西方经济学第二章习题答案

2022-08-01 来源：易榕旅网

第二章需求、供给和均衡价格

1. 已知某一时期内某商品的需求函数为Qd＝50－5P，供给函数为Qs＝－10＋5P。

(1)求均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。

(2)假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为Qd＝60－5P。求出相应的均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。

(3)假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为Qs＝－5＋5P。求出相应的均衡价格Pe和均衡数量Qe，并作出几何图形。

(4)利用(1)、(2)和(3)，说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。

(5)利用(1)、(2)和(3)，说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响。

解答：(1)将需求函数Qd＝50－5P和供给函数Qs＝－10＋5P代入均衡条件Qd＝Qs，有

50－5P＝－10＋5P

得 Pe＝6

将均衡价格Pe＝6代入需求函数Qd＝50－5P，得

Qe＝50－5×6＝20

或者，将均衡价格Pe＝6代入供给函数Qs＝－10＋5P，得

Qe＝－10＋5×6＝20

所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe＝6，Qe＝20。如图2—1所示。

图2—1

(2)将由于消费者收入水平提高而产生的需求函数Qd＝60－5P和原供给函数Qs＝－10＋5P代入均衡条件Qd＝Qs，有

60－5P＝－10＋5P

得 Pe＝7

将均衡价格Pe＝7代入Qd＝60－5P，得

Qe＝60－5×7＝25

或者，将均衡价格Pe＝7代入Qs＝－10＋5P，得

Qe＝－10＋5×7＝25

所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe＝7，Qe＝25。如图2—2所示。

- 1 -

图2—2

(3)将原需求函数Q＝50－5P和由于技术水平提高而产生的供给函数Qs＝－5＋5P代入均衡条件Qd＝Qs，有

50－5P＝－5＋5P

得 Pe＝5.5

将均衡价格Pe＝5.5代入Qd＝50－5P，得

Qe＝50－5×5.5＝22.5

或者，将均衡价格Pe＝5.5代入Qs＝－5＋5P，得

Qe＝－5＋5×5.5＝22.5

所以，均衡价格和均衡数量分别为Pe＝5.5，Qe＝22.5。如图2—3所示。

图2—3

(4)所谓静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征。也可以说，静态分析是在一个经济模型中根据给定的外生变量来求内生变量的一种分析方法。以(1)为例，在图2—1中，均衡点E就是一个体现了静态分析特征的点。它是在给定的供求力量的相互作用下达到的一个均衡点。在此，给定的供求力量分别用给定的供给函数Qs＝－10＋5P和需求函数Qd＝50－5P表示，均衡点E具有的特征是：均衡价格Pe＝6，且当Pe＝6时，有Qd＝Qs＝Qe＝20；同时，均衡数量Qe＝20，且当Qe＝20时，有Pd＝Ps＝Pe＝6。也可以这样来理解静态分析：在外生变量包括需求函数中的参数- 2 -

(50，－5)以及供给函数中的参数(－10,5)给定的条件下，求出的内生变量分别为Pe＝6和Qe＝20。

依此类推，以上所描述的关于静态分析的基本要点，在(2)及图2—2和(3)及图2—3中的每一个单独的均衡点Ei (i＝1,2)上都得到了体现。

而所谓的比较静态分析是考察当原有的条件发生变化时，原有的均衡状态会发生什么变化，并分析比较新旧均衡状态。也可以说，比较静态分析是考察在一个经济模型中外生变量变化时对内生变量的影响，并分析比较由不同数值的外生变量所决定的内生变量的不同数值，以(2)为例加以说明。在图2—2中，由均衡点E1变动到均衡点E2就是一种比较静态分析。它表示当需求增加即需求函数发生变化时对均衡点的影响。很清楚，比较新、旧两个均衡点E1和E2可以看到：需求增加导致需求曲线右移，最后使得均衡价格由6上升为7，同时，均衡数量由20增加为25。也可以这样理解比较静态分析：在供给函数保持不变的前提下，由于需求函数中的外生变量发生变化，即其中一个参数值由50增加为60，从而使得内生变量的数值发生变化，其结果为，均衡价格由原来的6上升为7，同时，均衡数量由原来的20增加为25。

类似地，利用(3)及图2—3也可以说明比较静态分析方法的基本要点。 (5)由(1)和(2)可见，当消费者收入水平提高导致需求增加，即表现为需求曲线右移时，均衡价格提高了，均衡数量增加了。

由(1)和(3)可见，当技术水平提高导致供给增加，即表现为供给曲线右移时，均衡价格下降了，均衡数量增加了。

总之，一般地，需求与均衡价格成同方向变动，与均衡数量成同方向变动；供给与均衡价格成反方向变动，与均衡数量成同方向变动。

2. 假定表2—1(即教材中第54页的表2—5)是需求函数Qd＝500－100P在一定价格范围内的需求表：

表2—1某商品的需求表 1 2 3 4 5 价格(元) 400 300 200 100 0 需求量

(1)求出价格2元和4元之间的需求的价格弧弹性。

(2)根据给出的需求函数，求P＝2元时的需求的价格点弹性。 (3)根据该需求函数或需求表作出几何图形，利用几何方法求出P＝2元时的需求的价格点弹性。它与(2)的结果相同吗？

ΔQP1＋P2Q1＋Q2

解答：(1)根据中点公式ed＝－·,)，有

ΔP22

2002＋4300＋100

ed＝·,)＝1.5

222

(2)由于当P＝2时，Qd＝500－100×2＝300，所以，有

dQP22

ed＝－·＝－(－100)·＝ dPQ3003

(3)根据图2—4，在a点即P＝2时的需求的价格点弹性为

GB2002

ed＝＝＝

OG3003

FO2

或者 ed＝＝

AF3

- 3 -

图2—4

显然，在此利用几何方法求出的P＝2时的需求的价格点弹性系数和(2)中根据定义公式求出的结果是

相同的，都是ed＝。

3. 假定表2—2(即教材中第54页的表2—6)是供给函数Qs＝－2＋2P在一定价格范围内的供给表：

表2—2某商品的供给表 2 3 4 5 6 价格(元) 2 4 6 8 10 供给量 (1)求出价格3元和5元之间的供给的价格弧弹性。 (2)根据给出的供给函数，求P＝3元时的供给的价格点弹性。 (3)根据该供给函数或供给表作出几何图形，利用几何方法求出P＝3元时的供给的价格点弹性。它与(2)的结果相同吗？

