〔-1，0〕，假设直线y＝kx＋2〔k≠0〕与椭圆交于CD两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 6.在直角坐标平面中， ABC的两个顶点 A,B 的坐标分别为A(1,0)B(1,0) ，，平面内 两点 G,M 同时满足以下条件： 专业资料整理 WORD格式 MAMB ① MC ；③ GM∥AB GAGBGC0 ；② Word资料 专业资料整理 WORD格式 . 〔1〕求 ABC 的顶点的轨迹方程； P(3,0)C E,F 〔2〕过点 7. 设x,y 的直线l与〔1〕中轨迹交于 两点，求PEPF的取值X围 R，i,j 为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，假设 (y2)j，且|a||b|8 OPa xi(y2)j,bxi OAOB ，那么OAPB 〔Ⅰ〕求动点 M(x,y)的轨迹C的方程； 〔Ⅱ〕设曲线 C上两点A．B，满足(1) 直线AB过点〔0，3〕，(2)假设 为矩形，试求 AB方程． 8. 抛物线 C：y 2m(xn),(m 0) 0,n l 0) 的焦点为原点，C的准线与直线 l:kxy2k 0(k 平分线交x轴于点N〔p，0〕． 〔Ⅰ〕求抛物C的方程； 线 〔Ⅱ〕XX数 p的取值X围； 的交点M在x轴上，与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直 C、D、 3 4 〔Ⅲ〕假设C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程． 9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴 AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于 1 AE AC交双曲线于E，设EC 2 ，当3 D1、C1四点，且|CD|＝ 2|AA1|.椭圆的一条弦 时，求双曲线的离心率 e的取值X围. Word资料 专业资料整理 WORD格式 4x2 . 2上，且点A是椭圆短轴的一个端 10. 三角形ABC的三个顶点均在椭圆 5y 点〔点A在y轴正半轴上〕. 假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直 线 BC的方程; 80 假设角A为90 0，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 11. 如图，过抛物线 Q x24y的对称轴上任一点 P(0,m)(m 0)作直线与抛物线交于 A,B 两点，点是点P关于原点的对称点. (1) 设点P分有向线段 xAB 所成的比为 2y 12 1 0，过，证明: QP(QAQB); A,B两点的圆(2) 设直线AB的方程是 切线，求圆C的方程. C与抛物线在点 p A处有共同的 p 212. 动点P〔p，-1〕，Q〔p， 为曲线C. 22 〕，过Q作斜率为 的直线l，PQ中点M的轨迹 是定值. 〔1〕证明：l经过一个定点而且与曲线 C一定有两个公共点； 〔2〕假设〔1〕中的其中一个公共点为 A，证明：AP是曲线C的切线； 〔3〕设直线AP的倾斜角为 ，AP与l的夹角为 ，证明： 或 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 13.在平面直角坐标系内有两个定点 F(1,0)F、F. 12和动点 F、FP，12坐标分别为1 C C y F(1,0)、 x |PF1| |PF，动点P满足2 的对 22 C'y| 2 ，动点P的轨迹为曲线，曲线关于直线 3 C' 称曲线为曲线，直线 积为， 7 x m 与曲线交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面 F1、F2 〔1〕求曲线C的方程；〔2〕求m的值。 x 14.双曲线 上. a2 2 y 2 1(a 0,b0) 2 b 的左右两个焦点分别为 PF1PF2 ,点P在双曲线右支 3 41 16 ( , ) 〔Ⅰ〕假设当点P的坐标为 5 〔Ⅱ〕假设|PF1|3|PF2 |5 时, ,求双曲线的方程； ,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. x 2 y 2 1 b 12 15.假设F、F为双曲线 a 的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点 OF1 OF1 OM )( OM1 0) . F1O M在右准线上，且满足； 〔1〕求该双曲线的离心率； PM,OP( 〔2〕假设该双曲线3 过 N〔2， 〕，求双曲线的方程； 〔3〕假设过N〔2， 〕的双曲线的虚轴端点分别为 在双曲线上，且2 A OFB 3 1 2 1 B、B〔B在y轴正半轴上〕，点A、B B2B,求B1A x BB 1时，直线AB的方程. 16.以O为原点，所在直线为轴，建立如 坐标为 所示的坐标系。设 f(t)OFFG1，点F的 (t,0)，t[3, x0 x0 )，点G的坐标为00。 f(t)(x,y) 〔1〕求关于t的函数 S （2〕设OFG的面积 最小值时椭圆的方程； 的表达式，判断函数 的单调性，并证明你的判断； G，求当取 |OG|31t 6，假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 〔3〕在〔2〕的条件下，假设点P的坐标为 XX数 的取值X围。 