圆中分类讨论问题归类举例-

圆中分类讨论问题归类举例

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。

一、点和圆的位置

凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。 例1.过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。

解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种： （1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则

AER10，AFR10

由相交弦定理得：R10R1064

所以R241（负值已舍去）

（2）点A在⊙O外，如图2， 此时AE10R，AF10R 由割线定理得：10R10R64 所以R6（负值已舍去） 故⊙O的半径R为241或6。

二、点与弦的相对位置

例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。 解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°

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（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°

三、弦所对的圆周角

例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。 解：弦所对的圆周角有两种情况：

（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°； （2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。 故应填60°或120°。 四、平行弦与圆心的位置

例4.在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。 分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。 解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC. 在Rt△OAE中，OEOA2AE252324(cm) OC2CF252423(cm)

在Rt△OCF中，OF（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为

EF431(cm)

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（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为

EF437(cm)

所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm。

五、圆心与角的位置

例5.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____________。 解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE1所以∠BAE＝30°

同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以 ∠EAC＝45°，∠BAC304575

当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：

1AE 2∠BAC'453015

所以∠BAC为75°或15°

六、点在弧上的位置

例6.如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。

解：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°

当动点P在OAB上时，∠OPB＝∠OAB＝45°

⌒当动点P在OB上时，∠OPB＝180°－45°＝135° 故∠OPB为45°或135°。

七、相交两圆的圆心与公共弦的位置

图8 例7.已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。

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⌒圆中分类讨论问题归类举例-

分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。 解：如图9、图10， 在RtO1AC中，O1CO1A2AC2422223 在RtO2AC中，O2CO2A2AC2222222

（1）当圆心O1、O2在公共弦AB的同侧时，如图9

O1O2O1CO2C232

（2）当圆心O1、O2在公共弦AB的异侧时，如图10

O1O2O1CO2C232

八、直线与圆的位置

例8.两圆的半径分别为4和2，如果它们的垂直，求两圆的圆心距。

分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线相垂直，有三种情况。

解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，⊙O1于A，切⊙O2于B，EF切⊙O1于E，切⊥EF于D。

由切线定理，得：

∠O1DA∠O1DE45∠O2DB∠O2DF45

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两条公切线互相

两种，公切线互

如图11，AB切⊙O2于F，AB

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所以∠O1DO290，O1D42，O2D22 故有O1O2O1D2O2D2210

（2）当内公切线垂直时，如图12，作O1E⊥l2，O2D⊥l1，交点为E，则

O1O2O1E2O2E242242262

（3）当外公切线垂直时，如图13，作O1E⊥l2，O2F⊥l2，O2G⊥O1E于G，则

O1O2O1G2O2G2O1EGE2EF2

4222222.

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