1.(2022·辽宁省铁岭市)
某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量𝑦(千克)与每千克售价𝑥(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价𝑥(元) 日销售量𝑦(千克) …… …… 20 66 22 60 24 54 …… …… (1) 求𝑦与𝑥之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
2.(2022·山东省临沂市)
第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区𝐶𝐷所在水平线为𝑥轴，过起跳点𝐴与𝑥轴垂直的直线为𝑦轴，𝑂为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡𝐴𝐶的坡角为30°，𝑂𝐴=65𝑚，某运动员在𝐴处起跳腾空后，飞行至着陆坡的𝐵处着陆，𝐴𝐵=100𝑚.在空中飞行过程中，运动员到𝑥轴的距离𝑦(𝑚)与水平方向移动的距离𝑥(𝑚)具备二次函数关系，其解析式为𝑦=−60𝑥2+𝑏𝑥+𝑐．
1
(1)求𝑏，𝑐的值；
(2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离𝑥(𝑚)与飞行时间𝑡(𝑠)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，𝑡=0，𝑥=0；空中飞行5𝑠后着陆．
①求𝑥关于𝑡的函数解析式；
②当𝑡为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离ℎ最大，最大值是多少？
3. (2022·辽宁省)
某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量𝑦(件)与销售单价𝑥(元)之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
4. (2022·内蒙古自治区包头市)
由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第𝑥天(𝑥取整数)时，日销售量𝑦(单位：千克)与𝑥之间的函数关系式为𝑦=
12𝑥,0≤𝑥≤10{，草莓价格𝑚(单位：元/千克)与𝑥之间的函数关系如图−20𝑥+320,10<𝑥≤16所示．
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；
(2)求当4≤𝑥≤12时，草莓价格𝑚与𝑥之间的函数关系式； (3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
5. (2022·广西壮族自治区南宁市)
打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量𝑦(盒)与销售单价𝑥(元)之间的函数图象如图所示．
(1)求𝑦与𝑥的函数解析式，并写出自变量𝑥的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
6. (2022·广西壮族自治区贺州市)
2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为𝑥元时，求该商品销售量𝑦与𝑥之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润𝑊最大，最大利润是多少元？
7. (2022·江苏省无锡市)
某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24𝑚，设较小矩形的宽为𝑥𝑚(如图)． (1)若矩形养殖场的总面积为36𝑚2，求此时𝑥的值；
(2)当𝑥为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
8. (2022·河南省)
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头𝑃距地面0.7𝑚，水柱在距喷水头𝑃水平距离5𝑚处达到最高，最高点距地面3.2𝑚；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘，其中𝑥(𝑚)是水柱距喷水头的水平距离，𝑦(𝑚)是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头𝑃水平距离3𝑚.身高1.6𝑚的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
参考答案
1.解：(1)设𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 20𝑥+𝑏=66
由表中数据得：{，
22𝑥+𝑏=60
𝑘=−3
解得：{，
𝑏=126
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=−3𝑥+126；
(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为𝑤元，
由题意得：𝑤=(𝑥−18)𝑦=(𝑥−18)(−3𝑥+126)=−3𝑥2+180𝑥−2268=−3(𝑥−30)2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元， ∴18≤𝑥≤28， ∵−3<0，
∴当𝑥<30时，𝑤随𝑥的增大而增大， ∴当𝑥=28时，𝑤最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元． 2.解：(1)作𝐵𝐸⊥𝑦轴于点𝐸， ∵𝑂𝐴=65𝑚，着陆坡𝐴𝐶的坡角为30°，𝐴𝐵=100𝑚，
∴点𝐴的坐标为(0,65)，𝐴𝐸=50𝑚，𝐵𝐸=50√3𝑚， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐴−𝐴𝐸=65−50=15(𝑚)， ∴点𝐵的坐标为(50√3,15)，
∵点𝐴(0,65)，点𝐵(50√3,15)在二次函数𝑦=−60𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象上，
1
𝑐=65
∴{−1×(503)2+503𝑏+𝑐=15，
√√60解得{𝑏=2，
𝑐=65
即𝑏的值是√，𝑐的值是65；
23√3(2)①设𝑥关于𝑡的函数解析式是𝑥=𝑘𝑡+𝑚， 因为点(0,0)，(5,50√3)在该函数图象上， ∴{
𝑚=0
，
5𝑘+𝑚=50√3解得{𝑘=10√3，
𝑚=0
即𝑥关于𝑡的函数解析式是𝑥=10√3𝑡； ②设直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑝𝑥+𝑞， ∵点𝐴(0,65)，点𝐵(50√3,15)在该直线上， 𝑞=65∴{， 50√3𝑝+𝑞=15解得{
𝑝=−𝑞=65
√33，
即直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−√𝑥+65，
3
则ℎ=(−𝑥2+√𝑥+65)−(−√𝑥+65)=−𝑥2+
602360∴当𝑥=−
5√3616031331
5√3𝑥， 6
2×(−)=25√3时，ℎ取得最值，此时ℎ=
1254
，
∵25√3<50√3，
∴𝑥=25√3时，ℎ取得最值，符合题意，
将𝑥=25√3代入𝑥=10√3𝑡，得：25√3=10√3𝑡， 解得𝑡=2.5，
即当𝑡为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离ℎ最大，最大值是
1254
𝑚.