Word资料 . (0,9 ) 2，C、D是椭圆上的两点，且PC PD(1)， 专业资料整理 WORD格式 17.点C为圆 MQ(x1)2y28 . 的圆心，点A〔1，0〕，P是圆上的动点，点Q在圆的 半径CP上，且 AP 0,AP 2AM. 〔Ⅰ〕当点P在圆上运动时，求 点 Q的轨迹方程； 〔Ⅱ〕假设直线 的轨迹交于不同两点 2 OFOH 且3 y kx k 21 与〔Ⅰ〕中所求点 Q a c。 F，H，O是坐标原点， 3 4，求△FOH的面积的取值X围。 18.如下图，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中 〔1〕假设圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点 P A 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲 O B 线； 〔2〕经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值X 围。 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 19.设O为坐标原点,曲线 x x2y22x6y10 . 上有两点P、Q满足关于直线 my40 对称，又以PQ为直径的圆过O点. a 〔1〕求m的值; 〔2〕求直线PQ的方程. 3,y),b(x3,y)，且 a 20.在平面直角坐标系中，假设 Q(x,y)〔1〕求动点的轨迹(x b 4 ， A,B ， P、Q，F C的方程； 0)〔2〕定点P(t,0)(t ，假设斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点[0,2]，使得且对于轨迹C上任意一点M，都存在 试求出满足条件的实数 的值。 21.双曲线 是双曲线的右焦点。 x a 22 t OMcos OA sin OB成立， y 1 b 〔a>0,b>0〕的右准线2 l2与2 一条渐近线l交于两点 〔I〕求证：PF⊥l ； y=x+b交双曲线于A，B两点，且 〔II〕假设△PQF为等边三角形，且直线 曲线的方程； l1 AB ，求双 30 （III〕延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，假设M为PN的中点，求双曲线的离 如图，在直角坐标系23. 中， 点A〔-1，0〕，B〔1，0〕，P〔x，y〕〔 。 y心率e。 22.又曲线在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，假设 点 A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。〔I〕求此双曲线的方程； 〔II〕求直线MN的倾斜角。 0〕。设AP、OP、BP 与x轴正方向的夹角分别为 α、β、γ，假设 〔I〕求点P的轨迹G的方程； 〔II〕设过点C〔0，-1〕的直线l与轨迹G交于不同两点 x M、N。问在x轴上是否存在 0值；假设不存在说明理 由。 。 一点 Ex0，0 ，使△MNE为正三角形。假设存在求出 x C:2 2 y 21ab0 b 过点 2 F1 M2,1 ，且焦点为 2,0 24. 设椭圆a 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 〔1〕求椭圆的方程； 〔2〕当过点P4,1C . C Q 的动直线与椭圆相交与两不同点 PBQA、B时，在线段AB上取点， ，证明：点总在某定直线上。 满足APQB AQ 25. 平面直角坐标系中， O为坐标原点，给定两点 OC OA OB,其中 、 x a2 2 A〔1，0〕、B〔0，－2〕，点C满足 1 R,且 y 2 2 〔1〕求点C的轨迹方程； 0) 1(a 0,b 〔2〕设点C的轨迹与双曲线 过原点，求证： 1 2 2b 2 交于两点M、N，且以MN为直径的圆 1 为定值 . a b 26. 设F(1,0) MN 2NP. ，M、P分别为x轴、轴上的点，且 y PMPF ，动点N满足： 0 〔1〕求动点的轨迹E的方程； C(c,0)(c 0)N l 〔2〕过定点任意作一条直线 与曲线E交与不同的两点 A、B，问在x轴 Q 点的坐标；假 上是否存在一定点，使得直线 不存在，请说明理由. QAQ、的倾斜角互补？假设存在，求出 BQ DAB 3 设 1 27. 如图，直角梯形 ABCD中，∠ 90 ，AD∥BC，AB=2，AD=2，BC=2 椭圆F以A、B为焦点，且经过点 D， 〔Ⅰ〕建立适当的直角坐标系，求椭圆 F的方程； 椭圆F交于M、 N MN的中点为点C 两点，且线段 〔Ⅱ〕是否存在直线 l与 线l的方程；假设不存在，说明理由. BH3HC，假设存在，求 直 C B D A 28. 如下图，B〔–c，0〕，C〔c，0〕，AH⊥BC，垂足为H，且． 〔1〕假设 2ABAC =0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率； AB 〔2〕D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上， 7 当―5≤≤时，求椭圆的离心率e的取值X围． 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 两点 G,M 29.