比例的基本性质(初三相似形,讲学稿1)

一、“比”的定义、基本要素

1、两条线段的比、书写方式

采用同一长度单位量得线段AB的长度为m，CD的长度为n，则这两条线段的“比”就表示它们的长度的比。

书写方式为：AB：CD = m：n ，或2、两条线段的“比值”、比的前、后项

在比“AB：CD”中，AB叫这个比的前项，CD叫这个比的 ，在比“中，AB叫这个比的 ，CD叫这个比的 。 在比“

ABm. CDnAB”CDABmmm”中，叫线段AB和CD的比值；在比“AB：CD = m：n”中叫CDnnn线段AB和CD的 。注意“比值”要写成分数或整数的形式。 例如：线段a的长度是6cm，线段b的长度是2cm，则： 线段a和b的比是a：b ，或

a ，线段a和b的比值是 ； bb ，线段b和a的比值是 ； a线段b和a的比是b：a ，或3、怎样由“比”来表达两条线段的关系 （1）、若

a2，则可设“每份比”为x，于是有a ，b ； b3（2）、若m：n = 7：5，则可设“每份比”为x，于是有m ，n ； （3）、如果AB、CD两条线段的比值为k，即

ABk，那么可得AB ； CD二、“成比例线段”的定义

在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即满足：

ac，bd或a：b = c：d，那么我们称这四条线段叫“成比例线段”，简称 。

1

其中a叫这个成比例线段的第一比例项，b叫这个成比例线段的第二比例项，c叫这个成比例线段的第三比例项， 叫这个成比例线段的第 比例项。

三、“成比例线段”的基本性质

（一）、等比式与等积式的互化 1、怎样把“等比式”化成“等积式” （1）、式子

ac是一个 式（选填：等比、等积），依据“交叉相乘，乘积相等”bd可得： ，这是一个 式（选填：等比、等积）；

（2）、式子a：b = c：d是一个 式（选填：等比、等积），依据“外项之积，等于内项之积”可得： ，这是一个 式（选填：等比、等积）； 2、怎样把“等积式”化成“等比式” （1）、转化原理：交叉相乘，乘积相等。

若四条线段x、y、m、n满足xymn的关系，这显然是一个 式（选填：等比、等积），要把这个“等积式”化为形如“

13”的等比式，该怎样化？

24（2）、转化思路：先对“x”的位置作“一级分类讨论”，再对m、n的位置作“二级分类讨论”。容易得到下列8种 式（选填：等比、等积）：

x； xx； xxx； ；

xx； ；

；

；

〈看清本质〉：等比式确实纷繁复杂，眼花缭乱，但其本质都可通过“交叉相乘，乘积相等”的“等积式”来体现。以后我们在书写“四条线段”的等比式时，可以其等积式作为参考。 （二）、等比性质 1、证明“等比性质”

若a、b、c、d、e、f这6个数，满足

ace，且bdf0，则一定有bdf结论“

acea”成立，这就叫比例式的“等比性质”。怎样证明呢？

bdfb 2

证明：设

acek，则可得：akb，c ，e ， bdf∴ 待证式左边kacekbkdkfbdfbdfa右边。 b〈技巧点评〉：遇到比例式问题，可以考虑设“每份比”为k，然后通过“代入”计算，寻求“约分”化简。

2、“等比性质”结论的直接运用，或它的推证过程中所使用的“技巧”的应用。 已知

acem6，其中所有字母皆为正数，求下列式子的值： bdfn5（1）、

acebfn ； （2） ； 、

bdfaemacema2c3e4m ； （4） ； 、

bdfnb2d3f4ncema5c3e6m ； （6） ； 、

dfnb5d3f6n2a2e2mbdf ； （8） ； 、

3b3f3n3a3c3ecema2c3e4m ； （10） ； 、

2d2f2n2b4d6f8n（3）、

（5）、

（7）、

（9）、

（三）、合比性质

1、证明“上合比性质”的正确性 已知

acabcdabcd，求证：（1）、，（2）、。 bdbdbdack，则可得：akb，c ， bdabkbbbbb证明：设

∴ （1）式左边b

而（1）式右边

cdkdddddd， ∴ （1）式成立。

3

请你证明（2）式的正确性。 证明：设

2、感受“下合比性质”、“对称合比性质”的正确性 （1）、已知

ack，则可得：akb，c ， bdacac，则：①、成立； ②、 也成立。 bdbadc③、

abcd成立； ④、 也成立。 badc注意：以上式子的都要满足“分母0”是前提条件。

〈技巧总结〉：（ⅰ）、遇到比例式问题，要考虑设“每份比”为k，然后通过“代入”计算，寻求“约分”化简，这是涉及比例问题的“通法”，记到哦！（ⅱ）、对于涉及比例问题的“填空题”，我们还有一种“更简单、更霸气”的方法，那就是悄悄咪咪地“举特殊值”，懂起没？ （2）、应用举例 ①、若

a2b9b，则 ， ； b3a4aa5abbaa2b，则 ， ， ； b2bab3abcacabk，则k ； abc②、若

③、若

④、已知

abc0，且ab2c6，求a、b、c的值。 6544