1. (2022·辽宁省丹东市)
丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量𝑦(件)与销售单价𝑥(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价𝑥(元/件) 每天销售数量𝑦(件) … … 35 90 40 80 45 70 … … (1) 直接写出𝑦与𝑥的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
内蒙古自治区鄂尔多斯市) 2. (2022·
某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个． (1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
湖北省荆门市) 3. (2022·
某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格𝑥(元/个)满足40<𝑥<80时，其销售量𝑦(万个)与𝑥之间的关系式为𝑦=−10𝑥+9.同时销售过程中的其它开支为50万元． (1)求出商场销售这种商品的净利润𝑧(万元)与销售价格𝑥函数解析式，销售价格𝑥定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
(2)若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格𝑥的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格𝑥应定为多少元？
1
甘肃省兰州市) 4. (2022·
掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度𝑦(𝑚)与水平距离𝑥(𝑚)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为3𝑚，当水平距离为3𝑚时，实心球行进至最高点3𝑚处． (1)求𝑦关于𝑥的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70𝑚，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
5
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
北京市) 5. (2022·
单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度𝑦(单位：𝑚)与水平距离𝑥(单位：𝑚)近似满足函数关系𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘(𝑎<0)．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离𝑥与竖直高度𝑦的几组数据如下： 水平距离𝑥/𝑚 竖直高度𝑦/𝑚 0 2 5 8 11 14 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘(𝑎<0);
(2) 第二次训练时，该运动员的竖直高度𝑦与水平距离𝑥近似满足函数关系𝑦=−0.04(𝑥−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为𝑑1，第二次训练的着陆点的水平距离为𝑑2，则𝑑1______𝑑2(填“>”“=”或“<”)．
辽宁省盘锦市) 6. (2022·
某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量𝑦(个)与销售单价𝑥(元)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求𝑦与𝑥的函数关系式(不要求写出自变量𝑥的取值范围)；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为𝑤元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
辽宁省营口市) 7. (2022·
某文具店最近有𝐴，𝐵两款纪念册比较畅销．该店购进𝐴款纪念册5本和𝐵款纪念册4本共需156元，购进𝐴款纪念册3本和𝐵款纪念册5本共需130元．在销售中发现：𝐴款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；𝐵款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，𝐵款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 售价(元/本) 每天销售量(本) …… …… 22 80 23 78 24 76 25 74 …… …… (1) 求𝐴，𝐵两款纪念册每本的进价分别为多少元；
(2)该店准备降低每本𝐴款纪念册的利润，同时提高每本𝐵款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设𝐴款纪念册每本降价𝑚元； ①直接写出𝐵款纪念册每天的销售量(用含𝑚的代数式表示)；
②当𝐴款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
山东省青岛市) 8. (2022·
李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． (1)请求出这种水果批发价𝑦(元/千克)与购进数量𝑥(箱)之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
辽宁省盘锦市) 9. (2022·
精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数𝑥满足一次函数关系，部分数据如下表： 𝑥(天) 每天的销售量(千克) 1 10 2 12 3 14 … … 𝑥 ______ 设第𝑥天的售价为𝑦元/千克，𝑦关于𝑥的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是𝑤元．(利润=销售收入−成本) (1)将表格中的最后一列补充完整； (2)求𝑦关于𝑥的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
10. (2022·贵州省铜仁市)
为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量𝑦(吨)与批发价𝑥(千元/吨)之间的函数关系式，并直接写出自变量𝑥的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案
1.解：(1)设每天的销售数量𝑦(件)与销售单价𝑥(元/件)之间的关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
把(35,90)，(40,80)代入得： 35𝑘+𝑏=90{， 40𝑘+𝑏=80𝑘=−2解得{，
𝑏=160∴𝑦=−2𝑥+160；
(2)根据题意得：(𝑥−30)⋅(−2𝑥+160)=1200， 解得𝑥1=50，𝑥2=60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴𝑥=50，
答：销售单价应定为50元； (3)设每天获利𝑤元，
𝑤=(𝑥−30)⋅(−2𝑥+160)=−2𝑥2+220𝑥−4800=−2(𝑥−55)2+1250， ∵−2<0，对称轴是直线𝑥=55， 而𝑥≤54，