在直角坐标平面中， . ABC的两个顶点 A,B 的坐标分别为A(1,0)B(1,0) ，，平面内 同时满足以下条件： MA MB MC ①GA GBGC0；② ；③GM∥AB 〔1〕求 ABC的顶点C的轨迹方程； 〔2〕过点 P(3,0)的直线l与〔1〕中轨迹交于 E,F 两点，求PEPF的取值X围 答案： 1.解：那么D(1，(Ⅰ) 以A点为坐标原点，l1 为x轴，建立如下图的坐标系， 0)， 设 M〔x，y〕，那么N〔x，0〕. ∵|BN|=2|DM|， ∴|4－x|=2(x－1)2+y2, 整理得3x2+4y2=12, ∴动点M的轨迹 x2 y2 方程为4+3=1. (Ⅱ)∵AG AD(R), ∴A、D、G三点共线，即点 G在x轴上；又∵GE GF2GH,∴H点为线段EF的中点； GHEF 0, 又∵ ∴点G是线段EF的垂直平分线 GH与x轴的交点。 设 l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得 (3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点， ∴l与椭圆必有两个交点， 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为〔x0，y0〕， 8k2 4k2－12 ∴x1+x2= 3+4k2 ，x1x2= 3+4k2 ， x1+x2 4k2 －3k x0= = ，y0=k(x0－1)= ， 2 3+4k2 3+4k2 ∴线段EF的垂直平分线为 1 y－y0=－k(x－x0)，令y=0得， －3k2 4k2 k2 点G的横坐标xG=ky0+x0= + = 3+4k2 3+4k2 3+4k2 1 3 =－ ， 4 4(3+4k2) ∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0< 1 <1 ，∴－1 <－ 3 <0， (3+4k2 ) 3 4 4(3+4k2) 专业资料整理 0)，B(4， WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 3 ∴xG= 1 － 4 4(3+4k2) 1 ∴点G的横坐标的取值X围 为 (0， 〕. 4 e 3 c 3a 2 1 〔 b. (0， 〕 4 1 2.解：∵ 由a 22 2 ，∴ b 2 c 得 a 2b x 22 y 2 ∴设椭圆的方程为 即4b b byb〕 2 0〕 x 24b 24y〔 2 设M(x,y)是椭圆上任意一点，那么 x 1即 b 2 2 4b 2 12 2 〔 2b yb〕 |PM| 假设 b 由有2 (y3) 2 3(y1) y1 b，那么当 12 16，得b 1时，|PM|max 1； 4b 12 4b 1b 即 由有2假设0 1 b，那么当 6b 9 16，得b 1 . yb时，|PM|max 7 2b 6b9 2 b b 2〔舍去〕. 综上所述， 1，a x 2 2. y 25 2 所以，椭圆的方程为 4 a 2 c 4 a 5 b 3 解之得: b 3 a 5 c 2 a b 22 c 4 3.解：〔I〕由 ∴椭圆的方程为 又 x 25 9 2 y 1 9 2 x ，双曲线的方程 25 2 y 2 1 9. C25 34 ∴双曲线的离心率 e2 34 5 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕A〔－5，0〕，B〔5，0〕 (2x∴P点坐标为设M. (x,y)那么由AM00 2MP得M为AP的中点 2 x0 y0 1 25 9 (2x0 25 5) y0 9 2 1 0 2 5,2y0) 将M、p坐标代入 c1、c2方程得 x0 解之得 33 5 或x0 5(舍) y 33 消去y0 得2x0 5x0 25 0 3 2 由此可得P〔10， 3) y (x5) 105 (x5) 当P为〔10， x 233) 时PB： 得 x x 15 1:2 2 即 5 y 9 5 2 2 代入25 xN x 5或 舍 250 5( ) 2 即MN AB 0 cc,b 设2222 xN xM MN⊥x轴 2 a c1,那么a2 4.解：〔1〕由题意可知c x c 2 2 a c c, 所以椭圆方程为 y c 2 c 1 4分 A(x1,y1),B(x2,y2)，将其代入椭圆方程相减，将 1 ,tg c 1 y1 y2 1与kOM x1 x2 y1 y2 kOM x1 x2 代入可化得 1 1 c 2 | c1 | 1 1 c c 1 26 2 c2 3,1c2,那么e c c a <3，那 〔2〕假设2 a3 6， ab 依题意 c 1 (,) 2 c c 1 2 3 1 c a 23 2 a b 3， 1 b 2 解得 专业资料整理 WORD格式 ∴椭圆方程为 x 3 2 y 2 1 Word资料 专业资料整理 WORD格式 y kx x 2 . 2， 22 9 0 ① 〔2〕假假设存在这样的k值，由 ∴ C(x设y)3y 2 3 0得(1 12k2， 1 3k 9 x2) 4 3k)x 12kx y1 x1(12k) 2 36(13k) 0 D(xy)2 y2 1 x1 x2 x1 x2 2，2，那么 2) kx1x2 2 ② 1 ，即 ③ 1，1 (kx1 2)(kx2 1 3k 2k(x1 2 yy而 12 要使以CD为直径的圆过点 E〔-1，0〕，当且仅当CE⊥DE时，那么 1 x2 y1y2 (x11)(x21)0 2 ∴ (k 6 1)x1x22(k1)(x1 x2)50 k 将②式代入③整理解得 7 k 综上可知，存在，使得以 7 7 k 6 经历证， 6，使①成立 CD为直径的圆过点E 6.