1. 已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵
坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；
(3)当PC＝CO时，求P点坐标．
第1题图
解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0， 解得x1＝0，x2＝4. ∴点B坐标为(4，0)，
设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得， x＝－x2＋4x，
解得x1＝3，x2＝0(舍去)， ∴点A的坐标为(3，3);
(2) 如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，
第11题解图①
∵点A坐标为(3，3)； ∴∠AOB＝45°，
∴OD＝CD＝x，
∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x， ∵PE∥x轴，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴当PC取最大值时，△PCE周长最大． ∵PE与线段OA相交， ∴0≤x≤1，
由PC＝－x2＋3x＝－(x－增大，
∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2， ∴PE＝2，CE＝22，
∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋22， ∴△PCE周长的最大值为4＋22， 把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3， ∴点P的坐标为(1，3)；
(3)设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，
3293)＋可知，抛物线的对称轴为直线x＝，且在对称轴左侧PC随x的增大而242
第1题解图②
①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝2x， ∵P1C1＝OC1， ∴－x2＋3x＝2x，
解得x1＝3－2，x2＝0(舍去)． 把x＝3－2代入y＝－x2＋4x得， y＝－(3－2)2＋4(3－2)＝1＋22，
∴P1(3－2，1＋22)，
②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝2x， ∵P2C2＝OC2， ∴x2－3x＝2x，
解得x1＝3＋2，x2＝0(舍去)， 把x＝3＋2代入y＝－x2＋4x，
得y＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22， ∴P2(3＋2，1－22)．
综上所述，P点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)． 2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于 A(－1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标； (3)点Q是直线BC上方抛物线上的动点，求点Q到直线BC的距离最大时点Q的坐标.
第2题图
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(－3，0)，
b401bc∴，解得，
c3093bc∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x－3；
(2)由y＝－x2－4x－3可得D(－2，1)，C(0，－3)，
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，可得△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝45°，CB＝32，
如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点F， ∴AF＝
1AB＝1， 2
第2题解图①
设直线BC与对称轴的交点为E，连接AE，AC， ∵EF＝1＝AF，则有∠BAE＝∠OBC＝45°， ∴∠AEB＝90°，∴BE＝AE＝2，CE＝22.
在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF， ∴△AEC∽△AFP，
∴
AECEAFPF，即222，解得PF＝2. 1PF∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为(－2，2)或(－2，－2)；
(3)设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，直线BC经过B(－3，0)，C(0，－3)，
03kd∴3d k1，解得，
d3∴直线BC的解析式为y＝－x－3.
如解图②，设点Q(m，n)，过点Q作QH⊥BC于点H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为(m，－m－3)，
第2题解图②
∴QS＝n－(－m－3)＝n＋m＋3.
∵点Q(m，n)在抛物线y＝－x2－4x－3上， ∴n＝－m2－4m－3，
∴QS＝－m2－4m－3＋m＋3＝－m2－3m＝－(m＋
329)＋， 24当m＝39时，QS有最大值. 24∵BO＝OC，∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝45°， ∵QS∥y轴，
∴∠QSH＝∠OCB＝45°， ∴△QHS是等腰直角三角形， ∴当斜边QS最大时，QH最大． ∵当m＝－
3时，QS最大， 293＋6－3＝， 44此时n＝－m2－4m－3＝－
即Q(－
33，)， 2433，)时，点Q到直线BC的距离最大. 243x＋3与y轴交于点C，4∴当点Q的坐标为(－
3. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－
与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若PE＝5EF，求m的值；