ΔQP1＋P2Q1＋Q2解答：(1)根据中点公式es＝·,)，有

ΔP22

43＋54＋84

es＝·,)＝

2223

dQP3

(2)由于当P＝3时，Qs＝－2＋2×3＝4，所以，es＝·＝2·＝1.5。

dPQ4

(3)根据图2—5，在a点即P＝3时的供给的价格点弹性为

AB6

es＝＝＝1.5

OB4

- 4 -

图2—5

显然，在此利用几何方法求出的P＝3时的供给的价格点弹性系数和(2)中根据定义公式求出的结果是相同的，都是es＝1.5。

4. 图2—6(即教材中第54页的图2—28)中有三条线性的需求曲线AB、AC和AD。

图2—6

(1)比较a、b、c三点的需求的价格点弹性的大小。 (2)比较a、e、f三点的需求的价格点弹性的大小。

解答：(1)根据求需求的价格点弹性的几何方法，可以很方便地推知：分别处于三条不同的线性需求曲线上的a、b、c三点的需求的价格点弹性是相等的。其理由在于，在这三点上，都有

ed＝

(2)根据求需求的价格点弹性的几何方法，同样可以很方便地推知：分别处于三条不同的线性需求曲线

上的a、e、f三点的需求的价格点弹性是不相等的，且有ead＜ed＜ed。其理由在于

在a点有：ead＝OG

在f点有：efd＝OG GD

在e点有：eed＝OG

在以上三式中，由于GB＜GC＜GD，所以，ead＜ed＜ed。

5.利用图2—7 (即教材中第55页的图2—29)比较需求价格点弹性的大小。

(1)图(a)中，两条线性需求曲线D1和D2相交于a点。试问：在交点a，这两条直线型的需求的价格点弹性相等吗？

(2)图(b)中，两条曲线型的需求曲线D1和D2相交于a点。试问：在交点a，这两条曲线型的需求的价格点弹性相等吗？

图2—7

解答：(1)因为需求的价格点弹性的定义公式为ed＝－

dQPdQ

·，此公式的－项是需求曲线某一点斜率的dPQdP

绝对值的倒数，又因为在图(a)中，线性需求曲线D1的斜率的绝对值小于线性需求曲线D2的斜率的绝对值，

- 5 -

dQdQ

即需求曲线D1的－值大于需求曲线D2的－值，所以，在两条线性需求曲线D1和D2的交点a，在P

dPdP

和Q给定的前提下，需求曲线D1的弹性大于需求曲线D2的弹性。

dQPdQ

(2)因为需求的价格点弹性的定义公式为ed＝－·，此公式中的－项是需求曲线某一点的斜率的绝

dPQdP

对值的倒数，而曲线型需求曲线上某一点的斜率可以用过该点的切线的斜率来表示。在图(b)中，需求曲线D1过a点的切线AB的斜率的绝对值小于需求曲线D2过a点的切线FG的斜率的绝对值，所以，根据在解答(1)中的道理可推知，在交点a，在P和Q给定的前提下，需求曲线D1的弹性大于需求曲线D2的弹性。

6. 假定某消费者关于某种商品的消费数量Q与收入M之间的函数关系为M＝100Q2。求：当收入M＝6 400时的需求的收入点弹性。

M解答：由已知条件M＝100Q2，可得Q＝

100

于是，有

dQ1M11 ＝100－· dM22100

进一步，可得

dQM

eM＝· dMQ

1M11M2M＝1 ＝100－··100·221001001002

观察并分析以上计算过程及其结果，可以发现，当收入函数M＝aQ2(其中a＞0，为常数)时，则无论收

入M为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于。

－

7. 假定需求函数为Q＝MPN，其中M表示收入，P表示商品价格，N(N＞0)为常数。求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。

－

解答：由已知条件Q＝MPN，可得

dQPP－－

ed＝－·＝－M·(－N)·PN1·－N＝N

dPQMPdQMM－

eM＝·＝PN·－N＝1

dMQMP

－

由此可见，一般地，对于幂指数需求函数Q(P)＝MPN而言，其需求的价格点弹性总等于幂指数的绝

－

对值N。而对于线性需求函数Q(M)＝MPN而言，其需求的收入点弹性总是等于1。

8. 假定某商品市场上有100个消费者，其中，60个消费者购买该市场的商品，且每个消费者的需求3

的价格弹性均为3；另外40个消费者购买该市场的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为6。

求：按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？

解答：令在该市场上被100个消费者购买的商品总量为Q，相应的市场价格为P。

根据题意，该市场的商品被60个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是3，于是，单个

消费者i的需求的价格弹性可以写为

dQiP

edi＝－·＝3

dPQidQiQi即＝－3· (i＝1,2，„，60)(1)

dPP60Q

且 Qi＝(2)

i＝1

类似地，再根据题意，该市场的商品被另外40个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是

6，于是，单个消费者j的需求的价格弹性可以写为

()

()- 6 -

dQiP·＝6 dPQjdQjQj即＝－6· (j＝1,2，„，40)(3)

dPP402Q

且 Qj＝(4)

j＝1

此外，该市场上100个消费者合计的需求的价格弹性可以写为

60Q＋40Qdiji＝1j＝1PdQP

ed＝－·＝－·

dPQdPQ edj＝－＝－

60dQi40dQjP.

dPdPj1i1Q将式(1)、式(3)代入上式，得

40Qjp60360pQi640)（-6.）.QQed＝(3. ＝ ij.PPQpj1Qj1i1pi1再将式(2)、式(4)代入上式，得 ed＝－3Q62Q..3p3PpQP.(14).5 PQQ

所以，按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是5。.

9、假定某消费者的需求的价格弹性ed＝1.3，需求的收入弹性eM＝2.2。求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降2%对需求数量的影响。（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高 5%对需求数量的影响。于是有

QQ解答：（1）由于ed＝－ PP ΔQ

＝ed×Q

，于是有

PP＝－(1.3) ×(－2%)＝2.6%

即商品价格下降2%使得需求数量增加2.6%.

QQ（2）由于eM ＝－ MM

，于是有

ΔQΔM

＝eM·＝2.2×5%＝11% QM

即消费者收入提高5%使得需求数量增加11%。

10. 假定在某市场上A、B两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA＝200－QA，对B厂商的需求曲线为PB＝300－0.5QB；两厂商目前的销售量分别为QA＝50，QB＝100。- 7 -

求：

(1)A、B两厂商的需求的价格弹性edA和edB各是多少？ (2)如果B厂商降价后，使得B厂商的需求量增加为Q′B＝160，同时使竞争对手A厂商的需求量减少为Q′A＝40。那么，A厂商的需求的交叉价格弹性eAB是多少？

(3)如果B厂商追求销售收入最大化，那么，你认为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？解答：(1)关于A厂商：

由于PA＝200－QA＝200－50＝150，且A厂商的需求函数可以写成

QA＝200－PA

于是，A厂商的需求的价格弹性为

dQAPA150

edA＝－·＝－(－1)×＝3

dPAQA50

关于B厂商：

由于PB＝300－0.5QB＝300－0.5×100＝250，且B厂商的需求函数可以写成：

QB＝600－2PB

于是，B厂商的需求的价格弹性为

dQBPB250

edB＝－·＝－(－2)×＝5

dPBQB100

(2)令B厂商降价前后的价格分别为PB和P′B，且A厂商相应的需求量分别为QA和Q′A，根据题意有

PB＝300－0.5QB＝300－0.5×100＝250 P′B＝300－0.5Q′B＝300－0.5×160＝220 QA＝50 Q′A＝40

因此，A厂商的需求的交叉价格弹性为

ΔQAPB102505

eAB＝－·＝·＝

ΔPBQA30503

(3)由(1)可知，B厂商在PB＝250时的需求的价格弹性为edB＝5，也就是说，对B厂商的需求是富有弹性的。我们知道，对于富有弹性的商品而言，厂商的价格和销售收入成反方向的变化，所以，B厂商将商品价格由PB＝250下降为P′B＝220，将会增加其销售收入。具体地有：

降价前，当PB＝250且QB＝100时，B厂商的销售收入为

TRB＝PB·QB＝250×100＝25 000

降价后，当P′B＝220且Q′B＝160时，B厂商的销售收入为

TR′B＝P′B·Q′B＝220×160＝35 200

显然，TRB＜TR′B，即B厂商降价增加了他的销售收入，所以，对于B厂商的销售收入最大化的目标而言，他的降价行为是正确的。

11. 假定肉肠和面包是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一个热狗，并且已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。