解：〔1〕设 C(x,y),G(x0,y0),M(xM,yM). MAMB ， 由A(1,0), M点在线段AB的中垂线上 0 B(1,0),xM GC 1 y y ；又GM ∥AB， yM 2 y0 1 y0. 又 GA x 2GB y 3 20 x 2 y 3 0， k(x 顶点的轨迹方程为 3)，E(x1,y1)，F(x2,y2) C(2)设直线l方程为： y k(x 23) 2 y 由 x1 x2 x3 1 2 消去y得：k 23x 9k 2k 226kx9k 3 3 22 30① 6k 2k 3 ， x1x2 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 PEPF PE PF cos0 PE PF 而 6k. 1 k 3 ＜ 823x1 1 88 8, k3x2 2 2 2 2 由方程①知 4k 3 39k 2 k 3 23＞0 k PE 2 27 3, PF k02， 0＜k＜8， 8 (0 M(x,y),F1 , 2),F2(0,2) 7.解：解：令 那么 aF1M,bF2M 即 |a||b||F1M||F2M| 即 |F1M||F2M|8 又F1F2 42C c2,a4,b2 12 ∵ ∴ y2 x2 1 所求轨迹方程为 16 12 〔Ⅱ〕解：由条件〔 2〕可知OAB不共线，故直线 AB的斜率存在ykx3,A(x1,y1),B(x2,y2) 设AB方程为 y kx 3 y2 x 2 (3k2 4)x2 18kx21 0 1 则 1612 ∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB OAOB0 5 k x1x2y1y20∴ 得 4 5 y x 3 所求直线方程为 4 ⋯ 8.解：〔I〕由题意，抛物线顶点为n，0〕，又∵焦点为原点〔－ ∴ m 准线方x n 程 4 且有m=4n. ( m ,0) ∵准线与直线l交点在x轴上，交点为 2 又l与x轴交于〔－2，0〕，∴m=4，n=1 专业资料整理 9 . m＞0 WORD格式 ∴抛物线方程为y2=4〔x+1〕 kx 〔II〕由 Word资料 y2 1)0(k 0) y2k 0 222得kx 2 4(k 1)x4(k 4(x 1) 专业资料整理 WORD格式 16(1k) 2 . 0 ∴－1＜k＜1且k≠0 2 y 2 k ∴AB的中垂线方程为 2(1 k) a 2 依左准线方程有c c2 p2 得 k 2 2 1 [x 2(1k) ],令y0 2k k 2 b =|y|2a ±x，y〕 2 2k ∴ p∈〔2，+∞〕 （III〕∵抛物线焦点F〔0，0〕，准线x=－2 ∴ x=－2是Q的左准线 设Q的中心为O′〔x，0〕，那么短轴端 点为〔假设F为左焦点，那么c=x＞0，b=|y| ∴a2=b2+c2=x2+y2 x y x x 22 即y2=2x〔x＞0〕 若 F为右焦点，那么x＜0，故c=－x， ∴a2=b2+c2=x2+y2 2 2 x y (x) x 即 4(x 1)2 2 即 2y 2 c2 依左准线方程有c 2 化简得2x2+2x+y2=0 1 〔x＜0，y≠0〕 1, x y 9.解：建立如原题图所示的坐标系，30AB的方程为 20 那么 由于点P在AB上，可设P点 2x (10 2x (x,20 ) S 0 x) [80(20 . )](0 x30). 3 那么长方形面积 3 的坐标为 30) 50时,Smax 6017(m2). S 2x2 20x 6000(0x . x 5,y 3 3 易知，当 3 化简得 c c ,h),C(,h)D( , 〕,A1(c,0，那 2 〔其中c为双曲线的半焦距， h为C、 〔21〕解：设A〔－c,0 ) 么 2 AE EC c c 2 ,xE 1 c( 2) h 2( ,yE 1 c( 2) h ( , ) 专业资料整理 WORD格式 D到x轴的距离〕 2 2 1) 2( 1) 1 即E点坐标为 x y 1 设双曲线的方程为 b2 C( ,h),E( 2), h ) 将 2cc( a2a ，将 c e2x2 y 2 1 2e代入方程，c b 2 ① 得 e h 42 21,e ( 2)2 ( 2) 2h 2 1. 1b 2 2 2( 1) 1 代入①式，整理得 b 4 1 2 h 2 2 2 e 1 3 2 ,得2 e e 1,所以 消去b Word资料 2 1 2 e 2 e 专业资料整理 . 2 WORD格式 3 2 3 . 2 由于3 2 ,所以 1 ,故7 3 e 2 4 3 e 2 4 107 e10. 10.解：1〕设B〔, 21 2x21,x1y1〕,C( x2,y2 ),BC中点为( x0,y0 ),F(2,0) 2x y1 2 y2 1 20 16 那么有20 16 两式作差 有 (x1 x2)(x1 x0 5 x2) (y1 20 y2)(y1 y2) 16 x1x2 2 3 2， ，得 0 y0k 0 4 (1) F(2,0为三角形重心，所以 ) 由 y1 由 y2 4 0 3 得x0 3 y0 6 k 5 代入〔1〕得 6x5y280 直线BC的方程为2)由AB⊥AC得x1x2 0 y y1y2 14(y1y2)16 kxb,代入4x 5b 2 2 〔2〕 设直线BC方程为 (4 5k)x 10bkx 225y 2 80，得 80 0 5b 4 4b 22 x1 10kb x2 x1x2 2 4 5k ， 8k y2 2 ,y1y2 4 5k 32b 16 0 45k 2 80 25k 2y1 9b 280k 2 4 5k 代入〔2〕式得 4 b ，解得 b4(舍)或 9 直线过定点 4) 9 ，设D〔x,y〕 0， 专业资料整理 WORD格式 〔 Word资料 专业资料整理 WORD格式 4 y 9 那 x 么 9y 2. y 4 x 2 1 16)2 9 。 