北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：三角函数 (答案详解)

一．选择题（共5小题）

431．（2020秋•通州区期末）已知角的终边与单位圆交于点P(,)，则cos2(　　)55A．2425B．725C．

725D．

16252．（2020秋•海淀区期末）已知函数f(x)12sin2(xA．f(x)是偶函数C．曲线yf(x)关于x4)，则(　　)B．函数f(x)的最小正周期为24对称D．f（1）f（2）

3．（2020秋•海淀区校级期末）在ABC中，a23，7bcosA3asinB，则ABC面积的最大值是(　　)A．37B．67C．97D．1874．（2020秋•顺义区期末）在ABC中，b3,c3a,BA．326，则cosC(　　)D．12B．

12C．325．（2020秋•昌平区期末）已知aR，则“a1”是“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”的(　　)A．充分而不必要条件C．充要条件二．填空题（共7小题）

6．（2020秋•顺义区期末）tan()　　．4137．（2020秋•东城区期末）已知sin，(,)，则cos　　，cos2　　．32B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

8．（2020秋•通州区期末）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n个月的月平均最高气温G(n)可近似地用函数G(n)Acos(n)k来刻画，其中正整数n表示月份且n[1，12]，例如n1表示1月份，A和k是正整数，0，(0,)．

统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度；

②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高；③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同．根据已知信息，得到G(n)的表达式是　　．

9．（2020秋•房山区期末）在ABC中，若AB4，BC3，cosB2，则cosC　　．310．（2020秋•石景山区期末）若函数f(x)sin(x)cos(x为　　．

11．（2020秋•昌平区期末）已知函数f(x)sin(2x)(|3)的一个周期是，则常数的一个取值可以

2|)，那么函数f(x)的最小正周期是　　：若函数f(x)55在[,]上具有单调性，且f()f()，则　　．

262612．（2020秋•丰台区期末）函数f(x)sin(2x3)的最小正周期T　　，将函数f(x)的图象向左平移(0)个

单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数yf(x)g(x)的最大值为2，则的值可以为　　．三．解答题（共5小题）

13．（2020秋•西城区期末）已知ABC的面积为42，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b和c的值；（Ⅱ）sin(AB)的值．

17条件①：a6，cosC；条件②：AC，cosB．

3914．（2020秋•东城区期末）已知函数g(x)sin(x)，h(x)cosx，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个

6作为已知，求：

（Ⅰ）f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）f(x)在区间[0，]上的最大值．

2条件①：f(x)g(x)h(x)；条件②：f(x)g(x)h(x)．

15．（2020秋•昌平区期末）在ABC中，b7，c5，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）B的值；（Ⅱ）ABC的面积．

条件①：sin2BsinB；条件②：cos2BcosB．

16．（2020秋•通州区期末）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为SABC，已知c7，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求a与sinC的值．条件①：b3；条件②：SABC337；条件③：cosB．21417．（2020秋•顺义区期末）函数f(x)Asin(x)(A0，0，0（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

2)的部分图象如图所示．

（Ⅱ）求函数g(x)f(x)2cos2x在区间[0,]上的最小值．

622021北京高三数学上学期期末汇编：三角函数

参考答案

一．选择题（共5小题）

431．【分析】根据已知角的终边与单位圆交于点P(,)，结合三角函数的定义即可得到cos的值，利用二倍角

55的余弦公式即可求解．

43【解答】解：角的终边与单位圆交于点P(,)，

55x43，y，r1，55447，cos22cos212()21．5525cos故选：C．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识，属于基础题．

2．【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：f(x)12sin2(x4)cos2(x4)cos(2x2)sin2x，

则函数f(x)为奇函数，函数的周期T当x2，2时，f(x)sin[2()]sin()1为最大值，则x是对称轴，4424，f（1）sin2，f（2）sin4，则f（1）f（2）故正确的是C，故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．是基础题．

3．【分析】由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sinA，cosA，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，进而可求．

【解答】解：由正弦定理及7bcosA3asinB，得7sinBcosA3sinAsinB，因为sinB0，

所以7cosA3sinA，A为锐角，结合sin2Acos2A1，

73，cosA，443b2c212由余弦定理得，cosA，

42bc所以sinA整理得，242b22c23bc…4bc3bcbc，当且仅当bc时取等号，即bc„24，11737，则ABC面积SbcsinA„24224故选：A．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．

