三角函数与三角恒等变换经典测试题附答案

三角函数与三角恒等变换(A)

一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若sin(3)lg1310，则tan(π＋α)＝________.

3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合sinx5m2的实数m的取值范围是_________.

23m5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________. 6. 函数

ysin2x的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一)

44ycosx31的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则7. 把函数

的最小正值为___________.

8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________. 9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________.

10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________.

2cosx1511. 函数y的递减区间是___________. 2sinx512. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么sinf(5)__________. 213. 若函数y＝sin(x＋)＋cos(x＋)是偶函数，则满足条件的为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________.

二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知tan

16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx). (1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值；

32，求2sincoscos的值. 4

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(2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间

,上的图象22

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.

17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6(

18. (本小题满分16分)已知函数(1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间.

19. (本小题满分16分)设函数(1) 求函数f(x)的值域； (2) 若对任意x∈

20. (本小题满分16分)已知奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在［0，＋∞)上是增函数.当0时，是否存在这样的实数m，使

3x23)的值域.

yf(x)Asin(x)(0,0)的图象如图所示.

xf(x)4sinxsin2cos2x(x∈R).

422,，都有|f(x)－m|＜2成立，求实数m的取值范围. 632f(4m2mcos)f(2sin22)f(0)对所有的

0,均成立?若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由.

2

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第五章三角函数与三角恒等变换(B)

一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1.cos225+tan240+sin(-300)=______. 2.tan20tan403tan20tan40_______.

sin2x3cos2x3. 已知tanx2，则的值为_________.

3sin2xcos2x4. 已知34，则(1tan)(1tan)________.

5. 将函数y＝sin2x的图象向左平移________. 6. 已知函数

个单位， 再向上平移41个单位，所得图象的函数解析式是

ysin(2x)(0)是R上的偶函数，则__________.

7. 函数

ylog1sin2x的单调递减区间为________.

42ysinx3cosx，且x,，则函数的值域是_________.

68. 已知函数

1cos0，则cos2sin2的值是___________.

25410. 已知,都是锐角，且sin,cos()，则sin的值是_________.

1359. 若3sin11. 给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是_______. ① 若coscos，则2k，k∈Z；

② 函数

y2cos2x的图象关于x对称；

312ycos(sinx) (x∈R)为偶函数；

③ 函数

④ 函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π.

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12. 已知函数

2f(x)Acos(x)的图象如图所示，f，则f(0)＝_________.

32

13. 若110,,(0,)，且tan(),tan，则2______.

27414. 已知函数

f(x)sinx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将

4y＝f(x)的图象向左平移

(0)个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小值是______.

二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分

14

分)如图是表示电流强度

I

与时间

t

的关系

IAsin(t)(0,0)在一个周期内的图象.

(1) 写出IAsin(t)的解析式；

(2) 指出它的图象是由I＝sint的图象经过怎样的变换而得到的.

16. (本小题满分14分)化简sin6sin42sin66sin78.

17. (本小题满分14分)已知函数y＝sinx·cosx＋sinx＋cosx，求y的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的值.

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18. (本小题满分16分)设04个不同的交点. (1) 求的取值范围；

(2) 证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围.

19. (本小题满分16分)函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R. (1) 求g(a)的表达式； (2) 若g(a)＝

20. (本小题满分16分)已知定义在区间

2，曲线x2siny2sin1和x2cosy2sin1有

1，求a及此时f(x)的最大值. 2,上的函数y＝f(x)的图象关于直线x对称，当x42≥

时，函数f(x)＝sinx. 4f,f2的值； 4(1) 求

(2) 求y＝f(x)的函数表达式；

(3) 如果关于x的方程f(x)＝a有解，那么在a取某一确定值时，将方程所求得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能取值及相对应的a的取值范围.

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第五章三角函数与三角恒等变换（A）

1.

212r 2. ±42 3. 三 4.

1910, 5. 1026. x＝

8【解析】对称轴方程满足2x＋

k＝kπ＋，所以x＝4228（k∈Z）.

7.

23 8.