(1)求肉肠的需求的价格弹性。

(2)求面包卷对肉肠的需求的交叉弹性。

(3)如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍，那么，肉肠的需求的价格弹性和面包卷对肉肠的需求的交叉弹性各是多少？

解答：(1)令肉肠的需求为X，面包卷的需求为Y，相应的价格为PX、PY，且有PX＝PY。该题目的效用最大化问题可以写为

max U(X，Y)＝min{X，Y} s.t. PX·X＋PY·Y＝M - 8 -

解上述方程组有

X＝Y＝

PX＋PY

由此可得肉肠的需求的价格弹性为

－M2·PX∂XPXM＝PX edX＝－·＝－(PX＋PY)

∂PXX

PX＋PYPX＋PY

由于一根肉肠和一个面包卷的价格相等，所以，进一步有

PX1

edX＝＝

PX＋PY2

(2)面包卷对肉肠的需求的交叉弹性为

∂YPXMPXPX eYX＝·＝－＝－ 2·∂PXYM(PX＋PY)PX＋PY

PX＋PY

由于一根肉肠和一个面包卷的价格相等，所以，进一步有

PX1

eYX＝－＝－

2PX＋PY

(3)如果PX＝2PY，则根据上面(1)、(2)的结果，可得肉肠的需求的价格弹性为

∂XPXPX2

edX＝－·＝＝

∂PXXPX＋PY3

面包卷对肉肠的需求的交叉弹性为

∂YPXPX2

eYX＝·＝－＝－

∂PXY3PX＋PY

12.假定某商品销售的总收益函数为TR＝120Q－3Q2。求：当MR＝30时需求的价格弹性。解答：由已知条件可得

dTR

MR＝＝120－6Q＝30(1)

得 Q＝15

由式(1)式中的边际收益函数MR＝120－6Q，可得反需求函数

P＝120－3Q(2)

将Q＝15代入式(2)，解得P＝75，并可由式(2)得需求函数Q＝40－。最后，根据需求的价格点弹性

公式有

1755dQP

ed＝－·＝－－3·＝

dPQ153

13.假定某商品的需求的价格弹性为1.6，现售价格为P＝4。求：该商品的价格下降多少，才能使得销售量增加10% ？解答：根据已知条件和需求的价格弹性公式，有

()

- 9 -

ΔQQ10%

ed＝－＝－＝1.6

ΔPΔPP4

由上式解得ΔP＝－0.25。也就是说，当该商品的价格下降0.25，即售价为P＝3.75时，销售量将会增加10%。

14. 利用图阐述需求的价格弹性的大小与厂商的销售收入之间的关系，并举例加以说明。解答：厂商的销售收入等于商品的价格乘以销售量，即TR＝P·Q。若令厂商的销售量等于需求量，则

厂商的销售收入又可以改写为TR＝P·Q。由此出发，我们便可以分析在不同的需求的价格弹性的条件下，价格变化对需求量变化的影响，进而探讨相应的销售收入的变化。下面利用图2—8进行简要说明。

图2—8

在分图(a)中有一条平坦的需求曲线，它表示该商品的需求是富有弹性的，即ed＞1。观察该需求曲线上的A、B两点，显然可见，较小的价格下降比例导致了较大的需求量的增加比例。于是有：降价前的销售收入TR1＝P1·Q1，相当于矩形OP1AQ1的面积，而降价后的销售收入TR2＝P2·Q2，相当于矩形OP2BQ2的面积，且TR1＜TR2。也就是说，对于富有弹性的商品而言，价格与销售收入成反方向变动的关系。

类似地，在分图(b)中有一条陡峭的需求曲线，它表示该商品的需求是缺乏弹性的，即ed＜1。观察该需求曲线上的A、B两点，显然可见，较大的价格下降比例却导致一个较小的需求量的增加比例。于是，降价前的销售收入TR1＝P1·Q1(相当于矩形OP1AQ1的面积)大于降价后的销售收入TR2＝P2·Q2(相当于矩形OP2BQ2的面积)，即TR1＞TR2。也就是说，对于缺乏弹性的商品而言，价格与销售收入成同方向变动的关系。

分图(c)中的需求曲线上A、B两点之间的需求的价格弹性ed＝1(按中点公式计算)。由图可见，降价前、后的销售收入没有发生变化，即TR1＝TR2，它们分别相当于两块面积相等的矩形面积(即矩形OP1AQ1和OP2BQ2的面积相等)。这就是说，对于单位弹性的商品而言，价格变化对厂商的销售收入无影响。

例子从略。

15. 利用图2—9(即教材中第15页的图2—1)简要说明微观经济学的理论体系框架和核心思想。

- 10 -

图2—9 产品市场和生产要素市场的循环流动图

解答：要点如下：

(1)关于微观经济学的理论体系框架。

微观经济学通过对个体经济单位的经济行为的研究，说明现代西方经济社会市场机制的运行和作用，以及改善这种运行的途径。或者，也可以简单地说，微观经济学是通过对个体经济单位的研究来说明市场机制的资源配置作用的。市场机制亦可称作价格机制，其基本的要素是需求、供给和均衡价格。

以需求、供给和均衡价格为出发点，微观经济学通过效用论来研究消费者追求效用最大化的行为，并由此推导出消费者的需求曲线，进而得到市场的需求曲线。生产论、成本论和市场论主要研究生产者追求利润最大化的行为，并由此推导出生产者的供给曲线，进而得到市场的供给曲线。运用市场的需求曲线和供给曲线，就可以决定市场的均衡价格，并进一步理解在所有的个体经济单位追求各自经济利益的过程中，一个经济社会如何在市场价格机制的作用下，实现经济资源的配置。其中，从经济资源配置效果的角度讲，完全竞争市场最优，垄断市场最差，而垄断竞争市场比较接近完全竞争市场，寡头市场比较接近垄断市场。至此，微观经济学便完成了对图2—9中上半部分所涉及的关于产品市场的内容的研究。为了更完整地研究价格机制对资源配置的作用，市场论又将考察的范围从产品市场扩展至生产要素市场。生产要素的需求方面的理论，从生产者追求利润最大化的行为出发，推导生产要素的需求曲线；生产要素的供给方面的理论，从消费者追求效用最大化的角度出发，推导生产要素的供给曲线。据此，进一步说明生产要素市场均衡价格的决定及其资源配置的效率问题。这样，微观经济学便完成了对图2—9中下半部分所涉及的关于生产要素市场的内容的研究。

在以上讨论了单个商品市场和单个生产要素市场的均衡价格决定及其作用之后，一般均衡理论讨论了一个经济社会中所有的单个市场的均衡价格决定问题，其结论是：在完全竞争经济中，存在着一组价格(P1，P2，„，Pn)，使得经济中所有的n个市场同时实现供求相等的均衡状态。这样，微观经济学便完成了对其核心思想即“看不见的手”原理的证明。

在上面实证研究的基础上，微观经济学又进入了规范研究部分，即福利经济学。福利经济学的一个主要命题是：完全竞争的一般均衡就是帕累托最优状态。也就是说，在帕累托最优的经济效率的意义上，进一步肯定了完全竞争市场经济的配置资源的作用。

