数列求和(公式+例题)

【知识要点】

主要方法：

1、基本公式法：

（1）等差数列求和公式：Sna1annann1n21d

2（2）等比数列求和公式：

na1,q1Sa n11qnaa1q1nq1q,q1（3）123....n12n(n1) （4）1222n216nn12n1

（5）132333n314nn12

2、错位相消法：给Sna1a2an各边同乘以一个适当的

数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.一般适应于数列anbn的前n项求和，其中an成等差数列，bn成等比数列。

3、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利

用公式法求和。

4、拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，

相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：

（1）若an是公差为d的等差数列，则

1111aa；nn1danan1（2）12n12n11212n11； 2n1（3）

1nn1n21211nn1n1n2； （4）1ab1abab；

（5）11nknkn1n；

（6）aS1,n1n

SnSn1,n≥25、倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，

以达到求和的目的。

【典例精析】

例1、S11

121n1231123n

例2、S123n

aa2a3nan

例3、已知等差数列an的首项为1，前10项的和为145，求

a2a4a2n.

例4、求sin21sin22sin23sin288sin289的值

例5、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

例6、数列{an}的前n项和Sn12n22n，数列{bn}满足ban1na。 n (1) 求证：数列{an}是等差数列； (2) 求数列{bn}中的最大项和最小项。

【巩固提高】

1． 等差数列{an}中，a6 + a35 = 10，则S40 =_________。 2． 等比数列{an}中，a1 = 2 , a2a6 = 256，则S5 =_________。

3．数列：14，27，330，…，n3n1前n项和

16．求和：S=1－2＋3－4＋…＋(1)

17．如果数列{an}中，an=n1n.

114． 数列1 ,1,,…,,…的前n项和Sn

1，求前n项之和Sn.

n(n2)12123123n= 。

5．数列13，24，35，…，n(n2)…的前n项和Sn =______ 6． 数列{an}中，a1 = 1，SnS11n2an，则an =___________。 7． 数列 1，1，1，…，1…的前n项和Sn =______

132435n(n2)8． 数列{an}中，a1n, Sn = 9，则n =________。

nn19． 数列{an}中，a1 = 2 ,an112Sn，则Sn =_________。 10．数列{an}中，a1 = 1 , a2 = 2 , an+2 – an = 1 + (–1)n，则S100

=__________。 11．数列2前n项之和为 ( )

4n21A.

2n B. 2n1 C.

2 D.n

2n12n12n12n112．数列1×1，2×1，3×1，4×

1，…前n项和为 24816( )

1n n2n 12n12n12n C.

1212(n+n-2)-2n 12(n+1)-12n1 13．数列1的前n项之和为 ( ) n1nA.n1+1 n1 C.

n D.n1

14．已知数列前n项和Sn=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为 ( ) A.

1n+113 (2-1) B. 3 (2n+1-2) C. 13(22n-1) D.13(22n-2) 15．已给数列{an}的通项如下，分别求其前n项和. (1)an=3n-2n+1； (2)an=

1；

2n28n6(3)an=

13n(n+2).

18．如果an=12＋22＋…＋n2，求数列{2n1a}的前n项之和.

n

19．求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．

20．求和：S1111n123226329

n23n

21．求数列2,4,6,,2n2n,前n项的和.

22223

22．求数列11，21，31，41，…的前n项和

24816

23．求数列1122，1224，1，1，

…的前n项和326428Sn.

24．已知a2nn，求数列{an}的前n项和Sn。

3n