即9x 32y160 2 ()(y4) 9 202 x (y 所以所求点D的轨迹方程是 依题意，可设直 线 AB的方程为 11.解：(1) x 2 y kx m,代入抛物线方程 2x 4y得 4kx 4m 0. ① A,B 两点的坐标分别 (x1,y1) x2 (x2,y2),那么x1 是 、 、 是方程①的两根. 设 所以 x1x2 由点P(0,m)4m. x1 x2 0,即 x 1. 分有向线段AB所成的比为 ，得 1 x2 又点与点P关于原点对称，故点 Q的坐标是(0, QP (QA QB) x22Q m)，从而QP (0,2m). 2m[y1 x1y2 (1 )m] x1 x2 (1 )m] 2m(x1 x2) x1x2 4m 2m[1 4 x2 4 x2 4x2 2m(x1 x2) 4m 4m 0. 4x2 所以 QP(QA QB). x 2y 120, 4y, y (22) 由 x 由 得点A,B的坐标分别是〔 6，9〕、〔－4，4〕, 1 2 1 x 2 4y 得 4 x ,y 2 x, 所以抛物线 x 设圆2 4y在点A处切线的斜率为 方程是 (a (x2 yx 6 3, 2 2 23, r2 2 C的圆心为(a,b), b 9 1 , a 6 3 2 2 那么(a 6) (b 9) a) (yb) r, 3 a ,b 2 2 4) (b 4) . 解得 2 125. 2 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 3 2 (y 23 2 125 ,(或2. x 2 y 3x ) 那么圆C的方程是 (x 2 2 ) 2 p 2 p 23y 720.) y1 12.解：〔1〕直线 l 的方程是： 4 (xp) y x1 ，即 2 p 2 2 ，经过定点〔0，1〕； x 2 p 2 p 2 y 4. 又M〔p， 2 〕，设x=p，y= 4 ，消去p，得到的轨迹方程为： x y 4 y px 1 2 0 x有 2px 4 ，其中△=4p2+16，所以l 经过一个定点而且与曲线C 由 2 一定有两个公共点. 2 2 2〔2〕由 x 2px4 0，设A〔 p 4) 1 4 p p 4 222p 2 p (p 4, p 4 4) ，从而AP是曲 〕， p 4 2 p 22 (p kAP 2 p 4 2 ， 那么 y 又函数 x 2= x y 4 的导函数为 p 2，故A处的切线的斜率也是 p 线C的切线.对于另一个解同样可证. p 〔3〕当A〔 p 2 4 ， p 4, 2(p p 4) 4 〕时，tan = 2 p 2 22 2 2 p 4 p p 2 2 2 p p 4 p 2= ptan = 1 2 tatan n =1， 4， 2 =90°； 又易知 与 都是锐角，所以 2 (p p 4 2 4) 〕时，tan= p 4 2 p p 4, 当A〔 ， 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 p p 4 2 . p 2 4 p 4 2 2 p p 2 tan= 1 2 2 =p p2 ，tan tan =-1， 是定又易知 是钝角， 都是锐角，所以 =90°.总之 或 值. 13. 解：〔1〕设P点坐标为(x,y) ，那么 (x 1)2 y2 2 (x 1)2 y2 2 ，化简得(x 3)2 y2 8， 所以曲线C的方程为(x 3)2 y2 8； 〔2〕曲线C是以( 3,0) 为圆心，2 2为半径的圆 ，曲线C'也应该是一个半径为 (0 圆，点( 3,0)x关于直线y 的对称点的坐标为 , 3) ，所以曲线C'的方程为 x2 (y 3)2 8， 该圆的圆心(0, 3)到直线yx m 3的距离d为 |0 ( 3) m 3| |m| d 12 (1)2 2 ， m2 m2 1 7 2 ，或 2 ， 所以，m 2，或m 14。 ( c 3 41, 16) (c 341,16) 14.解：〔Ⅰ〕(法一)由题意知,PF1 5 5, PF2 55 (c 341)(c 341)(16)2 0 PF1 PF2, PF1 PF2 0, 5 5 5 〔1分〕 解得c2 25, c5. 由双曲线定义得: |PF1| |PF2| 2a, 2a (5 341)2 ( 16)2 (5 341)2 ( 16)2 5 5 5 5 ( 41 3)2 ( 41 3)2 6, a 3,b 4 专业资料整理 22的, WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 x 所求双曲线的方程 : 9 为 2 . y 16 2 1 , 由焦半径公式得 2a c, 2 (法二) 〔Ⅱ〕设因PF1 PF2 ,由斜率之积为 1,可得解. r1,|PF2| r2, |PF1| ( 设P 法一) 的坐标为 (x,y) r1 3r2, a a, c a 4r2, 2 2ex 1 3 , r2 2r2 3(exa),x r1|aex|aex,r2|aex|ex x e 2 2a a, a, c 2a c， a 2 c 2, a 3x b a e 的最大值为2,无最小值.此时 y (0, ]. 此时双曲线的渐进线方程 为 (法二)设 (1) 当 F1PF2 时, , r1 r2 2c,且r13r2，2c 2a r1 2c 4r 2 e 2 2a 2r 2 . 