∴𝑥=54时，𝑤取最大值，最大值是−2×(54−55)2+1250=1248(元)， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
2.解：(1)设第二批每个挂件的进价为𝑥元，则第一批每个挂件的进价为1.1𝑥元，
根据题意可得，1.1𝑥+50=解得𝑥=40．
经检验，𝑥=40是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴1.1𝑥=44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
(2)设每个售价定为𝑦元，每周所获利润为𝑤元，
根据题意可知，𝑤=(𝑦−40)[40+10(60−𝑦)]=−10(𝑦−52)2+1440， ∵−10>0，
∴当𝑥≥52时，𝑦随𝑥的增大而减小， ∵40+10(60−𝑦)≤90， ∴𝑦≥58，
6600
8000𝑥
，
∴当𝑦=58时，𝑤取最大，此时𝑤=−10(58−52)2+1440=1080． ∴当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元．
3.解：(1)𝑧=𝑦(𝑥−30)−50
=(−
110
𝑥+9)(𝑥−30)−50
=−10𝑥2+12𝑥−320，
1
当𝑥=−2𝑎=−2×(−1)=60时，𝑧最大，最大利润为−10×602+12×60−320=40；
101
𝑏12
(2)当𝑧=17.5时，17.5=−10𝑥2+12𝑥−320， 解得𝑥1=45，𝑥2=75，
∵净利润预期不低于17.5万元，且𝑎<0， ∴45≤𝑥≤75，
∵𝑦=−10𝑥+9.𝑦随𝑥的增大而减小， ∴𝑥=45时，销售量最大．
1
1
4.解：(1)根据题意设𝑦关于𝑥的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−3)2+3，
把(0,3)代入解析式得：3=𝑎(0−3)2+3， 解得：𝑎=−27，
∴𝑦关于𝑥的函数表达式为𝑦=−27(𝑥−3)2+3； (2)该女生在此项考试中是得满分，理由： 令𝑦=0，则−27(𝑥−3)2+3=0， 解得：𝑥1=7.5，𝑥2=−1.5(舍去)， ∵7.5>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
4
4
4
5
5
5.解：(1)根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，
∴ℎ=8，𝑘=23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20𝑚，
根据表格中的数据可知，当𝑥=0时，𝑦=20.00，代入𝑦=𝑎(𝑥−8)2+23.20得： 20.00=𝑎(0−8)2+23.20，解得：𝑎=−0.05， ∴函数关系关系式为：𝑦=−0.05(𝑥−8)2+23.20．
(2)设着陆点的纵坐标为𝑡，则第一次训练时，𝑡=−0.05(𝑥−8)2+23.20， 解得：𝑥=8+√20(23.20−𝑡)或𝑥=8−√20(23.20−𝑡)，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离𝑑1=8+√20(23.20−𝑡)， 第二次训练时，𝑡=−0.04(𝑥−9)2+23.24，
解得：𝑥=9+√25(23.24−𝑡)或𝑥=9−√25(23.24−𝑡)，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离𝑑2=9+√25(23.24−𝑡)， ∵20(23.20−𝑡)<25(23.24−𝑡)， ∴√20(23.20−𝑡)<√25(23.24−𝑡)， ∴𝑑1<𝑑2． 故答案为：<．
6.解：(1)设一次函数的关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
由题图可知，函数图象过点(25,50)和点(35,30)． 把这两点的坐标代入一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 25𝑘+𝑏=50得{， 35𝑘+𝑏=30𝑘=−2解得{，
𝑏=100
∴一次函数的关系式为𝑦=−2𝑥+100； (2)根据题意，设当天玩具的销售单价是𝑥元， 由题意得，
(𝑥−10)×(−2𝑥+100)=600， 解得：𝑥1=40，𝑥2=20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
(3)根据题意，则𝑤=(𝑥−10)×(−2𝑥+100)， 整理得：𝑤=−2(𝑥−30)2+800； ∵−2<0，
∴当𝑥=30时，𝑤有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
7.解：(1)设𝐴款纪念册每本的进价为𝑎元，𝐵款纪念册每本的进价为𝑏元，
5𝑎+4𝑏=156
根据题意得：{，
3𝑎+5𝑏=130
𝑎=20解得{，
𝑏=14
答：𝐴款纪念册每本的进价为20元，𝐵款纪念册每本的进价为14元； (2)①根据题意，𝐴款纪念册每本降价𝑚元，可多售出2𝑚本𝐴款纪念册， ∵两款纪念册每天销售总数不变，
∴𝐵款纪念册每天的销售量为(80−2𝑚)本；
②设𝐵款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是𝑦=𝑘𝑥+𝑏′， 80=22𝑘+𝑏′
根据表格可得：{，
78=23𝑘+𝑏′𝑘=−2解得{，
𝑏′=124∴𝑦=−2𝑥+124，
当𝑦=80−2𝑚时，𝑥=22+𝑚，
即𝐵款纪念册每天的销售量为(80−2𝑚)本时，每本售价是(22+𝑚)元， 设该店每天所获利润是𝑤元，
由已知可得𝑤=(32−𝑚−20)(40+2𝑚)+(22+𝑚−14)(80−2𝑚)=−4𝑚2+48𝑚+1120=−4(𝑚−6)2+1264， ∵−4<0，
∴𝑚=6时，𝑤取最大值，最大值为1264元， 此时𝐴款纪念册售价为32−𝑚=32−6=26(元)，
答：当𝐴款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
8.解：(1)根据题意得：𝑦=8.2−0.2(𝑥−1)=−0.2𝑥+8.4，
答：这种水果批发价𝑦(元/千克)与购进数量𝑥(箱)之间的函数关系式为𝑦=−0.2𝑥+8.4； (2)设李大爷每天所获利润是𝑤元，
由题意得：𝑤=[12−0.5(𝑥−1)−(−.02𝑥+8.4)]×10𝑥=−3𝑥2+41𝑥=−3(𝑥−
168112
412)6
+
，
416
∵−3<0，𝑥为正整数，且|6−|>|7−
416
|，
412
)6
∴𝑥=7时，𝑤取最大值，最大值为−3×(7−+
168112
=140(元)，
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
9.2𝑥+8
10.解：(1)根据题意得𝑦=12−2(𝑥−4)=−2𝑥+20(4≤𝑥≤5.5)，
所以每天销量𝑦(吨)与批发价𝑥(千元/吨)之间的函数关系式𝑦=−2𝑥+20， 自变量𝑥的取值范围是4≤𝑥≤5.5；
(2)设每天获得的利润为𝑊元，根据题意得𝑤=(−2𝑥+20)(𝑥−2)=−2𝑥2+24𝑥−40=−2(𝑥−6)2+32， ∵−2<0，
∴当𝑥<6，𝑊随𝑥的增大而增大． ∵4≤𝑥≤5.5，
∴当𝑥=5.5时，𝑤有最大值，最大值为−2×(5.5−6)2+32=31.5， ∴将批发价定为5.5元时，每天获得的利润𝑤元最大，最大利润是31.5元．
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