在讨论了市场机制的作用以后，微观经济学又讨论了市场失灵的问题。市场失灵产生的主要原因包括垄断、外部经济、公共物品和不完全信息。为了克服市场失灵导致的资源配置的无效率，经济学家又探讨和提出了相应的微观经济政策。

(2)关于微观经济学的核心思想。

微观经济学的核心思想主要是论证资本主义的市场经济能够实现有效率的资源配置。通常用英国古典经济学家亚当·斯密在其1776年出版的《国民财富的性质和原因的研究》一书中提出的、以后又被称为“看不见的手”原理的那一段话，来表述微观经济学的核心思想，其原文为：“每人都在力图应用他的资本，来使其生产品能得到最大的价值。一般地说，他并不企图增进公共福利，也不知道他所增进的公共福利为多少。他所追求的仅仅是他个人的安乐，仅仅是他个人的利益。在这样做时，有一只看不见的手引导他去促进一种目标，而这种目标绝不是他所追求的东西。由于他追逐他自己的利益，他经常促进了社会利益，其效果要比他真正想促进社会利益时所得到的效果为大。”

- 11 -

第三章效用论

1. 已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS是多少？

解答：按照两商品的边际替代率MRS的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：

ΔY

MRSXY＝－ ΔX

其中，X表示肯德基快餐的份数；Y表示衬衫的件数；MRSXY表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。

在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有

PX MRSXY＝ PY

即有 MRSXY＝＝0.25

它表明，在效用最大化的均衡点上，该消费者关于一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率MRS为0.25。

2. 假设某消费者的均衡如图3—1(即教材中第96页的图3—22)所示。其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线

图3—1 某消费者的均衡

U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P1＝2元。 (1)求消费者的收入； (2)求商品2的价格P2； (3)写出预算线方程； (4)求预算线的斜率；

(5)求E点的MRS12的值。

解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P1＝2元，所以，消费者的收入M＝2元×30＝60元。

(2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)已知收入M＝60元，所

M60

以，商品2的价格P2＝＝＝3元。

2020

(3)由于预算线方程的一般形式为

P1X1＋P2X2＝M

所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X1＋3X2＝60。

(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2＝－X1＋20。很清楚，预算线的斜率为－。

P1(5)在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12＝，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS等于预算线

P1P12

斜率的绝对值。因此，MRS12＝＝。

P2P23

3.请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶)的无差异曲线，同时请对(2)和(3)分别写出消费者B和消费者C的效用函数。

(1)消费者A喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯热茶。 (2)消费者B喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独喝咖啡，或者单独喝热茶。 (3)消费者C认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶是无差异的。 (4)消费者D喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。

解答：(1)根据题意，对消费者A而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者A的效用水平。消费者A的无差异曲线见图3—2(a)。图3—2中的箭头均表示效用水平增加的方向。

- 12 -

(2)根据题意，对消费者B而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是U＝min{x1，x2}。消费者B的无差异曲线见图3—2(b)。

(3)根据题意，对消费者C而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是U＝2x1＋x2。消费者C的无差异曲线见图3—2(c)。

(4)根据题意，对消费者D而言，咖啡是厌恶品。消费者D的无差异曲线见图3—2(d)。

- 13 -

图3—2 关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线

4.对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

- 14 -

图3—3

解答：一般说来，发给消费者现金补助会使消费者获得更大的效用。其原因在于：在现金补助的情况下，消费者可以按照自己的偏好来购买商品，以获得尽可能大的效用。如图3—3所示。

在图3—3中，直线AB是按实物补助折算的货币量构成的现金补助情况下的预算线。在现金补助的预

算线AB上，消费者根据自己的偏好选择商品1和商品2的购买量分别为x*1和x2，从而实现了最大的效用水平U2，即在图3—3中表现为预算线AB和无差异曲线U2相切的均衡点E。

而在实物补助的情况下，则通常不会达到最大的效用水平U2。因为，譬如，当实物补助的商品组合为F点(即两商品数量分别为x11、x21)，或者为G点(即两商品数量分别为x12和x22)时，则消费者能获得无差异曲线U1所表示的效用水平，显然，U15. 已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1＝20元和P2＝30元，该消费者的效用函数为U＝3X1X2该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的2，总效用是多少？

解答：根据消费者的效用最大化的均衡条件

MU1P1 ＝ MU2P2

其中，由U＝3X1X22可得

dTU

MU1＝＝3X22 dX1

dTU

MU2＝＝6X1X2

dX2

于是，有

3X2202 ＝

6X1X230

整理得 X2＝X1 (1)

将式(1)代入预算约束条件20X1＋30X2＝540，得

20X1＋30·X1＝540

解得 X1＝9



将X1＝9代入式(1)得

X2＝12

因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为

错误! - 15 -

将以上最优的商品组合代入效用函数，得

U*＝3X*9×122＝3 888 1(X2)＝3×

它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3 888。

6. 假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为QdA＝20－4P和QB＝30－5P。 (1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表。

(2)根据(1)，画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。

解答：(1)由消费者A的需求函数QdA＝20－4P，可编制消费者A的需求表；由消费者B的需求函数QB＝30－5P，可编制消费B的需求表。至于市场的需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是

先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数Qd＝QdA＋QB＝(20－4P)＋(30－5P)＝50－9P，然后运用所得到的市场需求函数Qd＝50－9P来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是相同的。按以上方法编制的3张需求表如下所示。

消费者A的需求表

P QdA 0 20 1 16 2 12 3 8 4 4 5 0 ,消费者B的需求表

P QdB 0 30 1 25 2 20 3 15 4 10 5 5 6 0 ,市场的需求表

Qd＝Qeq \\o\\al(d,A)＋Qeq P \\o\\al(d,B) 0 50 1 41 2 32 3 23 4 14 5 5 6 0 (2)由(1)中的3张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3—4所示。

- 16 -

图3—4

在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P＝5和需求量Qd＝5的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P≤5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当P＞5时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，在P≤5的范围，市场需求函数Qd＝Qeq \\o\\al(d,A)＋Qeq \\o\\al(d,B)＝50－9P成立；而当P＞5时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即Qd＝Qeq \\o\\al(d,B)＝30－5P。

7. 假定某消费者的效用函数为U＝xeq \\f(3,8)1xeq \\f(5,8)2，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。

解答：根据消费者效用最大化的均衡条件

eq \\f(MU1,MU2)＝eq \\f(P1,P2)

其中，由已知的效用函数U＝xeq \\f(3,8)1xeq \\f(5,8)1可得

MU1＝eq \\f(dTU,dx1)＝eq \\f(3,8)x－eq \\f(5,8)1xeq \\f(5,8)2 MU2＝eq \\f(dTU,dx2)＝eq \\f(5,8)xeq \\f(3,8)1x－eq \\f(3,8)2

于是，有

eq \\f(\\f(3,8)x－\\f(5,8)1x\\f(5,8)2,\\f(5,8)x\\f(3,8)1x－\\f(3,8)2)＝eq \\f(P1,P2)

整理得 eq \\f(3x2,5x1)＝eq \\f(P1,P2) 即有 x2＝eq \\f(5P1x1,3P2)(1) 将式(1)代入约束条件P1x1＋P2x2＝M，有

P1x1＋P2·eq \\f(5P1x1,3P2)＝M

解得 xeq \\o\\al(*,1)＝eq \\f(3M,8P1)

