一、选择题（每题3分）.
1．若a的相反数是2，则a的值为（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣
D．±2
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ） A．0.36×105
B．3.6×105
C．3.6×104
D．36×103
3．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）
A．C．
B．D．
4．下列各式中正确的是（ ） A．a3•a2＝a6 C．
＝2a+1
B．3ab﹣2ab＝1
D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
5．学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质，每学期以班级为单位申报校内志愿者活2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，动．则他们参与次数的众数和中位数分别是（ ）
参与次数 人数
A．2，2
1 6 B．17，2
2 17
3 14
4 2
5 1
D．2，3
C．17，1
6．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．关于x的方程（x﹣1） （x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A．两个正根
C．一个正根，一个负根
B．两个负根 D．无实数根
8．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
9．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）y随x的增大而增大． （m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算（2
﹣3）2的结果等于 ．
12．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝55°，则∠1的度数等于 ．
13．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 ．
14．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．
17．某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
第1段
成绩x/分 x＜60
频数 2 6 9 a 15
频率 0.04 0.12 b 0.36 0.30
第2段 60≤x＜70 第3段 70≤x＜80 第4段 80≤x＜90 第5段 90≤x≤100
请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ； （2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 段；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求△OAM的面积S．
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．
19．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上任意一点，连接BC并延长到点D，使得CD＝CB，连接AD，点E是弧
的中点．
（1）证明：△ABC≌△ADC．
（2）①当∠E＝ °时，△ABD是直角三角形； ②当∠D＝ °时，四边形OAEC是菱形．
20．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 cm．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
21．某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）直接写出y与之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润不超过1950元的共有多少天？
（3）若5≤x≤17，求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？
22．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1． （1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大； （3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．若a的相反数是2，则a的值为（ ） A．2
B．﹣2
C．﹣
D．±2
解：由a的相反数是2，得 a＝﹣2， 故选：B．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ） A．0.36×105
B．3.6×105
C．3.6×104
D．36×103
解：36000＝3.6×104， 故选：C．
3．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）
A．C．
B．D．
解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线． 故选：B．
4．下列各式中正确的是（ ） A．a3•a2＝a6 C．
＝2a+1
B．3ab﹣2ab＝1
D．a（a﹣3）＝a2﹣3a
解：A、a3•a2＝a5，所以A错误； B、3ab﹣2ab＝ab，所以B错误；
C、，所以C错误；
D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，所以D正确； 故选：D．
5．学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质，每学期以班级为单位申报校内志愿者活2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，动．则他们参与次数的众数和中位数分别是（ ）
参与次数 人数
A．2，2
1 6 B．17，2
2 17
3 14
4 2
5 1
D．2，3
C．17，1
解：∵2出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是2；
把这些数从小大排列为，中位数是第20、21个数的平均数， 则中位数是故选：A．
6．《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
＝2．
A． B．
C． D．
解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：，
故选：A．
7．关于x的方程（x﹣1） （x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）A．两个正根
C．一个正根，一个负根
B．两个负根 D．无实数根
解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）， ∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0， ∴一个正根，一个负根， 故选：C．
8．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
解：设“物理、化学、政治、历史”分别用A、B、C、D表示， 画树状图如图所示：
共有16种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，∴李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为故选：A．
9．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
＝，
A． B． C． D．
【解答】解一：∵EN＝1， ∴由中位线定理得AM＝2， 由折叠的性质可得A′M＝2， ∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM， ∵∠AMB＝∠A′MB， ∴∠A′NM＝∠A′MB， ∴A′N＝2， ∴A′E＝3，A′F＝2 过M点作MG⊥EF于G， ∴NG＝EN＝1， ∴A′G＝1， 由勾股定理得MG＝∴BE＝DF＝MG＝∴OF：BE＝2：3， 解得OF＝∴OD＝故选：B． 解二：连接AA'． ∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF， ∴A'A＝A'B，
﹣
， ＝
． ，
＝
，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM， ∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM， ∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°， 又∵∠ABC＝∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°， ∴BM＝2AM＝4，AB＝
AM＝2
＝CD．
在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°， ∴OC＝BC•tan∠OBC＝5×∴OD＝CD﹣OC＝2故选：B．
﹣
＝＝
， ．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）y随x的增大而增大． （m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， ⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算（2
﹣3）2的结果等于 17﹣12
）2﹣2×2
×3+32
．
解：原式＝（2＝8﹣12＝17﹣12
+9 ，
故答案为：17﹣12．
12．如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C（∠ACB＝90°）在直尺的一边上，若∠2＝55°，则∠1的度数等于 35° ．
解：∵EF∥HG，∠2＝55°， ∴∠3＝∠2＝55°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝90°﹣55°＝35°． 故答案为：35°．
13．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为 15 ．
解：由题意可得，
解不等式①，得：x＞6， 解不等式②，得：x≤8， 则不等式组的解集为6＜x≤8，
所以不等式组的所有整数解的和为7+8＝15， 故答案为：15．
14．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为
．
解：∵∠A＝60°，∠B＝100°， ∴∠C＝20°， 又∵D为BC的中点， ∴BD＝DC＝BC＝2， ∵DE＝DB， ∴DE＝DC＝2， ∴∠DEC＝∠C＝20°， ∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝故答案为：
．
，
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为 y＝﹣2x+8 ．
解：∵四边形ABCO是正方形， ∴点A，C关于直线OB对称， 连接CD交OB于P， 连接PA，PD，