4．【分析】由已知利用余弦定理可求a，c的值，进而根据余弦定理可求cosC的值．【解答】解：因为b3,c3a,B6，

3，整理可得a3，c33，2所以由余弦定理b2a2c22accosB，可得：9a23a22a3aa2b2c299271．可得cosC2ab2332故选：D．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．【分析】直接利用三角函数关系式的变换，三角函数的性质，充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：当a1时，函数f(x)cos2xsin2xcos2x，所以函数的最小正周期为T当函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为时，则a1．

则“a1”是“函数f(x)cos2axsin2ax的最小正周期为”的充分不必要条件．故选：A．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．二．填空题（共7小题）

6．【分析】利用三角函数的诱导公式进行化简即可．【解答】解：tan()tan1，

44故答案为：1【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合诱导公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．7．【分析】由已知利用同角三角函数基本公式可求得cos的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2的值．13【解答】解：因为sin，(,)，

322，2122可得cos1sin21()2，

33可得cos22cos212(故答案为：227，．392227)1．39【点评】本题主要考查了同角三角函数基本公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

8．【分析】由题意求出A、k和T、、的值，即可写出函数G(n)的解析式．【解答】解：由题意知，函数G(n)Acos(n)k中，Ak3由，解得k18，A15；

Ak330由

T2716，解得T12，所以；2T67由G（7）15cos(7)1833，cos()1，

66解得72k，kZ；65．6又(0,)，所以5所以G(n)15cos(n)18，n是正整数，且n[1，12]．

665故答案为：G(n)15cos(n)18，n是正整数，且n[1，12]．

66【点评】本题考查了余弦函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9．【分析】先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论．【解答】解：在ABC中，AB4，BC3，cosB2，329；3由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcosB4232243故AC3；

AC2BC2AB23232421cosC．

2ACBC23391故答案为：．

9【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，根据周期的公式即可求解．13【解答】解：因为f(x)sinxcosxsinx22(1313212)sinxcosx(1)()sin(x)222223sin(x)，(tan23)，所以周期T2，解得2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了三角函数的周期，涉及到辅助角公式的应用，属于基础题．

11．【分析】利用三角函数的周期计算公式即可求出函数f(x)的最小正周期；

5先利用f()f()，得到f(x)的一个对称中心，从而求出符合条件||的的值．

262【解答】解：因为函数f(x)sin(2x)(||所以T2，22)，

故函数f(x)的最小正周期是；

5因为f()f()，

2652则函数f(x)的一个对称中心为(26,0)，即关于点(,0)对称，

23令224k，解得k,kZ，33又因为||故2，

3．

【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数的周期性、对称性、单调性，要掌握三角函数的周期计算公式．

12．【分析】由题意利用函数yAsin(x)的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．【解答】解：函数f(x)sin(2x3)的最小正周期T2，2将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位长度，得到函数g(x)sin(2x23)的图象．

若函数yf(x)g(x)sin(2x则当sin(2x3)sin(2x23)的最大值为2，

3)1时，sin(2x23)1，

则2(2k1)，kZ．令k1，可得故答案为：；

2，

2．

【点评】本题主要考查函数yAsin(x)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．三．解答题（共5小题）13．【分析】若选择条件①：

（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形的面积公式可求a，b的值，进而根据余弦定理可求c的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinA，sinB的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin(AB)的值．若选择条件②：

（Ⅰ）由题意可得ac，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形的面积公式可求a，c的值，根据余弦定理可求b的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦公式即可求解sin(AB)的值．

【解答】解：若选择条件①：1（Ⅰ）在ABC中，因为cosC，

322所以C(,)，sinC1cos2C，

321因为SabsinC42，a6，所以b2，

2由余弦定理，c2a2b22abcosC48，所以c43．（Ⅱ）由正弦定理

6243abc，可得，sinAsinB22sinAsinBsinC3所以sinA66，sinB，39353因为A,B(0,)，所以cosA，cosB，

392所以sin(AB)sinAcosBcosAsinB若选择条件②：

6533642，39399（Ⅰ）在ABC中，因为AC，所以ac．因为cosB因为S427，所以B(,)，sinB1cos2B，

9921142acsinBc242，229所以ac32，由余弦定理，b2a2c22accosB64，所以b8，（Ⅱ）由正弦定理得所以sinAab，sinAsinBa32421sinB，b89322因为A(0,)，所以cosA1sin2A，

3217224223所以sin(AB)sinAcosBcosAsinB()．

393927【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角差的正弦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