此时 (2) 当 〔0，〕 ,由余弦定理得: 106cos 2 e的最大值为 , 2c r 2 10 6cos e 2a 2r2 (1,2),综上,1,1cos( ) , e 2,但e无最小值.(以下法一) OF1 ( 0F1 OM OM ) OP F1O PM 1OM 15.解：〔1〕由 知四边形 PF 0)为平行四边形，∵ PFOM为菱形，又∵ OF1 〔 ∴OP平分∠，∴平行四边形 F1OMc 专业资料整理 WORD格式 PF1 C,PM ∴ C,e e2 2 0,e 2 . x 2 y 2 ∴所求双 曲 1，其过点N〔2，3〕， 〔2〕∵∴ Word资料 e2c 2a∴双曲线的方程为a 23a 2专业资料整理 WORD格式 xy 1 线的方程为 B(0,3),B(0,3), 〔3〕依题意得 39 22 . 12 ∴ B2AB2B,A、B2、B共线，不妨设直线AB为： y=kx-3,A(x x 2 y kx3 1 x 3 2y 9 2 1 ，得 (3 k)x 22 6kx18 0 ，因为 不合题意， 9 ,y1),B(x2,y2),那么有 y y 1 2 3x，当k 6k ,x13 k 9 的渐进线为 3,∴ x1 2 3 时，AB与双曲线只有一个交点， 18 18 y，当 BA又 x2 3k2 x2 3k 3)，∴1 y2 5 3k2,y1y21 5x (x1,y1 3),B1B(x2,y2 3,y FGk ∴所求的直线AB的方程为 y 5x 3. (x0 16.解：〔1〕由题意知 函数 f(t) OF FG (t,0，那t,y0),OF ) 么 1 t(x0t)1,x0t t 在 [3,) 是单调递增函数。〔证明略〕〔4分〕 1 S 〔2〕由 (t 1, t 点G |OF||y0| ),|OG| 2 31t 6 y0 31 9 ， 31 3， 3 时， 2 31 3 [3,)(t 1)2 t t f(t 1 ) t 因 10 t在 上是增函数，当|OG| x y 2 2 取最小值，此时 F(3,0),G(, 3 31) 3， 依题意椭圆的中心在原点，一个焦 点 1(a 2F〔3，0〕，设椭圆方程为a b 2 b0) ，由 〔9分〕 x G点坐标代入与焦 点 F〔3，0〕，可得椭圆方程为： 18 2 y 1 9 2 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 PC(x,y 9) 2 (m,n 9) 9. 〔3〕设C(x,y),D(m,n)，那么 PD, (x,y ),PD(m,n 2 x 9) 2 ， 9 2， 9)2 2 1 m PC 由 m,y n 9 2 9 2 ， 2 2 2 2 ( n m n 1, m 2 9 18 1 5 5 ， 18 因点C、D在椭圆上，代入椭圆方程得，18 n 得 4 135 ，又 |n|3, 1| ，消去， 13 |3 4 5 [,1) (1,5] 那么实数 的取值X围为 5 。 17. 解：〔1〕由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是 2|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 c=1，长半轴a=2的椭圆，短半轴 x 点Q的轨迹E方程是：2 2b >|CA|=2，于是点 Q的轨迹是以点 C，A为焦点，半焦距 a 1 . 2 2 c 2 1, 2 y 2 x y 1 2 k 22 〔2〕设Ｆ〔x1，y1〕H〔x2，y2〕，那么由 ykx 消去y得1， 8k 0(k0) 2(2k 21)x 24kk 2 1x 2k 0, y轴建立直角坐标系，那 18.解：〔1〕以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为 么 A〔－c， 0〕，B〔c，0〕 依题意：又点O到直线FH的距离d=1， |PA|2a |PB|,|PA||PB| 2a 2c c 2 2 a，虚半轴∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为 为 x ∴轨迹方程为：2 a 的双曲线右支 y c 22 a x1 y1 2 1(xa) 2 a 。 x2 y2 （2〕法一：设M〔，〕，N〔，〕依题意 知曲线E的方程为 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 2 y x 3 2 . 1(x 1) y y3x ① ，l 的方程为 k(x 2) 设直线m的方程为 x 2 2 y 1 3 2) 由方程组 y k(x (k 3)x 2 2，消去y得 30 2 4kx4k 2 22 x1 x2 4k ,x1x2 k 24k k 3 2 3(k2 30) ∴ ∵直线 x ∴ m:y 3 2) 0及k(x xx与双曲线右支交于不同的两点 0 1 x2 k 2 12 2 ，从而k 2 3 3x 3 3(x x 4x 2 2) 由①得 5 4 x 4且x 2 解得 x1 当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴ | 3x1 y1| 的距离为d，那 d 2 又设M到l 么 (,) 4 5 y∵ 1 3 x1 1 2 ) 5 d ∴ 3 3 2 2 (x1 x1 1) 2 2 x1 x1 1 3 2 y d(x) 设 1 x x 22 5 1，4 x[, x与y x [由于函数 ∴1均为区间 4, 的增函数 ) d(x) [, 5 ) 专业资料整理 WORD格式 在 4 Word资料 单调递减 专业资料整理 WORD格式 d() ∴5 . 