代入式(1)得xeq \\o\\al(*,2)＝eq \\f(5M,8P2)。所以，该消费者关于两商品的需求函数为

eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(x\\o\\al(*,1)＝\\f(3M,8P1) x\\o\\al(*,2)＝\\f(5M,8P2)))

8. 令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。求该消费者的最优商品消费组合。

解答：由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值MRS12＝－eq \\f(dx2,dx1)＝a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为－eq \\f(P1,P2)，所以，该消费者的最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解，如图3—5所示。

第一种情况：当MRS12＞eq \\f(P1,P2)，即a＞eq \\f(P1,P2)时，如图3—5(a)所示，效用最大化的均衡点E位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq \\o\\al(,1)＝eq \\f(M,P1)，x

eq \\o\\al(,2)＝0。也就是说，消费者将全部收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

- 17 -

图3—5

第二种情况：当MRS12＜eq \\f(P1,P2)，即a＜eq \\f(P1,P2)时，如图3—5(b)所示，效用最大化的均衡点E位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq \\o\\al(,1)＝0，xeq \\o\\al(,2)＝eq \\f(M,P2)。也就是说，消费者将全部收入都购买商品2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

第三种情况：当MRS12＝eq \\f(P1,P2)，即a＝eq \\f(P1,P2)时，如图3—5(c)所示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任何一点的商品组合，即最优解为xeq \\o\\al(,1)≥0，xeq \\o\\al(,2)≥0，且满足P1x1＋P2x2＝M。此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出，显然，该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

9. 假定某消费者的效用函数为U＝q0.5＋3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求： (1)该消费者的需求函数； (2)该消费者的反需求函数；

(3)当p＝eq \\f(1,12)，q＝4时的消费者剩余。解答：(1)由题意可得，商品的边际效用为

－

MU＝eq \\f(∂U,∂q)＝0.5q0.5

货币的边际效用为

λ＝eq \\f(∂U,∂M)＝3

于是，根据消费者均衡条件eq \\f(MU,p)＝λ，有

－

eq \\f(0.5q0.5,p)＝3

整理得需求函数为q＝eq \\f(1,36p2)。

(2)由需求函数q＝eq \\f(1,36p2)，可得反需求函数为

p＝eq \\f(1,6\\r(q))

(3)由反需求函数p＝eq \\f(1,6\\r(q))，可得消费者剩余为

CS＝∫eq \\o\\al(q,0)eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(1,6\\r(q))))dq－pq＝eq \\f(1,3)qeq - 18 -

\\f(1,2)eq \\o\\al(q,0)－pq＝eq \\f(1,3)qeq \\f(1,2)－pq

将p＝eq \\f(1,12)，q＝4代入上式，则有消费者剩余

CS＝eq \\f(1,3)×4eq \\f(1,2)－eq \\f(1,12)×4＝eq \\f(1,3)

10. 设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即U＝xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α＋β＝1。

(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。

(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。解答：(1)由消费者的效用函数U＝xαyβ，算得

－

eq \\b\\lc\\ \\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(MUx＝\\f(∂U,∂x)＝αxα1yβ

－

MUy＝\\f(∂U,∂y)＝βxαyβ1))

消费者的预算约束方程为 Pxx＋Pyy＝M(1)

根据消费者效用最大化的均衡条件

eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(MUx,MUy)＝\\f(Px,Py) Pxx＋Pyy＝M))(2)

－－

得 eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(αxα1yβ,βxαyβ1)＝\\f(Px,Py) Pxx＋Pyy＝M))(3)

图3—6

解方程组(3)，可得

x＝αM/Px(4) y＝βM/Py(5)

式(4)和式(5)即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。上述需求函数的图形如图3—6所示。

(2)商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为

λPxx＋λPyy＝λM(6)

其中λ为一非零常数。

- 19 -

此时消费者效用最大化的均衡条件变为

－－

eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(αxα1yβ,βxαyβ1)＝\\f(Px,Py) λPxx＋λPyy＝λM))(7)

由于λ≠0，故方程组(7)化为

－－

eq \\b\\lc\\{\\rc\\ (\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(αxα1yβ,βxαyβ1)＝\\f(Px,Py) Pxx＋Pyy＝M))(8)

显然，方程组(8)就是方程组(3)，故其解就是式(4)和式(5)。这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。 (3)由消费者的需求函数式(4)和式(5)，可得

α＝Pxx/M(9) β＝Pyy/M(10)

关系式(9)的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。关系式(10)的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。

11.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入是M＝80。现在假定商品1的价格下降为P1＝2。

求：(1)由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？ (2)由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？ (3)由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？解答：利用图3—7解答此题。在图3—7中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。

图3—7

(1)先考虑均衡点a。根据效用最大化的均衡条件MRS12＝eq \\f(P1,P2)，其中，MRS12＝eq \\f(MU1,MU2)＝eq \\f(X2,X1)，eq \\f(P1,P2)＝eq \\f(4,2)＝2，于是有eq \\f(X2,X1)＝2，X1＝eq \\f(1,2)X2。将X1＝eq \\f(1,2)X2代入预算约束等式4X1＋2X2＝80，有

4·eq \\f(1,2)X2＋2X2＝80

解得 X2＝20 进一步得 X1＝10 则最优效用水平为 U1＝X1X2＝10×20＝200

再考虑均衡点b。当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面同理，根据效用最大化的均衡条件MRS12＝eq \\f(P1,P2)，有eq \\f(X2,X1)＝eq \\f(2,2)，X1＝X2。将X1＝X2代入预算约束等式2X1＋2X2＝80，解得X1＝20，X2＝20。

从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。

(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。

在均衡点c，根据MRS12＝eq \\f(P1,P2)的均衡条件，有eq \\f(X2,X1)＝eq \\f(2,2)，X1＝- 20 -

X2。将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2＝200，解得X1＝14，X2＝14(保留整数)。

从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝14－10＝4，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。

(3)至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－14＝6，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的收入效应。当然，由于总效应＝替代效应＋收入效应，故收入效应也可由总效应ΔX1＝10减去替代效应ΔX1＝4得到，仍为6。

12.某消费者是一个风险回避者，他面临是否参与一场赌博的选择：如果他参与这场赌博，他将以5%的概率获得10 000元，以95%的概率获得10元；如果他不参与这场赌博，他将拥有509.5元。那么，他会参与这场赌博吗？为什么？

解答：该风险回避的消费者不会参与这场赌博。因为如果该消费者不参与这场赌博，那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财富量509.5元，其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值10 000×5%＋10×95%＝509.5元。由于他是一个风险回避者，所以在他看来，作为无风险条件下的一笔确定收入509.5元的效用水平，一定大于风险条件下这场赌博所带来的期望效用。

13. 基数效用论者是如何推导需求曲线的？解答：要点如下：

(1)基数效用论者提出的商品的边际效用递减规律是其推导需求曲线的基础。他们指出，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价格(即需求价格)也是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。

(2)在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的均衡条件是eq \\f(MU,P)＝λ。由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导与理解(1)中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线。

14. 用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。解答：要点如下：

(1)本题涉及的两个基本分析工具是无差异曲线和预算线。无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的全部组合的，其斜率的绝对值可以用商品的边际替代率MRS来表示。预算线表示在消费者收入和商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购买到的两种商品的全部组合，其斜率为－eq \\f(P1,P2)。

