用定积分定义计算一类数列极限

教学・信息　课程教育研究　Ｃｏｕｒｓｅ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｒｅｓｓｅａｒｃｈ　２０１５年１　１月　中旬刊　后又由学生说说其事件表现了作者的什么思想或感情。学生就能　说出“我”初到仙台受到优待的原因是：那里在这之前“还没有　中国的学生”。讲到藤野先生替我修改讲义，纠正解剖图时，能　概括“藤野先生工作认真负责，严格要求学生，严谨的求实的科　学态度”。与课后“研讨与练习”结合起来训练，与写作训练结　合起来教学，与活动结合在一起。这样采用多种形式的教学活动。　既可以避免单一的制版式，又可以让学生在不知不觉中得锤炼。　活动，这样的活动需要做一定的准备工作，需要有组织的活动，　我把这活动的准备、主持人、活动安排全部让给学生，老师仅仅　做适当的指导和点拔，这样既体现了学生的主观能动作用，又尊　重了学生的个性特点，让学生在活动中找准自己的位置，从而获　得各自的成就感。我在教学八年级下册第一单元“综合｝生ｌ学习”　中的“献给母亲的歌”时，就开展一次综合性活动。先布置学生　搜集有关母爱的材料，结果学生的材料中有名句、名诗，有动物　胆小的更胆大了．语言综合能力提高了。　世界中伟大的母爱，有汶川地震中体现母爱的故事，有关于母爱　我在教学过程中，就注重学生的口语训练，如朗读复述课文，　的赞歌。然后由学生组织一次这样的主题活动，活动中，有的学　归纳课文的主要内容和课文的主题思想，体会文章的思想感情，　生慷慨激昂地朗诵诗文，有的学生饱含深情地讲述伟大母爱的故　整理文章的写作特点，都是让学生先进行分组讨论，让每个学生　事。当讲到汶川地震中的壮举时，有的同学偷偷地流下了眼泪。　都能得到锻炼的机会，然后各组将讨论结果在全班交流，培养学　这样的教学，学生得到了全方位的训练。　生的胆量，交流过程中，又针对别的观点进行评论，表述自己的　总之，我们应该重视学生的口语交际能力的培养，更新自己　看法，这样可以锻炼学生的反应能力和语言组织能力及表达能力。　的教学思想理念，灵活运用训练的方法，寻找适宜学生个陛特点　四、开展综合性口语交际活动　的途径，让学生把学习与实践结合起来，达到我们的教学目标。　综合性口语交际活动课，是展示学生综合能力的一项教学　实现新课标，让教与学各得其乐。　用定积分定义计算一类数列极限　彭国荣　（湖北民族学院预科教育学院湖北恩施４４５０００）　【摘要】极限是高等数学的一个重要内容，其中计算无穷项和式数列的极限是一个难点。本文通过解析定积分的定义，讨　论了应用定积分定义计算无穷项和式数列极限的方法步骤，巧妙地利用定积分的定义计算数列极限，简化了极限运算，启发了　学生计算极限的技巧，加深了对积分定义的理解。　【关键词】定积分的定义数列极限　【中图分类号】Ｇ６４２　【文献标识码】Ａ　【文章编号】２０９５—３０８９（２０１５）１１—０１３２—０２　３、由定积分的定义将无穷项和式数列极限写成定积分　极限是高等数学中重要的概念，也是高等数学教学的重点与　难点，计算极限是教学中的一个重要内容，有多种方法可以计算　极限，但是对于部分无穷项和式数列的极限的计算依然还比较困　难。本文通过解析定积分的定义。讨论如何把无穷项和式数列转　化为定积分和，从而利用定积分的定义巧妙地计算无穷项和式数　列的极限。　一ｌｉｍ　＝Ｉ　ｆ（ｘ）ｄｘ　４、用牛顿莱布尼茨公式计算出定积分的值，即为所要计算　的极限值　、预备知识　．　定义【１１．