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的．．．．点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点．
2b40(1)bc∴，解得， 2c5055bc∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5； (2)∵点P的横坐标为m， ∴P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－
3m＋3)，F(m，0)． 4又∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧， ∴0 ①当点E在点F上方时，EF＝－∵PE＝5EF， ∴－m2＋ 319m＋3)＝－m2＋m＋2. 443m＋3. 4193m＋2＝5(－m＋3)， 4413(舍去)； 2即2m2－17m＋26＝0，解得m1＝2，m2＝ ②当点E在点F下方时，EF＝∵PE＝5EF， 3m－3. 4∴－m2＋ 193m＋2＝5(m－3)， 44即m2－m－17＝0， 解得m3＝169169，m4＝(舍去)； 22169； 2综上，m为2或 (3) 存在．点P的坐标为P1(－ 111，)，P2(4，5)，P3(3－11，211－3)． 24【解法提示】假设存在点P满足题意，作出示意图如解图， 第3题解图 ∵点E和点E′关于直线PC对称， ∴∠E′CP＝∠ECP. 又∵PE∥y轴， ∴∠EPC＝∠E′CP＝∠PCE， ∴PE＝EC. 又∵CE＝CE′， ∴四边形PECE′为菱形． 过点E作EM⊥y轴于点M， ∴△CME ∽△COD， ∴ ODCD， MECE3x+3可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5， 4由直线CD的解析式为y=-∴ 45, mCE5m|. 4∴CE＝| ∵PE＝CE， ∴－m2＋ 195195m＋2＝m或－m2＋m＋2＝－m(－1 2 ∴点P的坐标为P1(－ 111，)，P2(4，5)，P3(3－11，211－3)． 241 4. 如图，过抛物线y＝x2－2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A 4 的横坐标为－2. (1)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (2)在AB上任取一点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D， ①连接BD，求BD的最小值； ②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式． 第4题图 11 解：(1)由抛物线y＝x2－2x得y＝(x－4)2－4， 44∴抛物线的对称轴为x＝4. 1 ∵点A在抛物线上且横坐标为－2，∴点A的纵坐标为y＝×(－2)2－2×(－2)＝5，即点A的坐标为(－2，5)， 4∵AB∥x轴，∴点B与点A关于抛物线对称轴x＝4对称， ∴点B坐标为(10，5)； (2) ①如解图①， 第4题解图○1 ∵点C是AB与y轴的交点， ∴点C的坐标为(0，5)， ∵点C与点D关于OP对称， ∴OD＝OC＝5， 连接BO，当点D不在OB上时，根据三角形三边关系可知BD>OB－OD， 当点D落在OB上时，BD＝OB－OD，此时BD最小， ∵BO＝ 102＋52＝55，OD＝OC＝5， ∴BD的最小值为55－5； ②如解图②，设对称轴与AB交于点M，与x轴交于点N， 第4题解图② 当点P在对称轴左侧时，连接OD，在Rt△ODN中，ON＝4，OD＝5，由勾股定理得DN＝所以点D的坐标为(4，3)，DM＝2， 设CP＝x，在Rt△PMD中，由勾股定理得PM2＋MD2＝PD2，由点C与点D关于OP对称得PC＝PD，即55 (4－x)2＋22＝x2，解得x＝，所以点P的坐标为(，5)， 22设直线PD的解析式为y＝mx＋n，将点P，D的坐标代入得 OD2－ON2＝3， 5 m＝－3 2 m＋n＝5，解得， 25 4m＋n＝3 n＝3425 ∴PD的解析式为y＝－x＋； 33 当点P在对称轴左侧时，点D落在x轴上方，符合题意；当点P在对称轴的右侧时，点D落在x轴的下方，不符合题意． 5. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P 从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； (3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4 图 ○1 图○2 第5题图 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)， 9＋3b＋c＝0 b＝－4 ∴，解得， 1＋b＋c＝0 c＝3 ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3； (2)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将A(3，0)，C(0，3)代入直线AC解析式得： 3k＋b＝0 k＝－1 ，解得， b＝3 b＝3 ∴直线AC的解析式为y＝－x＋3， 设点P(x，x2－4x＋3)， ∵PD∥y轴， ∴点D(x，－x＋3)， 39 ∴PD＝(－x＋3)－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋， 24∵a＝－1<0， 39 ∴当x＝时，线段PD的长度有最大值，最大值为； 24(3)存在． 由抛物线的对称性得，对称轴垂直平分线段AB， ∴MA＝MB， 当M、B、C不在同一条直线上时，由三角形的三边关系得， |MA－MC|＝|MB－MC| k1＋b1＝0 k1＝－3 ∴，解得， b1＝3 b1＝3 ∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3， ∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2， ∴当x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3， ∴点M(2，－3)， 即抛物线对称轴上存在点M(2，－3)，使|MA－MC|最大． 