1114．【分析】选择条件①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)sin(2x)，利用正弦

264函数的周期公式即可求解；（Ⅱ）由已知可求2x值．

6[6，

5]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大6选择条件②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)sin(x即可求解；（Ⅱ）由已知可求得x6)，利用正弦函数的周期公式

6[6，

2]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．3【解答】解：选择条件①：f(x)g(x)h(x)，

31（Ⅰ）f(x)sin(x)cosx(sinxcosx)cosx62231311cos2xsinxcosxcos2xsin2x2222231111sin2xcos2xsin(2x)，4442642所以f(x)的最小正周期T．

25（Ⅱ）因为x[0，]，可得2x[，]，

266611111所以sin(2x)[，1]，可得sin(2x)[，]，

6226424当2x62，即x

3

时，f(x)有最大值

1．4选择条件②：f(x)g(x)h(x)，

31（Ⅰ）f(x)sin(x)cosx(sinxcosx)cosx62231sinxcosxsin(x)，2262所以f(x)的最小正周期T2．

12（Ⅱ）因为x[0，]，可得x[，]，

2663所以sin(x当x1)[，1]，6262，即x

3

时，f(x)有最大值1．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．

15．【分析】选择条件①：

（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式化简可得sinB(2cosB1)0，由于sinB0，可求cosB的值，进而可求B的值；（Ⅱ）由余弦定理可得a25a240，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．选择条件②：

（Ⅰ）利用二倍角公式可求2cos2BcosB10，解方程可求cosB1，进而可求B的值；2（Ⅱ）由余弦定理可得a25a240，解方程可求a的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：选择条件①：（Ⅰ）因为sin2BsinB，所以sinB(2cosB1)0，因为0B，所以sinB0，所以cosB所以B1，23．

（Ⅱ）由余弦定理b2a2c22accosB，得72a2522a5cos所以a25a240，解得a8或a3，所以a8，

所以ABC的面积S选择条件②：

（Ⅰ）因为cos2BcosB，所以2cos2BcosB10，解得cosB1或cosB因为0B，所以cosB所以B1，21，21acsinB103．23，

2．32，3（Ⅱ）由余弦定理b2a2c22accosB，得72a2522a5cos所以a25a240，解得a3或a8（舍负），所以a3，

所以ABC的面积S115acsinB3．24【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．

16．【分析】若选择条件①，条件②：利用三角形的面积公式可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用余弦定理可求a，利用正弦定理可求sinC的值；

若选择条件①，条件③，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值，由余弦定理可求a的值；

若选择条件②，条件③，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形的面积公式可求a的值，利用余弦定理可求b的值，根据正弦定理可求sinC的值．【解答】解：若选择条件①，条件②：因为b3，c7，SABC33，2133133所以bcsinA，即37sinA．2222所以sinA21，7因为ABC是锐角三角形，所以cosA27，727．7由余弦定理可得a297237所以a2．（负值舍去），由正弦定理可得sinC所以sinC3，23．2csinA．a所以a2，sinC若选择条件①，条件③，因为cosB所以sinB7，14321，14csinB．b由正弦定理可得sinC所以sinC3，2由余弦定理可得9a272a7所以a2．（负值舍去），

7．14所以a2，sinC3．2若选择条件②，条件③，因为cosB所以sinB7，14321，1433，2因为b3，SABC133132133所以acsinB，即a7．222142所以a2，

由余弦定理可得b247227所以b3．（负值舍去），由正弦定理可得sinC所以sinC3，23．2csinB．b7．14所以a2，sinC【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17．【分析】（Ⅰ）由函数图象可求A，可求周期，由周期求出，由特殊点的坐标求出，可得f(x)的解析式．

2（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用可求g(x)23sin(2x)，由题意可求„2x„，利用正弦函数

3333的性质即可求解其最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由题设图象知，周期T2(因为T22)，36，所以22，T而由题意知A2，所以f(x)2sin(2x)，因为函数f(x)的图象过点(,2)，

6所以f()2sin()2．

63所以

322k(kZ)．所以62k(kZ)又因为02，所以6．

故函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x（Ⅱ）g(x)2sin[2(x)]2cos2x666)．

2sin(2x6)2cos2x2(31sin2xcos2xcos2x)，221323(sin2xcos2x)2223sin(2x3)，

因为0„x„2，所以„2x„．2333所以当2x33时，即x0时，g(x)取到最小值，且最小值为3．

【点评】本题主要考查由函数yAsin(x)的部分图象求解析式，考查了函数yAsin(x)的图象变换规律，考查了正弦函数的性质，属于中档题．