(2)消费者效用最大化的均衡点发生在一条给定的预算线与无数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是，消费者效用最大化的均衡条件为：MRS12＝eq \\f(P1,P2)，或者eq \\f(MU1,P1)＝eq \\f(MU2,P2)。

(3)在(2)的基础上进行比较静态分析，即令一种商品的价格发生变化，便可以得到该商品的价格—消费曲线。价格—消费曲线是在其他条件不变的前提下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。如图3—8(a)所示。

- 21 -

图3—8

(4)在(3)的基础上，将一种商品的不同价格水平和相应的最优消费量即需求量之间的一一对应关系描绘在同一坐标平面上，就可以得到需求曲线，如图3—8(b)所示。显然有：需求曲线一般斜率为负，表示商品的价格和需求量成反方向变化；而且，在需求曲线上与每一价格水平相对应的需求量都是可以在该价格水平给消费者带来最大效用的最优消费数量。

15. 分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。

解答：要点如下：

(1)当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。替代效应是指仅考虑商品相对价格变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平(即效用水平)变化对需求量的影响。收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平(即效用水平)变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对价格变化对需求量的影响。

(2)无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应和收入效应，都需要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。在图3—9中，以正常物品的情况为例加以说明。图3—9中，初始的消费者效用最大化的均衡点为a点，相应的正常物品(即商品1)的需求为x11。价格P1下降以后的效用最大化的均衡点为b点，相应的需求量为x12。即P1下降的总效应为x11x12，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变化。

- 22 -

图3—9

然后，作一条平行于预算线AB′且与原有的无差异曲线U1相切的补偿预算线FG(以虚线表示)，相应的效用最大化的均衡点为c点，而且注意，此时b点的位置一定处于c点的右边。于是，根据(1)中的阐述，则可以得到：给定的代表原有效用水平的无差异曲线U1与代表P1变化前后的不同相对价格的(即斜率不同的)预算线AB、FG分别相切的a、c两点，表示的是替代效应，即替代效应为x11x13，且为增加量，故有替代效应与价格成反方向变化；代表不同效用水平的无差异曲线U1和U2分别与两条代表相同相对价格的(即斜率相同的)预算线FG、AB′相切的c、b两点，表示的是收入效应，即收入效应为x13x12，且为增加量，故有收入效应与价格成反方向变化。

最后，由于正常物品的替代效应和收入效应都分别与价格成反方向变化，所以，正常物品的总效应与价格一定成反方向变化，由此可知，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。

(3)关于低档物品和吉芬物品。在此略去关于这两类商品的具体的图示分析。需要指出的要点是，这两类商品的替代效应都与价格成反方向变化，而收入效应都与价格成同方向变化，其中，大多数低档物品的替代效应大于收入效应，而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应。于是，大多数低档物品的总效应与价格成反方向变化，相应的需求曲线向右下方倾斜，低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与价格成同方向的变化，相应的需求曲线向右上方倾斜。

(4)基于(3)的分析，所以，在读者自己利用与图3—9相似的图形来分析低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应时，在一般的低档物品的情况下，一定要使b点落在a、c两点之间，而在吉芬物品的情况下，则一定要使b点落在a点的左边。唯有如此作图，才符合(3)中理论分析的要求。

- 23 -

第四章生产论

1. 下面(表4—1)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：

表4—1 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量 1 2 2 10 3 24 4 12 5 60 6 6 7 70 8 0 9 63 (1)在表中填空。 (2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？

解答：(1)利用短期生产的总产量(TP)、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4—2所示：

表4—2 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量 1 2 2 2 2 12 6 10 3 24 8 12 4 48 12 24 5 60 12 12 6 66 11 6 7 70 10 4 8 70 8\\f(3 4) 0 9 63 7 －7 (2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表4—2可见，当可变要素的投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。

2. 用图说明短期生产函数Q＝f(L， eq \\o(K,\\s\,"p":{"h":14.525,"w":61.915,"x":423.825,"y":721.468,"z":817},"ps":null,"t":"word－)))的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的特征及其相互之间的关系。

解答：短期生产函数的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的综合图如图4—1所示。

图4—1

由图4—1可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MPL曲线呈现出先上升达到最高点A以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的MPL曲线出发，可以方便地推导出TPL曲线和APL曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。

关于TPL曲线。由于MPL＝eq \\f(dTPL,dL)，所以，当MPL＞0时，TPL曲线是上升的；当MPL＜0时，TPL曲线是下降的；而当MPL＝0时，TPL曲线达最高点。换言之，在L＝L3时，MPL曲线达到零值的B点与TPL曲线达到最大值的B′点是相互对应的。此外，在L＜L3即MPL＞0的范围内，当MP′L ＞0时，TPL曲线的斜率递增，即TPL曲线以递增的速率上升；当MP′L＜0时，TPL曲线的斜率递减，即TPL曲线以递减的速率上升；而当MP′＝0时，TPL曲线存在一个拐点，换言之，在L＝L1时，MPL曲线斜率为零的A点与TPL曲线的拐点A′是相互对应的。

- 24 -

关于APL曲线。由于APL＝eq \\f(TPL,L)，所以，在L＝L2时，TPL曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。该切线是由原点出发与TPL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是APL的最大值点。再考虑到APL曲线和MPL曲线一定会相交在APL曲线的最高点。因此，在图4—1中，在L＝L2时，APL曲线与MPL曲线相交于APL曲线的最高点C′，而且与C′点相对应的是TPL曲线上的切点C。

3. 已知生产函数Q＝f(L， K)＝2KL－0.5L2－0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。

(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。

(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。

(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？

解答：(1)由生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生产函数为

Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50

于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TPL＝20L－0.5L2－50

劳动的平均产量函数：APL＝eq \\f(TPL,L)＝20－0.5L－eq \\f(50,L) 劳动的边际产量函数：MPL＝eq \\f(dTPL,dL)＝20－L (2)关于总产量的最大值：

令eq \\f(dTPL,dL)＝0，即eq \\f(dTPL,dL)＝20－L＝0 解得 L＝20

且 eq \\f(d2TPL,dL2)＝－1＜0

所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量TPL达到极大值。关于平均产量的最大值：

－

令eq \\f(dAPL,dL)＝0，即eq \\f(dAPL,dL)＝－0.5＋50L2＝0 解得 L＝10(已舍去负值)

－

且 eq \\f(d2APL,dL2)＝－100L3＜0

所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量APL达到极大值。关于边际产量的最大值：

由劳动的边际产量函数MPL＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。

(3)当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APL＝MPL。由(2)已知，当L＝10时，劳动的平均产量APL达到最大值，即相应的最大值为

APL的最大值＝20－0.5×10－eq \\f(50,10)＝10

将L＝10代入劳动的边际产量函数MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。

很显然，当APL＝MPL＝10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L＝10。

4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。

解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。

规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。

5. 已知生产函数为Q＝min{2L， 3K}。求： (1)当产量Q＝36时，L与K值分别是多少？

(2)如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？

解答：(1)生产函数Q＝min{2L， 3K}表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q＝2L＝3K。

因为已知产量Q＝36，所以，相应地有L＝18，K＝12。 (2)由Q＝2L＝3K，且Q＝480，可得

L＝240，K＝160

又因为PL＝2，PK＝5，所以有 - 25 -

C＝PL·L＋PK·K ＝2×240＋5×160＝1 280

即生产480单位产量的最小成本为1 280。

6.假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L2－L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。