5,1 415sin20sin30sin50cos20【解析】∵ sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝ 162cos10sin40sin30cos40sin80sin301＝,

4cos108cos1016115∴ 原式＝1－.

16169.10. －

17250 11.2k73,2k,kZ 55＝－1. 212. －1 【解析】f（5）＝－f（－5）＝－f（－1）＝－1，∴ 原式＝sin13.＝kπ＋

（k∈Z） 14. tan5＜tan3＜tan4 4231sincoscostan1224215. 2＋sinθcosθ－cos2θ＝2＋＝2. 2229sincostan11251616. （1） f（x）＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋2(sin2xcos－cos2xsin)

44＝1＋2sin(2x－).

4所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1＋（2） 列表.

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x

3 82xy

4



1

 8 212  80 1

3 85 8 212 

1

故函数y＝f（x）在区间

17. y＝4sin2x＋6cosx－6

,上的图象是 22＝4（1－cos2x）＋6cosx－6 ＝－4cos2x＋6cosx－2

31＝－4cosx. ∵ －

344∴ y∈

2≤x≤

23，∴ －

1≤cosx≤1， 216,. 418. （1） 由图象可知：T＝223＝πω＝

T88＝2.

A＝

2(2)＝2，∴ y＝2sin（2x＋）. 23,2为“五点画法”中的第二点，∴ 2×＋＝＝

428834. .

又∵∴ 所求函数的解析式为y＝2sin2x（2） ∵ 当2x＋

34∈

2k,2k（k∈Z）时，f（x）单调递增，22

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∴ 2x∈

552k,2kk,kx∈（k∈Z）. 44881cosx2＋cos2x＝2sinx（1＋sinx）＋1－2sin2x＝2sinx＋1.

19. （1） f（x）＝4sinx·

2∵ x∈R，∴ sinx∈［－１，1］，故f（x）的值域是［－1，3］. （2） 当x∈

21,,1，∴ f（x）∈［2，3］. 时，sinx∈632由|f（x）－m|＜2－2＜f（x）－m＜2，∴ f（x）－2＜m＜f（x）＋2恒成立. ∴ m＜［f（x）＋2］min＝4，且m＞［f（x）－2］max＝1. 故m的取值范围是（1，4）.

20. 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）（x∈R），所以f（0）＝0.所以f（4m－2mcosθ）－f（2sin2θ＋2）＞0，所以f（4m－2mcosθ）＞f（2sin2θ＋2）. 又因为f（x）在［０，＋∞）上是增函数，且f（x）是奇函数， 所以f（x）是R上的增函数，所以4m－2mcosθ＞2sin2θ＋2. 所以cos2θ－mcosθ＋2m－2＞0. 因为θ∈

0,，所以cosθ∈［０，１］. 2令l＝cosθ(l∈［０，1］). 满足条件的m应使不等式l2－ml＋2m－2＞0对任意l∈［0，1］均成立. 设

mg（l）＝l2－ml＋2m－2＝l22m2－

4＋2m－2.

m01,mm20,1,由条件得2 或或2mg(0)0,g0,g(1)0.2解得，m＞4－22.

第五章三角函数与三角恒等变换（B）

1.

3322 2.

2

tan2x3(2)2377. 3.【解析】原式＝223tanx13(2)11111

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4. 2 5. y＝2cos2x 6.

 27.k8,k8（k∈Z） 【解析】∵ sin2x＞0，且y＝log1t是减函数， 42∴ 2kπ＜2x＋

≤＋2kπ，（k∈Z），∴ x∈k,k（k∈Z）.

8842≤x＋

8. 【解析】y＝sinx＋3cosx＝2sinx，又3,2324≤, 33∴ sinx3∈3,1，∴ y∈［－3，2］. 2cos2sincos1tan6. sin2θ＝222sincostan159.

611【解析】tanθ＝，∴ cos2θ＋53235612 【解析】由题意得cosα＝，sin（α＋β）＝.∴ sinβ＝sin［（α＋β）－α］＝sin

5651356（α＋β）·cosα－cos（α＋β）·sinα＝.

