怎么求函数的定义域(教师版)

一.定义 ....................................................................................................................................................................... 1 二.函数定义域的求法 ............................................................................................................................................... 1 题型一：已知函数的解析式，求函数的定义域. ................................................................................................... 2

1.偶次根式函数 ................................................................................................................................................. 2 2.分式函数 ......................................................................................................................................................... 2 3.对数型函数 ..................................................................................................................................................... 2 4.复合函数 ......................................................................................................................................................... 3 题型二：恒成立问题 ................................................................................................................................................. 4 附录：练习题 ............................................................................................................................................................. 5

函数的定义域

一.定义

自变量x 的取值范围叫做函数yfx 的定义域.

二.函数定义域的求法

（1）当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合，具体可以归纳如下：

1分式函数中分母不等于0. ○

2偶次根式函数被开方式大于或大于0. ○

3一次函数、二次函数的定义域都是R. ○4ya○

x （a0 且a1 ），ysinx ，ycosx的定义域都是R.

a5ylog○

x （a0 且a1 ）的定义域为(0,) .

06函数f(x)x○

的定义域是{x|x0} . 7ytanx 中xk. ○28分段函数的定义域是各段自变量的取值集合的并集. ○

（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

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题型一：已知函数的解析式，求函数的定义域. 1.偶次根式函数

【例1】（2013·陕西卷）设全集为R，函数f(x)1x2 的定义域为M，则ðRM （ ）

A.[1,1] B.(1,1) C.(,1][1,) D. (,1)(1,) 【答案】D

【曹亚云·解析】因为M{x|1x20}{x|1x1}[1,1]，所以ðRM(,1)(1,). 【考点】偶次根式函数的定义域.

【练习1】求函数y1xx的定义域.

2.分式函数

【例2】函数f(x)x4 的定义域为 . |x|5【答案】[4,5)(5,)

x40,【曹亚云·解析】由得x4 且x5.

|x|50,所以函数f(x)x4 的定义域为[4,5)(5,). |x|5【考点】1.偶次根式函数的定义域；2.分式函数的定义域.

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3.对数型函数

【例3】若f(x)2x1 ，则f(x) 的定义域是 .

log1(2x1)21【答案】[,)

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【思维启迪】要注意log1(2x1)0.

21x,22x10,【曹亚云·解析】由已知得2x10,所以x1,解得1log1(2x1)0,2x2.

22x11,所以函数f(x) 的定义域是[12,).

【考点】1.偶次根式函数的定义域；2.分式函数的定义域；3.对数函数的定义域.

2【练习2】求函数f(x)lg(x2x)9x2 的定义域.

【练习3】（2013·江西卷）函数yxln(1x) 的定义域为（ ）

A.(0,1) B. [0,1) C. (0,1] D[0,1]

4】函数yx1(x1)0【练习ln(2x)的定义域是 .

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4.复合函数

【例4】已知函数f(x)1x1x的定义域为A，函数yf[f(x)] 的定义域为B，则（ A.ABB B. AØB C. AB D. ABB 【答案】D

【思维启迪】要注意f(x)A.

【曹亚云·解析】因为A{x|x1} ，yf[f(x)]，所以x1，且f(x)A .解得

B{x|x1,且x0} .所以BØA ，故ABB. 【考点】1.分式函数的定义域；2.复合函数的定义域. 【例5】函数f(x) 的定义域是[1,1] ，求f(log2x) 的定义域.

【答案】[12,2]

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） 【思维启迪】内函数的值域是外函数的定义域.

【曹亚云·解析】函数f(x) 的定义域是[1,1]1x1 1log2x11所以函数f(log2x) 的定义域是[,2].

2【考点】1.复合函数的定义域；2.对数函数的性质.

1] ，求fx 的定义域. 【例6】已知f(2x1) 的定义域为[0，1x2. 2【答案】[1,1]

【思维启迪】内函数y2x1 的值域是是外函数fx 的定义域.

【曹亚云·解析】因为0x1 ，所以12x11 ，所以函数fx 的定义域是[1,1]. 【考点】复合函数的定义域.

【练习5】若函数yf(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)f(2x) 的定义域是（ ） x1A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)(1,4] D. (0,1)

2）【练习6】已知f(3x1) 的定义域为[-1, ，求f2x1 的定义域.（提示：定义域是自变量x 的取值范围）

， ，求fx 的定义域. 【练习7】已知fx2 的定义域为[-11]题型二：恒成立问题

【例7】若函数yax2ax【答案】(0,2]

【曹亚云·解析】函数yax2ax1的定义域是R，求实数a的取值范围. a1的定义域是R， a ax2ax10恒成立， aa0, 21a4a0,a0a2

【考点】1.根式函数的定义域；2.二次函数恒大于0问题.

x4【练习8】若函数f(x) 的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ） 2mx4mx33333A.(0,) B. (0,] C. [0,] D. [0,)

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附录：练习题

1.求下列函数的定义域：

11① f(x)；② f(x)3x2；③ f(x)x1.

x22x1【解析】①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

x21而x2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是x|x2.

x22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x2无意义，

32而3x20，即x时，根式3x2才有意义，

32∴这个函数的定义域是{x|x}.

3③∵当x10且2x0，即x1且x2时，根式x1和分式∴这个函数的定义域是{x|x1且x2}

1 同时有意义， 2xx10x1另解：要使函数有意义，必须：   

2x0x2112.若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x)f(x)的定义域.

44【解析】要使函数有意义，必须：

1351x1x43344 x315441x1x444113∴函数yf(x)f(x)的定义域为：x|x4443 43.已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域.

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－

1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域.

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同.） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1， ∴f(2x－1)的定义域为[0，1].

4.已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域. 【答案】－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1.

5.设f(x)的定义域是[3，2]，求函数f(x2)的定义域.

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【解析】要使函数有意义，必须：3x22 得： 1x22

∵ x≥0 ∴ 0x22 0x642 ∴ 函数f(x2)的定域义为：x|0x642

6.若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是（ ）

Ａ．1,1

11Ｂ,

1Ｃ．,1

1Ｄ．0,

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