(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝eq \\f(Q(L),L)＝35＋8L－L2 边际产量函数：MP(L)＝eq \\f(dQ(L),dL)＝35＋16L－3L2 (2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。

在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。

在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。解得L＝－eq \\f(5,3)和L＝7。L＝－eq \\f(5,3)不合理，舍去，故取L＝7。

由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。

7.假设生产函数Q＝3L0.8K0.2。试问： (1)该生产函数是否为齐次生产函数？

(2)如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？

解答：(1)因为

＋

f(λL，λK)＝3(λL)0.8(λK)0.2＝λ0.80.23L0.8K0.2 ＝λ·3L0.8K0.2＝λ·f(L，K)

所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。 (2)因为

－

MPL＝eq \\f(dQ,dL)＝2.4L0.2K0.2

－

MPK＝eq \\f(dQ,dK)＝0.6L0.8K0.8

所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为

－－

MPL·L＋MPK·K＝2.4L0.2K0.2·L＋0.6L0.8K0.8·K

0.80.20.80.20.80.2

＝2.4LK＋0.6LK＝3LK

可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。

8.假设生产函数Q＝ min{5L,2K}。 (1)作出Q＝50时的等产量曲线。

(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。 (3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图4—2所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为eq \\f(K,L)＝eq \\f(5,2)。

- 26 -

图4—2

当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相应的Q＝50的等产量曲线如图4—2所示。 (2)由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSLK＝0。

(3) 因为Q＝f(L，K)＝min{5L,2K}

f(λL，λK)＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K}

所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。

9.已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝ALαKβ。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为 Q＝f(L，K)＝ALαKβ

＋

f(λL，λK)＝A(λL)α(λK)β＝λαβALαKβ

所以当α＋β>1时，该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1时，该生产函数为规模报酬不变；当α＋β<1时，该生产函数为规模报酬递减。

10. 已知生产函数为

(a)Q＝5Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)；

(b)Q＝eq \\f(KL,K＋L)； (c)Q＝KL2；

(d)Q＝min{3L， K}。

求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。

(2)当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答：(1)(a)关于生产函数Q＝5Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)。

MPL＝eq \\f(5,3)L－eq \\f(2,3)Keq \\f(2,3) MPK＝eq \\f(10,3)Leq \\f(1,3)K－eq \\f(1,3)

由最优要素组合的均衡条件eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(PL,PK)，可得

eq \\f(5,3)L－eq \\f(2,3)Keq \\f(2,3),eq \\f(10,3)Leq \\f(1,3)K－eq \\f(1,3))＝eq \\f(PL,PK)

整理得

eq \\f(K,2L)＝eq \\f(PL,PK)

即厂商长期生产的扩展线方程为 - 27 -

K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(2PL,PK)))L

(b)关于生产函数Q＝eq \\f(KL,K＋L)。

MPL＝eq \\f(K(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \\f(K2,(K＋L)2) MPK＝eq \\f(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \\f(L2,(K＋L)2)

由最优要素组合的均衡条件eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(PL,PK)，可得

eq \\f(K2/(K＋L)2,L2/(K＋L)2)＝eq \\f(PL,PK)

整理得

eq \\f(K2,L2)＝eq \\f(PL,PK)

即厂商长期生产的扩展线方程为

K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,PK)))eq \\f(1,2)·L

(c)关于生产函数Q＝KL2。

MPL＝2KL MPK＝L2

由最优要素组合的均衡条件eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(PL,PK)，可得

eq \\f(2KL,L2)＝eq \\f(PL,PK)

即厂商长期生产的扩展线方程为

K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,2PK)))L

(d)关于生产函数Q＝min(3L， K)。

由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L＝K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K＝3L。

eq \\f(

(2)(a)关于生产函数Q＝5Leq \\f(1,3)K2,3)。

当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(2PL,PK)))L得

K＝2L

代入生产函数Q＝5Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)得

5Leq \\f(1,3)(2L)eq \\f(2,3)＝1 000

于是，有L＝eq \\f(200,\\r(3,4))，K＝eq \\f(400,\\r(3,4))。 (b)关于生产函数Q＝eq \\f(KL,K＋L)。当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,PK)))eq \\f(1,2)L得

K＝L

代入生产函数Q＝eq \\f(KL,K＋L)，得

eq \\f(L2,L＋L)＝1 000 于是，有L＝2 000，K＝2 000。

(c)关于生产函数Q＝KL2。

当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,2PK)))L得

K＝eq \\f(1,2)L

代入生产函数Q＝KL2，得 - 28 -

eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(L,2)))·L2＝1 000 于是，有L＝10eq \\r(3,2)，K＝5eq \\r(3,2)。

(d)关于生产函数Q＝min{3L， K}。

当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，将其扩展线方程K＝3L，代入生产函数，得

K＝3L＝1 000

于是，有K＝1 000，L＝eq \\f(1 000,3)。

11. 已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。

判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ (2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？

解答：(1)因为Q＝f(L，K)＝ALeq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)，于是有

f(λL，λK)＝A(λL)eq \\f(1,3)(λK)eq \\f(2,3)＝Aλeq \\f(1,3)＋eq \\f(2,3)Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)＝λALeq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)＝λ·f(L，K)

所以，生产函数Q＝ALeq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)属于规模报酬不变的生产函数。

(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以eq \\o(K,\\s\,"p":{"h":14.526,"w":61.915,"x":469.184,"y":446.218,"z":247},"ps":null,"t":"word－))表示；而劳动投入量可变，以L表示。

对于生产函数Q＝ALeq \\f(1,3)eq \\o(K,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":61.915,"x":422.745,"y":481.318,"z":264},"ps":null,"t":"word－))－eq \\f(2,3)，有

MPL＝eq \\f(1,3)AL－eq \\f(2,3)eq \\o(K,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":61.892,"x":481.965,"y":514.258,"z":292},"ps":null,"t":"word－))－eq \\f(2,3)

且 eq \\f(dMPL,dL)＝－eq \\f(2,9)AL－eq \\f(5,3)eq \\o(K,\\s\,"p":{"h":14.525,"w":61.915,"x":616.29,"y":547.378,"z":329},"ps":null,"t":"word－))－eq \\f(2,3)＜0

这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。

类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以eq \\o(L,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":60.295,"x":503.025,"y":617.398,"z":352},"ps":null,"t":"word－))表示；而资本投入量可变，以K表示。

对于生产函数Q＝Aeq \\o(L,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":60.475,"x":326.775,"y":652.318,"z":367},"ps":null,"s":{"letter-spacing":"0.01－))eq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)，有

MPK＝eq \\f(2,3)Aeq \\o(L,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":60.505,"x":376.814,"y":685.468,"z":394},"ps":null,"s":{"letter-spacing":"0.013－))eq \\f(1,3)K－eq \\f(1,3)

且 eq \\f(dMPK,dK)＝－eq \\f(2,9)Aeq \\o(L,\\s\,"p":{"h":14.525,"w":60.295,"x":516.344,"y":718.408,"z":431},"ps":null,"t":"word－))eq \\f(1,3)K－eq \\f(4,3)＜0

这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。

以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

12. 令生产函数f(L，K)＝α0＋α1(LK)eq \\f(1,2)＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。 (1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 (2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解答：(1)根据规模报酬不变的定义

f(λL，λK)＝λ·f(L，K) (λ＞0)

于是有

f(λL，λK)＝α0＋α1[(λL)(λK)]eq \\f(1,2)＋α2(λK)＋α3(λL) ＝α0＋λα1(LK)eq \\f(1,2)＋λα2K＋λα3L