6. 如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C.直线y＝x＋2经过点A，交抛物线于点D，AD交y轴于点E，连接CD，且CD∥x轴． 第6题图 (1)求抛物线的解析式； 1 (2)如图②，过点A的直线交抛物线第四象限于点F，若tan∠BAF＝，求点F的坐标； 2 (3)在(2)的条件下，P为直线AF上方抛物线上一点，过点P作PH⊥AF，垂足为H，若HE＝PE，求点P的坐标． 解：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋5与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝5，即C(0，5)， ∵CD∥x轴， ∴D点的纵坐标为5， ∴当y＝5时，x＋2＝5，解得x＝3， ∴D(3，5)， 当y＝0时，x＝－2， ∴A(－2，0)， 将A(－2，0)，D(3，5)代入y＝ax2＋bx＋5中， a＝－24a－2b＋5＝0 得，解得， 39a＋3b＋5＝5 b＝2 13 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋5； 2213 (2)设F(t，－t2＋t＋5)， 22 如解图①，过点F作FG⊥x轴于点G，则G(t，0)， 1 第6题解图① FG1 由tan∠BAF＝＝，得AG＝2FG， AG213 即t－(－2)＝2×[0－(－t2＋t＋5)]， 22化简，得t2－4t－12＝0， 解得t1＝－2，t2＝6， ∵点F在第四象限， ∴t>0， ∴t＝6，即F点坐标为(6，－4)； (3)∵A(－2，0)，F(6，－4)， 设直线AF的解析式为y＝kx＋b， 10＝－2k＋bk＝－2 ∴，解得， －4＝6k＋bb＝－11 ∴直线AF的解析式为y＝－x－1. 2 ∵直线AD的解析式y＝x＋2交y轴于E点， ∴当x＝0时，y＝2，即E点坐标为(0，2)； 如解图②，设直线PE交AF于点Q， 第6题解图② ∵HE＝PE， ∴∠EHP＝∠EPH， ∵PH⊥AF于点H， ∴∠PHA＝90°， ∴∠EPH＋∠PQH＝90°， ∠EHP＋∠EHQ＝90°， ∴∠PQH＝∠EHQ， ∴EQ＝EH， ∴EQ＝EP，即E为PQ的中点， 13 设P(m，－m2＋m＋5)， 22∵E(0，2)， 13 ∴Q(－m，m2－m－1)， 22∵点Q在直线AF上， 131 ∴m2－m－1＝－(－m)－1， 222整理，得m2＝4m， 解得m1＝0，m2＝4， 当m1＝0时，P1(0，5)， 当m2＝4时，P2(4，3)， 综上所述，点P的坐标为(0，5)或(4，3)． 7. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛 物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3. (1)求抛物线的解析式； (2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长； (3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由． 解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3， ∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)． 将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得： c＝3b＝2 ，解得. －4＋2b＋c＝3c＝3 ∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3； (2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3， 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∵AO＝1，CO＝3， ∴在Rt△AOC中， AC＝OA2＋OC2＝10， ∵CO＝BO＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴FM＝BF＝1， ∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF， ∴△ARO∽△AMF， ∴ ROAORO1 ＝，即＝， MFAF13 1 解得RO＝， 3 18 ∴CR＝OC－OR＝3－＝， 33 11012＋（）2＝， 33 AR＝OA2＋OR2＝ 8108＋410 ∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝10＋＋＝； 333 （3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′， 第7题解图① 则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小， ∵A′为OF中点， ∴A′坐标为(1，0)， 设直线A′G的解析式为y＝kx＋a， 将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入得 k＝－3－5＝4k＋a ，解得：， 50＝k＋a a＝3 55 ∴直线A′G的解析式为：y＝－x＋. 331055 令x＝2，得y＝－＋＝－， 333 5 5 ∴点H的坐标为(2，－)， 3 5 ∴符合题意的点P的坐标为(0，－)． 3 8. 如图，△MCB的顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点M，C，B， 且点M为抛物线的顶点，点A(－1, 0)是抛物线与x轴负半轴的交点，若线段AB＝6，∠ABC＝45°. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为线段BM上任意一点(点D不与点B重合)，过点D作垂直于x轴的直线x＝t，交抛物线于点E，交线段BC于点F. ①求当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？ ED1 ②是否存在这样的点D，使得＝？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由． FD2 第8题图 解：(1)∵A(－1，0)，AB＝6， ∴OB＝5， ∴点B的坐标为(5，0)， ∵∠ABC＝45°， ∴CO＝BO＝5， ∴点C的坐标是(0，5)， 把A、B、C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中， a－b＋c＝0a＝－1 得25a＋5b＋c＝0，解得b＝4， c＝5c＝5 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5； (2)①由抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9得顶点M(2，9)， 设BM的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，将点B、点M的坐标代入可得 5k＋b1＝0k＝－3 ，解得， 2k＋b1＝9b1＝15 ∴直线BM的解析式为y＝－3x＋15， ∵EF⊥AB， ∴xE＝xD＝t， ∴E(t，－t2＋4t＋5)，D(t，－3t＋15)， 79∴ED＝－t2＋4t＋5－(－3t＋15)＝－t2＋7t－10＝－(t－)2＋， 24∵－1<0， 79 ∴当t＝时，ED最大＝； 24②存在． 理由如下： 设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 5m＋n＝0 将点B、点C的坐标代入可得， n＝5m＝－1 解得， n＝5 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋5， ∴F(t，－t＋5)， ∴ED＝－t2＋7t－10，FD＝－2t＋10， 当 ED1 ＝时，2(－t2＋7t－10)＝－2t＋10， FD2 解得t1＝3，t2＝5(与B点重合，舍去)， ∴D点的坐标为(3，6)． 1 9. 如图，抛物线y＝(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D. 2 (1)试求点A，B，D的坐标； (2)连接CD，过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E，求OE的长； (3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标． 第9题图 1 解：(1)由y＝0得(x－3)2－1＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 2又∵点A在点B的左侧， ∴A点坐标为(3－2，0)，B点坐标为(3＋2，0)， 1 由抛物线解析式y＝(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3，－1)； 2 （2）如解图①，过点D作DG⊥y轴于点G，设CD与x轴交于点F，对称轴与x轴的交点为M， 第9题解图① 由题意可得，∠DCG＋∠COF＝90°，∠EOM＋∠COF＝90°， ∴∠DCG＝∠EOM， 又∵∠CGD＝∠OME＝90°， ∴△CDG∽△OEM, ∴ CGDG＝， OMEM 1 抛物线y＝(x－3)2－1与y轴交于点C， 2 ∴C（0， 7）， 2∴CG= 9 2， 33即＝， 2EM∴EM＝2, ∴E点坐标为(3，2)， ∴OE＝ 32＋22＝13； (3)如解图②，由⊙E的半径为1，由勾股定理得PQ2＝EP2－1， 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小， 第9题解图② 设P点坐标为(x，y)，则PQ＝x－3，EQ＝2－y, ∴由勾股定理得EP2＝(x－3)2＋(2－y)2, 1 ∵y＝(x－3)2－1， 2∴(x－3)2＝2y＋2, ∴EP2＝2y＋2＋y2－4y＋4＝(y－1)2＋5， 当y＝1时，EP2为最小值， 1 将y＝1代入y＝(x－3)2－1，得x1＝5，x2＝1， 2 ∴P点坐标为(1，1)或(5，1)． ∵点P在对称轴右侧的抛物线上， ∴x2＝1舍去， ∴P(5，1)． 10. 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标； (3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标． 第10题图 解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(4，0)，C(0，4)， 116a8ac0a∴，解得2， c4c41 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4； 2119 (2)y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋， 2229 ∴N(1，)， 2 如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K 点即为使CK＋KN最小的K点位置． 第10题解图① 9 设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C′(0，－4)，N(1，)代入，得 2 17b4k2， 9，解得kb2b4∴直线C′N的解析式为y＝ 17 x－4， 2 178 令y＝0，即x－4＝0，解得x＝， 2178 ∴点K的坐标为(，0)； 17 (3)如解图②，过F作FM⊥x轴于M，∵D是OA的中点， 第10题解图② ∴D(2，0)， ∵OF＝DF， ∴OM＝MD， ∴M(1，0)， ∴点F的横坐标是1. 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 将点A(4，0)，C(0，4)代入， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋4， ∴点F的坐标为(1，3)， 1 设P(t，－t2＋t＋4)，则 2 1 －t2＋t＋4＝3，解得t＝1＋3或t＝1－3(舍去)， 2∴点P的坐标为(1＋3，3)． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容