3 4 d(x) 的最大值＝ li m x lim d(x) x 5 4 3 2x ) 又∵ 1 2 0 x 1 x1 (, 4 而M的横坐标 法二： ll:g 3x d (0, 3) 4 ，∴ 为一条渐近线 0 ①m位于1时，m在无穷远，此时d l M 44 (,) 533 ②m位于2时， y 3(x2) 2 2x y 1 3 533 5 x 4 ，d较大 由 (,) 44 点 M d ∴ 3 5 3 3 4 4 2 3 4 3 4 0d 故 19.解：(1) 曲线x 两点P、Q满足关于直线 入解得 m 1. x 2 y 2x my 2 6y 10表示以( 4 对称,那么圆心 0 ( 1,3)为圆心,以3 为半径的圆,圆上 1,3)在直线x my40上,代 (2)直线PQ与直线y yx4 垂直,所以设PQ方程为 xb,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将直线 由 yxb与圆的方程联立得 2x22(4b)xb 2 6b10 0,解得232b232. 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 b x1 x2b4,x1x2 2 . 6b1 2 . 又以PQ为直径的圆过 O点 0解得OPOQ x1x2 y1y2 b 1 (2 3 2,2 3 2). 故所求直线方程 x y 1 0. 为 20.解：〔1〕∵ (x ∴动点Q(x,y)到两个定点1 F(a3,y),b (x 3,y)，且 2a b 4 ， 3,0),F(3,0)的距离的和为 4， y 1 x 22 x ∴轨迹C是以1 F ( 2 3,0),F2( 3,0) 为焦点的椭圆，方程为 t 4 2 y 1 A(x,y),B(x,y)〔2〕设，直线AB的方程为1122y 2x ，代入4 0， 5，且 2x1， 消去 y得5x 由 2 8tx 4t 4 0得t 2 8t ,xx5 2 4 ， 4t 5 x2 t 4 12 yy∴12 设点(x1 t)(x2 t) OM 5 x x1cos x2sin y y1cos y2sin M(x,y)，由cos OA sinOB可得 M(x,y)∵点在 C上， ∴ ∴ 4x 4y (x1cos cos(x1x2 4y1y2) 22 x2sin ) 0， 2 4(y1cos y2sin) ， 2 2sin [0,2 ] x1x2 4y1y2 0 的任意性，∴ ， 又因为 4t 2 4 4(t 2 4) 5 0 t t 10 2 5 ∴ 代入t ，又 0， 得 10 10 检验，满足条件，2 故 t的值是 2 。 专业资料整理 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 . l:y b x,c a2 b2 不妨 21.解：(1) 设 a . l2:x a2 ,p.(a2 ,ab) c cc,F.(c,0) 设 l的斜率为k1,PF的斜率为k2. ab c ab a , a2 b2 b c k2=c ∴k1k2=－1. 即 PF⊥l . b 3,a 3 b. 〔2〕由题a 3 y x b, x2 y2 1 1 2 b2 x1 x2 b 3 b . x2 －bx－b2=0, xb21x2 x2 y2 1. ∴a=1,∴双曲线方程为 3 a (xc) a2 2 2,a(a c) 〔3〕l:PFy=－b M(－c bc xP xN xM, 3a2 2,a(3a c2) 2 ∴N〔－ c bc 〕. 9a2 a22 c2 )2(3a 1,e c, 又N在双曲线上。∴ c2 c2 b2 a ∴e=5. 22.解：〔I〕点A、B的坐标为A〔-3，0〕，B〔3，0〕，设点P、专业资料整理 M、N的坐标依次为 WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 . 那么有 ②4-①得，解得c=5 故所求方程是 〔II〕由②得， 所以，M、N的坐标为 所以MN的倾斜角是 1 23.解：〔I〕由x 0，当x 时， P1， 2 当x1时， ，也满足方程<1> ∴所求轨迹G方程为 3x2 y2 1(y 0，x 0) 〔II〕假设存在点 Ex0，0，使 MNE为正△ 设直线l 方程：y kx 1代入3x2 y2 1(x 得：3 k2 x2 2kx 2 0 k 3 F ， 3k2 3 k2 ∴MN中点 3 MN EF 在正△EMN中，2 k2 3与 3 k 6 矛盾 ∴不存在这样的点 Ex0，0 使△MNE为正△ 专业资料整理 0，y0) WORD格式 Word资料 专业资料整理 WORD格式 c 2 1 22a b 2 2 2 b c a 2 . 2 a 2 1 2 24.解：〔1〕由题意： ，解得 4,b2， x2 y2 1 所求椭圆方程为 4 2 y1 kx 4 〔2〕解：设过 P的直线方程为： y， 4,1 x1,y 1 Qx0 ,y0 Ax1 ,y1 Bx2,y2 Q P 设 ， ， A B O x0,y0 x x2 y2 x2,y2 1 4 2 则 ykx4k1 16k2 4k 32k2 16k 2 x1x2 2 x1 x2 2 2k 1 ， 2k 1 AP PB 4 x1 4 x2 AQ QB ∵ AP QB AQ PB，∴ x，即1 x0 xx0 2， 化简得：8x0 4 x0 x1 x2 2x1x2 0， 16k2 4k 32k2 16k 2 8x0 4 x0 2 0 2k2 1 2k2 1 ∴ ， 去分母展开 得： 1 2x0 k 化简得：2x0 4k kx00 1 ，解得： x0 4 又∵Q在直线y 1 k x 4 上， y0 1 1 2x0x0 4 x 0 4 ，y0 1 1 2x0 ∴ ∴ 即2x0 y0 2 0， 专业资料整理 WORD格式 ∴Q恒在直线 25.