＝λ[α0＋α1(LK)eq \\f(1,2)＋α2K＋α3L]＋(1－λ)α0 ＝λ·f(L，K)＋(1－λ)α0

由上式可见，当α0＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL， λK)＝λ·f(L， K)成立，即当α0＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

(2)在规模报酬不变，即α0＝0时，生产函数可以写成

f(L，K)＝α1(LK)eq \\f(1,2)＋α2K＋α3L - 29 -

相应地，劳动与资本的边际产量分别为

MPL(L，K)＝eq \\f(∂f(L，K),∂L)＝eq \\f(1,2)α1L－eq \\f(1,2)Keq \\f(1,2)＋α3 MPK(L，K)＝eq \\f(∂f(L，K),∂K)＝eq \\f(1,2)α1Leq \\f(1,2)K－eq \\f(1,2)＋α2

而且有

eq \\f(∂MPL(L，K),∂L)＝eq \\f(∂2f(L，K),∂L2)＝－eq \\f(1,4)α1L－eq \\f(3,2)Keq \\f(1,2)

eq \\f(∂MPK(L，K),∂K)＝eq \\f(∂2f(L，K),∂K2)＝－eq \\f(1,4)α1Leq \\f(1,2)K－eq \\f(3,2)

显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。

13. 已知某企业的生产函数为Q＝Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)，劳动的价格w＝2，资本的价格r＝1。求：

(1)当成本C＝3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。 (2)当产量Q＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。解答：(1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件

eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(w,r)

其中 MPL＝eq \\f(dQ,dL)＝eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)

MPK＝eq \\f(dQ,dK)＝eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3) w＝2 r＝1

于是有 eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3),eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3))＝eq \\f(2,1)

整理得 eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1) 即 K＝L

再将K＝L代入约束条件2L＋1·K＝3 000，有

2L＋L＝3 000

解得 L*＝1 000 且有 K*＝1 000

将L*＝K*＝1 000代入生产函数，求得最大的产量

Q*＝(L*)eq \\f(2,3)(K*)eq \\f(1,3)＝1 000eq \\f(2,3)＋eq \\f(1,3)＝1 000

本题的计算结果表示：在成本C＝3 000时，厂商以L*＝1 000，K*＝1 000进行生产所达到的最大产量为Q*＝1 000。

此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

eq \\o(max,\\s\\do4(L，K))Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3) s.t. 2L＋1·K＝3 000

L(L，K，λ)＝Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)

将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件

eq \\f(∂L,∂L)＝eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)－2λ＝0(1) eq \\f(∂L,∂K)＝eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3)－λ＝0(2) eq \\f(∂L,∂λ)＝3 000－2L－K＝0(3)

由式(1)、式(2)可得

eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1)

即 K＝L

将K＝L代入约束条件即式(3)，可得 - 30 -

3 000－2L－L＝0

解得 L*＝1 000 且有 K*＝1 000

再将L*＝K*＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量

Q*＝(L*)eq \\f(2,3)(K*)eq \\f(1,3)＝1 000eq \\f(2,3)＋eq \\f(1,3)＝1 000

在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。

(2)根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件

eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(w,r)

其中 MPL＝eq \\f(dQ,dL)＝eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)

MPK＝eq \\f(dQ,dK)＝eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3) w＝2 r＝1

于是有 eq \\f(2,3)L－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3),eq \\f(1,3)Leq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3))＝eq \\f(2,1)

整理得 eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1) 即 K＝L

再将K＝L代入约束条件Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)＝800，有

Leq \\f(2,3)Leq \\f(1,3)＝800

解得 L*＝800 且有 K*＝800

将L*＝K*＝800代入成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本

C*＝2×800＋1×800＝2 400

本题的计算结果表示：在Q＝800时，厂商以L*＝800，K*＝800进行生产的最小成本为C*＝2 400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

mieq \\o(n,\\s\\do4(L，K))2L＋K

s.t. Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)＝800

L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3))

将拉格朗日函数分别对L、K和μ求偏导，得极值的一阶条件

eq \\f(∂L,∂L)＝2－eq \\f(2,3)μL－eq \\f(1,3)Keq \\f(1,3)＝0(1) eq \\f(∂L,∂K)＝1－eq \\f(1,3)μLeq \\f(2,3)K－eq \\f(2,3)＝0(2) eq \\f(∂L,∂μ)＝800－Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)＝0(3)

由式(1)、式(2)可得

eq \\f(K,L)＝eq \\f(1,1)

即 K＝L

将K＝L代入约束条件即式(3)，有

800－Leq \\f(2,3)Leq \\f(1,3)＝0

解得 L＝800 且有 K＝800

再将L*＝K*＝800代入目标函数即成本等式，得最小的成本

C＝2L＋1·K＝2×800＋1×800＝2 400

在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。 - 31 -

14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。

图4—3

解答：以图4—3为例，要点如下：

(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图4—3中，只有一条等成本线AB；此外，有三条等产量曲线Q1、Q2和Q3以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。

(2)在约束条件即等成本线AB给定的条件下，先看等产量曲线Q3，该曲线处于AB线以外，与AB线既无交点又无切点，所以，等产量曲线Q3表示的产量过大，既定的等成本线AB不可能实现Q3的产量。再看等产量曲线Q1，它与既定的AB线交于a、b两点。在这种情况下，厂商只要从a点出发，沿着AB线往下向E点靠拢，或者从b点出发，沿着AB线往上向E点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在等成本线AB与等产量曲线Q2的相切处E点，实现最大的产量。由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是MRTSLK＝eq \\f(w,r)，且整理可得eq \\f(MPL,w)＝eq \\f(MPK,r)。

图4—4

15. 画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。解答：以图4—4为例，要点如下： (1)由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图4—4中，只有一条等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":14.525,"w":41.035,"x":694.95,"y":900.388,"z":198},"ps":null,"t":"word－))；此外，有三条等成本线AB、A′B′和A″B″以供分析，并从中找出相应的最小成本。

(2)在约束条件即等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":14.525,"w":40.885,"x":391.394,"y":935.353,"z":222},"ps":null,"t":"word－))给定的条件下，先看等成本线AB，该线处于等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":40.855,"x":241.635,"y":952.813,"z":234},"ps":null,"t":"word－))以下，与等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":41.035,"x":505.725,"y":952.813,"z":243},"ps":null,"t":"word－))既无交点又无切点，所以，等成本线AB所代表的成本过小，它不可能生产既定产量eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":40.855,"x":516.344,"y":970.453,"z":256},"ps":null,"t":"word－))。再看等成本线A″B″，它与既定的等产量曲线交于a、b两点。在这种情况下，厂商只要从a点出发，沿着等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":40.855,"x":694.95,"y":987.913,"z":281},"ps":null,"t":"word－))往下向E点靠拢，或者，从b点出发，沿着等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":40.855,"x":543.344,"y":1005.373,"z":294},"ps":null,"t":"word－))往上向E点靠拢，就都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线eq \\o(Q,\\s\,"p":{"h":13.5,"w":40.855,"x":162.929,"y":1040.473,"z":307},"ps":null,"t":"word－))与等成本线A′B′的相切处E点，实现最小的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTSLK＝eq \\f(w,r)，且整理可得eq \\f(MPL,w)＝eq \\f(MPK,r)。

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西方经济学第二章 习题答案

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