则此时，PD+AP的值最小， ∵OC＝OA＝AB＝4， ∴C（0，4），A（4，0）， ∵D为AB的中点， ∴AD＝AB＝2， ∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b， ∴
，
∴，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4， ∵直线OB的解析式为y＝x，
∴，
解得：x＝y＝， ∴P（，），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n， ∴
，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
解法二：如图，作点D关于OB的对称点E， ∵D点的坐标为：（4，2）， ∴E（2，4），
设直线AP的解析式为：y＝ax+b， ∴
，
∴，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8， 故答案为：y＝﹣2x+8．
三、解答题（共8小题，共75分） 16．先化简再求值：解：原式＝＝＝＝
÷•，
+1＝
+1，b＝tan45°＝1时，
÷（
÷（a﹣﹣
）
），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．
当a＝2cos30°+1＝2×原式
＝
．
17．某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
第1段
成绩x/分 x＜60
频数 2 6 9 a 15
频率 0.04 0.12 b 0.36 0.30
第2段 60≤x＜70 第3段 70≤x＜80 第4段 80≤x＜90 第5段 90≤x≤100
请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝ 18 ，b＝ 0.18 ； （2）请补全频数分布直方图；
（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 4 段；
（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？
解：（1）本次调查的总人数为2÷0.04＝50， 则a＝50×0.36＝18、b＝9÷50＝0.18， 故答案为：18、0.18；
（2）补全直方图如下：
（3）∵共有50个数据，
∴其中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据均落在第4组， ∴中位数落在第4组， 故答案为：4．
（4）400×0.30＝120，
答：估计该年级成绩为优的有120人．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B（4，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）求△OAM的面积S．
（3）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小并求出此时点P的坐标．
解：（1）将B（4，1）代入y＝得：∴k＝4． ∴y＝．
将B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5， ∴m＝﹣1． ∴y＝﹣x+5．
（2）在y＝中，令x＝1，解得y＝4． ∴A（1，4）． ∴S＝×1×4＝2．
．
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（﹣1，4）． 连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
设直线BN的关系式为y＝kx+b，
由，得，
∴y＝﹣x+．
）．
∴点P的坐标为（0，
19．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上任意一点，连接BC并延长到点D，使得CD＝CB，连接AD，点E是弧
的中点．
（1）证明：△ABC≌△ADC．
（2）①当∠E＝ 135 °时，△ABD是直角三角形； ②当∠D＝ 60 °时，四边形OAEC是菱形．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝∠DCA＝90°， 又∵CD＝CB，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）．
（2）解：①如图2中，
∵△ABD是直角三角形，AB＝AD ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠B+∠E＝180° ∴∠E＝135°． 故答案为135．
②如图3中，连接OE．
∵四边形OAEC是菱形， 又∵OC＝OE＝OA， ∴OC＝EC＝OE＝AE＝OA， ∴△COE，△EOA均为等边三角形， ∴∠COE＝∠EOA＝60°， ∴∠COA＝120°， ∴∠B＝AOC＝60°， ∵∠D＝∠B， ∴∠D＝60°， 故答案为60．
20．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了 4 cm．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
解：（1）作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°， ∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE． ∴四边形ABFE为矩形． ∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB， ∵EF∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°， ∵∠ABD＝143°， ∴∠D＝37°，
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°， ∴
＝cosD＝cos37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40， ∴DF＝40×0.8＝32，
∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°， ∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm）， ∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm）， ∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
故答案为：4．
21．某公司开发出一款新的节能产品该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）直接写出y与之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，日销售利润不超过1950元的共有多少天？
（3）若5≤x≤17，求第几天的日销售利润最大，最大的日销售利润是多少元？
解：（1）当1≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得
，
即当1≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣30x+480，
当10＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
，得
，
即当10＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝21x﹣30， 由上可得，y＝（2）由题意可得，
当1≤x≤10时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（﹣30x+480）＝﹣150x+2400， 当10＜x≤30时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（21x﹣30）＝105x﹣150， 即w＝
当﹣150x+2400＝1950时，得x＝3， 当105x﹣150＝1950时，得x＝20， ∵20﹣3+1＝18，
∴日销售利润不超过1950元的共有18天； （3）∵当5≤x≤10时，w＝﹣150x+2400， ∴当x＝5时，w取得最大值，此时w＝1650， ∵当10＜x≤17时，w＝105x﹣150，
∴当x＝17时，w取得最大值，此时w＝1635， 综上所述：当x＝5时，w取得最大值，w＝1650， 答：第5日的销售利润最大，最大销售利润为1650元．
22．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 AE＝BD ，位置关系是 AE⊥BD ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
，
；
解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH， ∴∠BEH+∠EBH＝90°， ∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD， 故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE， ∴EH＝DH，CH＝DE＝5， 在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5， ∴AH＝
＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7， 综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1． （1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大； （3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四
点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x＝l， ∴D（﹣2，0）． 又∵C（0，﹣3） ∴
解得．a＝，b＝﹣，c＝﹣3， ∴二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．
（2）如图1所示：
设M（m，m2﹣m﹣3），|yM|＝﹣m2+m+3， ∵S＝S△OCM+S△OAM
∴S＝×OC×m+×OA×|yM|＝×3×m+×4×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+3m+6＝﹣（m﹣2）2+9， 当m＝2时，s最大是9．
（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，
∴PC∥x轴．
∴点P的纵坐标为﹣3．
将y＝﹣3代入得：x2﹣x﹣3＝﹣3，解得：x＝0或x＝2． ∴点P的坐标为（2，﹣3）． 当AB为对角线时． ∵ABCP为平行四边形， ∴AB与CP互相平分， ∴点P的纵坐标为3．
把y＝3代入得：x2﹣x﹣3＝3，整理得：x2﹣2x﹣16＝0，解得：x＝1+
．
综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+P四点为顶点的四边形为平行四边形．
，3）或P（1﹣
，3）使得以A，B、C，
或x＝1﹣
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