解：〔1〕解：设2x y 2 上。 C(x,y),因为OC0 OAOB,那么(x,y)(1,0)(0,2) 即点C的轨迹方程为x+y=1 Word资料 专业资料整理 WORD格式 2 2) . y y 、 〔，y 〕 P(0, ) PM (x, )PF 1 26.解：〔1〕设N(x,y) ，那么 2 、 M( x,0) ， 2 2 y2 02又 PMPF 0， x 4 ，即y 4x. 〔2〕设直线l的方程为：yk(x c)，A(x1,y1)、B(x2,y2) 假设存在点Q(t,0)满足题意，那么kAQ kBQ 0， y2 4x 2 2(ck 2) y k(x c)22，即kx 2(ck2 2)x k2c2 0， x1 x2 k2 ， y1 y2 y1(x2 t) y2(x1 t) 0kAQ k BQ xc21x2 ，又 x1 t x2 t (x1 t)(x2t) y1(x2 t) y2(x1t) k(x1 c)(x2 t) k(x2 c)(x1 t) k[2x1x2 (c t)(x1 x2)2ct] 0， 2 0 2x2 1x2(ct)(x1x2)2ct 2c 2ct(ct) 2(ck 由于k 0 ，那么 k (ct)(c ck2 2 )(ct) 2 0 对不同的k 值恒成立，即 k2 k2 对不同的k 值恒成立， 那么ct 0，即t c，故存在点 Q(c,0) 符合题意. 27. 解：〔Ⅰ〕以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图 3 D(-那么A〔-1,0〕B(1,0) 1, 2) x2 y2 1 (a b 0) 设椭圆F的方程为a2 b2 3 2 ( 1)2 2 1 a2 b2 a2 b2 1 得 得 4a4 17a2 4 0 a2 1 a2 4b2 3 专业资料整理 WORD格式 x 4 2 y 2 1 3 所求椭圆F方程 Word资料 专业资料整理 WORD格式 1 y k(x 1) 设l 方程 2 x 2 . 〔Ⅱ〕解：假设存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴 1 2 ) y 2 2 1 8k( k)x4(k 1 得 (34k )x 2 120 代入4 3 2 x1 x2 1 设M(x1,y1)、N(x2,y2) 有 2 8k(k 1) 2 3 2 得k 得 3 4k2 2 点C(1,1 )在椭圆x2 y2 1 又 2 4 3 内部 y 3x 2 故所求直线l 方程 2 2：假设存在这样的直、N 〔Ⅱ〕解法 线 l，设 M(x1,y1)(x2 ,y2)， x221 y1 1 4 3 x222 y1 1 4 3 有 1(x2x2 122 1 2) (y1 y2)0 两式相减得4 3 y1 y2 3 x1 x2 x x x1 x2 4y1 y2 1 2 有 y1 y2 3 3 x得 1 x2 2 即l 斜率为 2 x2 y2 3 点C在椭圆 1内部 y x2 ，故所求直又 4 3 线 l 方程 2 cc， ， 0 28.解：〔1〕因为BH 3HC2 ，又因为AH⊥BC，所以设A2，所以H 专业资料整理 2 y 0 ，由 ABAC0 得 WORD格式 c c 2 3 2 c ，y0 c ，y0 0 y 0 4 即 2 2 c 2 2 3c 3c 3c 2 4 所以|AB|= ，|AC|= Word资料 3分 2 2 c 3c c 2 4 专业资料整理 WORD格式 e2 y20 4 b2 . c e 31 椭圆长轴 2a=|AB|+|AC|=( 3 +1)c， 所以， a ． c c y0 x1 2 y1 〔2〕设D(x1 ，y1)，因为D分有向线段AB 的比为，所以 1 ， 1， 2 2 x y 设椭圆方程为 a2 b2 =1(a>b>0)，将A、D点坐标代入椭圆方程得 e2 (1 2)2 y20 1 (1 4 1 )2 b2 (1 )2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..② y22 0 e 2 1 e22 3 1 由①得b 4 ，代入②并整理得 1 1 ， 2 1 1 7 e ， 3 2 因为–5≤ 2 ，所以 3 2 ，又0 2 ． ≤ ≤ 29. C(x,y),G(x解：〔0,y0),M(xM,yM ). 1〕设 MAMB ， M点在线段AB的中垂线上 由A(1,0),B(1,0), xM 0 ；又 GM ∥AB， yM y0 又GA GB GC 0 x2 y2 1 x2 y2 1 3 y 0， 顶点C的轨迹方程为 3 y 0. (2)设直线l方程为：y k(x 3)，E(x1,y1)，F(x2,y2) y k(x 3) 2 y2 由x 3 1 2消去y得：k 3x2 6k2x9k2 30① 6k2 9k2 3 x1 x2 x1x2 k2 3 ， k2 3 PE PF PE PF cos0 PE PF 1 k2 3 x11 k23x2 而 3 由方程①知 6k2 2 4k2 39k2 3＞0 k2 ＜8 3 k 2 3 27 PE PF 88 专业资料整理 .① 1 WORD格式 k0， 0＜k 2 ＜8， 3, 8 8, 9 . Word资料 专业资料整理 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容