201001试卷答案B

课程名称 数学模型与数学实验 适用专业 数学各专业

考试学期 04-05-3

考试形式

开卷

得分

考试时间长度 120分钟

学号 姓名 一. (20`)在计时工资制体系下,雇主的付薪方式是按计时工资率（元/小时）付薪

（wkt）。如果雇员的满意度曲线为w.(tc)31/2（c为参数） （1） 如果协议为每天工作6小时，给出雇员的满意度曲线。

（2） 求雇员与雇主的协议曲线。

解 （1）协议时间为t6，对应雇员的满意度曲线上点（t,(tc)3/2）,过此点的切线方程为 W(tc)3/23(tc)2(Tt)/2， 4` 它应与雇主的付薪曲线WkT32tcT一致。 2由此得到c2t。 4` 因为t6,c12，

所以 w(t12)3/2 4`

（2）所求的切点为（t,27t3/2）， 4` 协议曲线为 w27t/2。 4`

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3

二. (20`) 在层次分析法建模中，我们用到了一致矩阵的概念，即如果矩阵Aaij是成对比较矩阵，且aikaij.ajk，i,j,k证明

（1）A的转置也是一致矩阵。

（2）A的秩为1，且A的非零特征值位n； 证明

（1）只需验证一致矩阵的几个条件成立即可。 令 A(bij)

bijaji0,bji1/bij 1` bikbijbjk 4` （2）只需证明对应行的元素呈比例

Tnn。

aijaikakjailalj,aikaljajkailakjaji 3`

上式表明i,j列元素呈比例，令i1得所有列均与第一列呈比例，所以A的秩为1。 2`

令A[aij][a1,a2,a3,,an][b1,b2,,bn] 3` 由 aii1，得 bi1/ai 3` A[a1,a2,,an]n[a1,a2,,an] 2` 得非零特征值为 n. 2`

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TTT

三. (20`)如果雨滴的下落速度v仅与雨滴的半径r、重力加速度g和粘性系数（压强

Pvx）有关，利用量纲分析法給出速度v与其它变量的关系。 解 [v]LT1,[r]L,[g]LT2,[]L1MT1,[]ML3 构造量纲分析矩阵，在解相应的齐次方程组得

1 111300011LM 10210T基础解系 1[1,1/2,1/2,0,0],2[0,3/2,1/2,1,1] f(v1/2,r3/2g3/22rg)0，即 vrgF(rg1/)

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5` 5`

5`

5`

四.(20`)讨论鲸鱼种群t时的总量P(t)模型

dPk(MP)(Pm),(k0,M0,m0),P(0)P0 dt（1） 如果mP0M，解上述方程； （2） 求tlimP(t)。

解 （1） xPm

dx dtkx(Mmx),x0P0m 利用变量可分离法，得 P(t)m(Mm)[1P(0)MP(0)me(Mm)t]1 （2）tlimP(t)M

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6`

8`

6`

五.(20)已知数据

x 10 20 30 40 50 60 70 y 92 100 118 146 184 232 290 （1） 利用以上数据求其1阶拟合多项式；

（2） 用差分法确定最合适的拟合多项式的阶数，据此求x100时的y值。 解 （1）y3.3x34 6` （2）y 92 100 118 146 184 232 290

y 8 18 28 38 48 58

2y 10 10 10 10 10 4` 3y 0 0 0 0

最适合的多项式为2阶 ， 3` y0.05x0.7x94。 4`

当x100时，y524。 3`

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