65211. ①②④ 12.

3113271，∴ tan（2α－β）＝tan［13.【解析】tanα＝tan（α－β＋β）＝（α－β）

114312711

3231.∵ β∈（０，π）,且tanβ＝－1∈（－1，0）,，∴ 2＋α］＝，∴ β∈1174123

10.

α－β∈,3,∴ 2α－β＝－442.

14.

8 【解析】由已知，周期为π＝，∴ ω＝2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶

函数，sin

2x＝±cos2x，故=min48

.

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15. （1） I＝300sin100t. 3(2) I＝sintI＝sint3个单位向左平移纵坐标不变100t I＝sin1 3横坐标变为原来的100倍3横坐标不变100tI＝300sin. 纵坐标变为原来的300倍316. 原式＝sin6°·cos48°·cos24°·cos12°

cos6sin6cos12cos24cos48cos61sin96116＝…=.

cos616＝

17. 令sinx＋cosx＝t.由sinx＋cosx＝

＝

1sin12cos12cos24cos482cos62sinx，知

4t∈［－2，2］，∴ sinx·cosx＝

t21t211，t∈［－2，2］.所以y＝＋t＝222－1，即2sinx（t＋1）2－1，t∈［－2，2］.当t＝

4＝－1，x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋

3π（k∈Z）时，ymin＝－1；当t＝2，2即2sinx＝2， x＝2kπ＋

44（k∈Z）时，ymax＝

12. 2222xsinycos1,xsincos,得218. （1） 解方程组 故两条已知曲线有四个

22xsinycos1,ycossin.不同的交点的充要条件为sincos0,∵ 0＜θ＜

2cossin0.2，∴ 0＜θ＜

. 4（2） 设四个交点的坐标为（xi，yi）（i＝1，2，3，4），则xi＋2，3，4）.故此四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝yi2＝2cosθ∈（2，2）（i＝1，

2cos(42,2).

19. f（x）＝1－2a－2acosx－2sin2x＝1－2a－2acosx－2（1－cos2x）＝2cos2x－2acosx－1－2a＝2

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acosx22a2－1－2a－

2（a∈R）.

（1） 函数f（x）的最小值为g（a）.

aa① 当＜－1，即a＜－2时，由cosx＝－1，得g（a）＝21222a2－1－2a－

2；

＝1；

a2aa② 当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，由cosx＝，得g（a）＝－1－2a－

222aa③ 当＞1，即a＞2时，由cosx＝1，得g（a）＝21222a2－1－2a－

2＝1－4a.

1(a2),a2综上所述，g(a)12a(2a2),

214a(a2).a21（2） ∵ g（a）＝，∴ －2≤a≤2，∴ －1－2a－

22＝

12，得a2＋4a＋3＝0，

a∴ a＝－1或a＝－3（舍）.将a＝－1代入f（x）＝2cosx21得f（x）＝2cosx220. （1） f22a2－1－2a－

2，

＋

1.∴ 当cosx＝1，即x＝2kπ（k∈Z）时，f（x）max＝5. 2＝

33＝f（π）＝sinπ＝0，f＝f＝sin424422.

（2） 当－

≤x＜时，f（x）＝fx＝sinx＝cosx. 2422sinx,x,,4∴ f（x）＝

cosx,x,.24（3） 作函数f（x）的图象（如图），显然，若f（x）＝a有解，则a∈［0，1］.

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① 当0≤a＜

22时，f（x）＝a有两解，且

x1x224，∴ x1＋x2＝

，∴ Ma＝； 2234；

② 当a＝22时，f（x）＝a有三解，且x1＋x2＋x3＝

3＋＝

424，∴ Ma＝

③ 当22＜a＜1时，f（x）＝a有四解，且x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x4＋x2＋x3＝

＋＝π， 22∴ Ma＝π；

④ 当a＝1时，f（x）＝a有两解，且x1＝0，x2＝

，∴ x1＋x2＝，∴ Ma＝. 2222,a0,{1},2223综上所述，Ma= ,a,422,a2,1.

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）