3.解：(1)设𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 14𝑘+𝑏=220
由所给函数图象可知：{，
16𝑘+𝑏=180
𝑘=−20
解得：{，
𝑏=500故𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−20𝑥+500； (2)∵𝑦=−20𝑥+500，
∴𝑤=(𝑥−13)𝑦=(𝑥−13)(−20𝑥+500) =−20𝑥2+760𝑥−6500 =−20(𝑥−19)2+720， ∵−20<0，
∴当𝑥<19时，𝑤随𝑥的增大而增大， ∵13≤𝑥≤18，
∴当𝑥=18时，𝑤有最大值，最大值为700， ∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元． 4.解：(1)∵当10≤𝑥≤16时，𝑦=−20𝑥+320， ∴当𝑥=14时，𝑦=−20×14+320=40(千克)， ∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
(2)当4≤𝑥≤12时，设草莓价格𝑚与𝑥之间的函数关系式为𝑚=𝑘𝑥+𝑏， ∵点(4,24)，(12,16)在𝑚=𝑘𝑥+𝑏的图象上， 4𝑘+𝑏=24∴{， 12𝑘+𝑏=16
𝑘=−1
解得：{，
𝑏=28
∴函数解析式为𝑚=−𝑥+28． (3)当0≤𝑥≤10时，𝑦=12𝑥， ∴当𝑥=8时，𝑦=12×8=96， 当𝑥=10时，𝑦=12×10=120； 当4≤𝑥≤12时，𝑚=−𝑥+28， ∴当𝑥=8时，𝑚=−8+28=20， 当𝑥=10时，𝑚=−10+28=18
∴第8天的销售金额为：96×20=1920(元)，
第10天的销售金额为：120×18=2160(元)， ∵2160>1920， ∴第10天的销售金额多．
5.解：(1)设函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，由题意得： 60𝑘+𝑏=200{， 80𝑘+𝑏=100
𝑘=−5
解得：{，
𝑏=500∴𝑦=−5𝑥+500，
当𝑦=0时，−5𝑥+500=0， ∴𝑥=100，
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=−5𝑥+500(50<𝑥<100)； (2)设销售利润为𝑤元，
𝑤=(𝑥−50)(−5𝑥+500)=−5𝑥2+750𝑥−25000=−5(𝑥−75)2+3125， ∵抛物线开口向下， ∴50<𝑥<100，
∴当𝑥=75时，𝑤有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元． 6.解：(1)根据题意，得𝑦=200−2×4(𝑥−48) =−2𝑥+296，
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式：𝑦=−2𝑥+296； (2)根据题意，得𝑊=(𝑥−34)(−2𝑥+296) =−2(𝑥−91)2+6498， ∵𝑎=−2<0，
∴抛物线开口向下，𝑊有最大值， 当𝑥=91时，𝑊最大值=6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元． 7.解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2𝑥𝑚，长为∴(𝑥+2𝑥)×(8−𝑥)=36， 解得𝑥=2或𝑥=6，
24−𝑥−2𝑥
3
1
=(8−𝑥) 𝑚，
经检验，𝑥=6时，3𝑥=18>10不符合题意，舍去， ∴𝑥=6，
答：此时𝑥的值为2𝑚；
(2)设矩形养殖场的总面积是𝑦𝑚2， ∵墙的长度为10， ∴0<𝑥≤
103
，
根据题意得：𝑦=(𝑥+2𝑥)×(8−𝑥)=−3𝑥2+24𝑥=−3(𝑥−4)2+48， ∵−3<0， ∴当𝑥=
10
2
−3×(−4)+48=时，𝑦取最大值，最大值为33
10
10
1403
(𝑚2)，
答：当𝑥=
时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为3
1403
𝑚2．
8.解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，
设抛物线的表达式为𝑦=𝑎(𝑥−5)2+3.2，将(0,0.7)代入得： 0.7=25𝑎+3.2， 解得𝑎=−10，
∴𝑦=−10(𝑥−5)2+3.2=−10𝑥2+𝑥+10， 答：抛物线的表达式为𝑦=−10𝑥2+𝑥+10； (2)当𝑦=1.6时，−10𝑥2+𝑥+10=1.6， 解得𝑥=1或𝑥=9，
∴她与爸爸的水平距离为3−1=2(𝑚)或9−3=6(𝑚)，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2𝑚或6𝑚．
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