设函数　（　在［口，ｂ】上有界，　用点　ｌｉｍ　＝ｌ　ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（６）一Ｆ（ｄ）　把区间【口，６】任意分割成　个子区间【Ｘｉ－１　】（１＝１，２，…，ｎ），　这些子区间及长度均记作　Ａｘ＝　一Ｘ　（１＝１，２，…，　）．在每个子区间上任取一点　，做ｎ个乘　，ａ＝ｘｏ＜ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘ，卜ｌ＜　月＝ｂ三：例题１计算极限　‘　实　蟹　一，　　＋　｛　一　｛　斗¨、　一　｛　）　一　解（１）将无穷项和式数列恒等变形，化为积分和的形式　积厂（　）　，的和式∑厂（　）　。。如果当　＿÷　，同时最大子区间　ｔ＝ｌ　长度　＝ｍａｘ｛Ａｘ￣｝＿÷０时，和式∑厂（　）　的极限存在，并且极限　ｉ＝１　１　＝一　ｎ跟【口，６】分割方法以及　的取法无关，则该极限值为函数／（　在　‘　．ｎ　区间［ａ，６］上的定积分，记作ｊ＝，（　∑／（　）　．　一Ｌ—＿一一　，～壹三一１：圭厂（三）一，　一　：二、定积分定义计算极限的方法与步骤　由定积分的定义可知定积分实质是无穷项和式的极限，由于　１　三，ｌ　定积分只与被积函数和积分区间有关，与区间分割方法以及点　的选取无关，因此我们可以将区间［ａ，ｂ］　等分，即区间长度　ｂ－ａ：，—，并且满　＝ｍａｘ｛　，｝　０；点　取每个小区间的右端　舯，（　有ｉ，　　、一　（２）确定定积分的被积函数和积分区Ｉ目Ｊ【ａ，纠　即　…　（　：１ｊ：　拈…ｌｉｍ￣ｉｆ［ａ＋　】　，　１、将无穷项和式数列　恒等变形，化为积分和的形式　令　，则被积函数为　（　＝　ｌｌ＋　＿。　ａ：ｌｉｍ　：ｏ　６：ｌｉｍ　：１　∞　．　∑善　ｎ，【口十三（（６一ａ６一　）ｌ鱼Ｄ—－一ａ　则被积函数为厂（　。　以　＋∞　２、确定定积分的被积函数和积分区间［口，ｂ】　令ａ＋　（６～ａ）　。ｌｉａ（ｒ－（３）一－…Ｌ－￣　＋南＋南＋．．。＋寿）＝』＝　＋例题２计算极限　‘　１口：ｌｉｍ【口＋　（６一口）】，６：ｌｉｍ［口＋　（６一口）】　＾　・丽１＋丽１＋．．．＋丽１）　ｌ３２－　课程教育研究　ＣｏｕｒｓｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＲｅｓｓｅａｒｃｈ　２０１５年１１月　中旬刊　教学・信息　解（１）将无穷项和式数￣１］Ｘｎ巨等变形，化为积分和的形式　＝　【ｌｎ（订＋１）＋ｌｎ（，，＋２）＋（订＋３）＋…＋ｌｎ（月＋２　】一珂　Ｊｎ打　１　ｌ　ｌ　ｌ　：～　：　甩　—Ｆ＝一。ｔ－—Ｆ＝一＋‘‘’＋—ＪＦ１＝＋一　　Ｉ　Ｌ　ｌｎ　＋ｉｎ（ｎ＋２）＋　ｎ　＋．．．＋Ｉｎ（ｎ＋２ｎ　ｎ）ＩＪ　　：￣ｈ１（１＋　）　：　厂（三）　：芝下　：Ｊ－＋　量，（　～　其中／（　）＝ｌｎ（１＋　）　舯　赢　（２）令三＝　，则被积函数厂　）＝Ｉｎ（１＋ｘ）　ｎ　口：ｌｉｍ　：ｏ，　６：ｌｉＩｎ　：３　（２）确定定积分的被积函数和积分区间　ｂ】　＾　ｎ　令　，则被积函数为厂　）　。　ｆ（）　３、ｌ　ｉｍＩｎＸ：　ｎ＝ｌｉａｒ∑Ｉｎ（１＋二）二　＋　口：ｌｊｌｎ　：０，６：ＩｉＩｎ塑：３　＝　＋触＝３ｌｎ３—２　（　＋　＋南＋－．．＋　）　（４）因为　Ｘｎ　＝萎吉　√－＋寺　１＝　，　如√　＋　故ｌｉ１ｎ　：ｌ　９　＇　＾呻　玎　ｅ‘　由以上几个例题发现利用定积分的定义计算无穷项和式数　２√】＋　＝４　列极限，最关键之处在于找准被积函数，确定好积分区间。　＝四、结束语　利用定积分定义计算无穷项和式数列的极限是一种十分巧　例题３计算极限　云解（妙有效的方法，其能够把繁杂的无穷项和式数列恒等变形为积分　１）　　＋１）　＋２）　＋３）…　２ｎ）　ＩｎＸ：——和，再转化为定积分来计算，其简化了计算。　ｎ　Ｉｎ二ｑ（ｎ＋１）（　＋２）（力＋３）…（　＋２ｎ）　　参考文献：　Ⅲ１同济大学数学系．高等数学上册【Ｍ】．高等教育出版社，　＝ｌｎ　＋　十１）＋ｌｎ（力＋２）＋（力＋３）＋…＋ｌｎ（　＋２　）１　１９９３．　基金项目：湖北民族学院教学研究一般课题《民族预科数学　＝　【ｈ　刀＋１）＋ｌｎ（力＋２）＋（　＋３）＋…＋ｌｎ（　＋２力）】一Ｉｎｎ　课程改革研究》（编号２ｏ１４ＪＹＯ６６）　“以学定教”在小学数学教学中的运用　夏幸福　（江西省贵溪市耳口中心学校３３５４１２）　【摘要】“以学定教”是站在学生的角度研究学生学习知识的路径、方法和规律，有效的运用“以学定教”可以极大的调　动学生学习的积极和主动性，激发出学生潜在的能力。本文笔者结合教学实践，就小学数学教学中“以学定教”的有效性浅谈　一些粗浅认识。　【关键词　Ｊ、学数学以学定教　【中图分类号】Ｇ６２３．５　【文献标识码】Ａ　【文章编号】２０９５—３０８９（２０１５）１１—０１３３－０２　随着新课改的不断深入发展，小学数学更加关注人的数学素养，　中已有的观念建立起客观的、实质性的关系，是新旧知识间相互　更加关注学生的体验和实践，尊重学生的个挫发展，正视学生的差　渗透的过程。学生的学习不是被动的接受，他们在学习前也不是　异，应坚持“和而不同”的教学态度。“以学定教”运用中教学顺　一无所知的，他们在新知识的构建中主动在旧知识中寻找链接，　序是依据学生的兴趣、状态、发畏规律等进行调整的，并依据此选　进而形成新的知识网络。因此，在进行“以学定教”时，必须充　择相适应的教学内容和方法，从学生角度出发，以学定教，顺学而　分发挥出课前预习的功能，让学生通过预习掌握自己可以掌握的　导，是提高小学数学教学效率的一种非常有效的教学策略。　知识，并在预习中发现问题，在课堂学习中寻求解决的途径，教　一、确立“以学定教”的教学角色。做好学情分析　师以学生的“学”定教，顺学而导，进而提高课堂教学效率。教　“以学定教”是否能够有效的运用，教师起到了至关重要的　师还应从学生的预习中发现学生的闪光点进行肯定，并对学生出　作用，为了更好的发挥出以学定教的作用，教师应做到：　现的错误加以开发和利用，成为一种不可多得的生成资源。　第一，坚持以学生为本，教学中充分发挥出学生的主体作用，　２．创设开放的教学情境。鼓励学生发现探索问题　调动学生学习的积极】生和主动性。　开放的教学情境可以促使教师由传统封闭的控制式教学转　第二，从学生的实际出发，了解学生的认知水平、能力基础、　向具有时空的生成式教学，促使高质量的师生互动的形成，促进　情感基础，选准学生的认知视角，从学生的认知角度改造处理教　课堂教学的动态生成，从而更好地实现以学定教。在小学数学“以　材，开发学生素材。　学定教”教学中创设开放的教学情境应做到：　第三，尊重学生的差异，善于发现学生的特点，因材施教。　第一、开放的引入情境。即在教授新知识面对全体学生设计　二、开放“以学定教”途径，提高课堂教学效率　真实而开放的问题情境，激起学生内在的学习需求，让学生能够　１．发挥预习功能　通过已有的知识和经验对问题形成初步的认识，为高质量的师生　“以其所知，喻其不知，使其知之”，从古时就这样的经　互动提供心理动力和素材源泉。如，笔者以“口口×口：口口”　典。学生的学习实质是将新学到的知识与其本身具有的知识结构　的（竖式）形式引入“乘数是一位数的乘法”教学，让学生在这　・１３》