九年级《三角函数》知识点、经典例题

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题

2221、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 abc

2、如下图，在Rt△ＡBＣ中，∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系 正A的对边0sinA1 a sinA sinAc（∠A为锐角） 弦 斜边余A的邻边0cosA1 b cosA cosAc(∠Ａ为锐角） 弦 斜边正A的对边a tanA tanAb切 A的邻边余A的邻边b cotA cotAa切 A的对边sinAcosB cosAsinB sin2Acos2A1 tanAcotB cotAtanB 1(倒数) tanAcotA tanAcotA1 tanA0 (∠A为锐角) cotA0 (∠A为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B sinAcosB由AB90cosAsinB

得B90A sinAcos(90A)cosAsin(90A) A

斜边 c 对a 边C

b 邻边

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 tanAcotB cotAtanB cotAtan(90A) 得B90A 由AB90tanAcot(90A) 5、０°、３0°、45°、6０°、９0°特殊角的三角函数值(重要）

三角函数 sin cos 0° 0 1０ － 3０° 1 245° 222260° 3 21 290° 1 ０－ 0 3 23 3tan cot 1 １ 3 3 33 6、正弦、余弦的增减性：

当０°≤≤９０°时，sｉn随的增大而增大,ｃos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性:

当0°<<９0°时，ｔan随的增大而增大,cｏt随的增大而减小。

--

--

8、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据:①边的关系：a2b2c2；②角的关系:Ａ+B=９0°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)

9、应用举例:

(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。

铅垂线仰角俯角视线水平线h

ih:l视线lα

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即i等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ih。坡度一般写成1:m的形式,如i1:5lhtan。 l１0、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3,OA、OＢ、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。

11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OＡ、OB、ＯC、OD的方向角分别是：北偏东3０°(东北方向) ， 南偏东4５°（东南方向）, 南偏西6０°（西南方向）， 北偏西６0°(西北方向)。

12、解斜三角形所根据的定理 （在△ABC中）

① 正弦定理:

abc＝2Ｒ． （Ｒ是△ABＣ外接圆半径）. SinASinBSinC２

② 余弦定理: c2=a2＋ｂ2-2ａbCosＣ; ｂ2=c+a2－2ca CoｓB； a2=ｃ2+b2-2cbＣosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系:

Sｉｎ(18０－A)= sinＡ, Cos(1８0－A)= - cｏsA ,

tａn（180－A）=－cotＡ， cｏtＡ（180－Ａ）=－ｔanＡ． ④ Ｓ△ABC=

111absinC=bｃｓinA＝casinB. 222--

--

三角函数中考试题分类例题解说

一、三角函数的定义

例1：(滨州市) 如图1，梯子（长度不变)跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是（ ） A.sinA的值越大,梯子越陡 Ｂ．cosA的值越大,梯子越陡 C.tanA的值越小，梯子越陡ﻩﻩD.陡缓程度与∠A的函数值无关

分析:由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知:锐角的正切、正弦值越大,梯子越陡,余弦值越小，梯子越陡。因此选A。

二、利用特殊角的三角函数值计算

例4:(辽宁省十二市） 计算:2(2cos45sin60)解:原式2(223)26 224图1

24 4266 222

点评:熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。

三、求线段的长度

例5:(云南省) 已知:如图3，在△ＡＢC中，∠B = 4５°,∠C = 60°，AB ＝ ６。 求BC的长（结果保留根号)．

分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图４,过点Ａ作ＡD⊥BC于点Ｄ。 在Rｔ△AＢD中，∠Ｂ =45°，则ＡD = ＢD。不妨设AD ＝ x,又ＡＢ = ６,所以有x＋ x= 6,解得ｘ =3，即AD =

2

2

2

图3

ＢD =3。在Rt△ＡＣD中，由∠ACＤ ＝ 60°得∠CＡD =

A 30°而ｔaｎ30°=

CDCD,即,解得CＤ =。因此AD32b C 图5

图4

c BC = BD + DＣ =3+6。

下面也是2007年关于锐角三角函数的中考题,请自己完成。

a

B

1、(江西省) 如图5，在Rt△ABC中，C90°，a，b，c分别是A，B，C的对边,若b2a,则tanA .

4,则BＣ的长为_＿_cm。 533、（丽水市） 如图6,一架梯子斜靠在墙上,若梯子到墙的距离AC＝３米,cosBAC，则梯子AB的长度为 米。

42、（大连市）在△ABC中，∠C＝90°，AＢ＝１０cm，ｓinA＝

４、（天津市） sin45cos45的值等于（ )

B

A.

2

B.

31ﻩ C. 23

D． 1

A 图6

C

--

--

5、(连云港市）计算：2122sin45

6、(岳阳市)计算：(31)0()1+|2-3|+sin245° 7、(眉山市） 计算：

0122sｉn4５0+coｓ30０·tan60０—(3)2

3。 5B ８、(中山市） 如图7，Rt△AＢC的斜边AB=5,cｏsA=

(1)用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹,不要求写(2）若直线ｌ与AB、ＡC分别相交于D、E两点，求DE的长。

作法、证明);

C 图7

A

1

答案：1、。 2、8。 3、4。 ４、A。 ５、2。 6、 ＼ｆ(１,2)。

2 7、- ＼f(1,2)。 ８、2。

--

--

一、选择题

1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是( ）

3434ﻩ B． Ｃ. ﻩＤ. 534512.(200８·威海中考）在△AＢＣ中,∠C＝90°，tａｎA=，则ｓｉｎB＝（ )

3Ａ．A.102 B．103 Ｃ.

3103 D.

1043.（２009·湖州中考)如图,在Rt△ABC中，ACBRt，BC1，AB2，则下列结论正确的是（ )

A．sinA331 B．tanA C．cosB D.tanB3 222A

D B

C

3 题 4题 5题

4.（２0０8·温州中考）如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线，已知CD2，AC3,则sinB的值是（ ）

A.

2ﻩ 3 B．

334ﻩ C． Ｄ． 2435（２007·泰安中考）如图,在△ABC中，ACB90,CDAB于D，若AC23,AB32,则tanBCD的值为( ）

(A)2 （Ｂ）二、填空题

６．(２009·梧州中考)在△ABC中,∠Ｃ=９0°, BC＝６ cm,sinA263 (C) (D） 2333，则AB的长是 cm. 57.（200９·孝感中考）如图,角的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边ＯA上有一点Ｐ（３，4),则 sin ．

--

--

7题 8题

８.（２0０９·庆阳中考)如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥ＡB，sinA三、解答题

９.(20０８·宁夏中考）如图,在△ABC中，∠C=９0°，ｓinA＝

3，则这个菱形的面积= ｃm2. 54,AB=１5，求△ABC的周长和ｔanA的值. 5

10.（2007·芜湖中考)如图,在△AＢC中，AD是BＣ上的高,tanBcosDAC，

(１) 求证：AＣ＝BD; (2)若sinC一、选择题

12，BC=12，求AＤ的长． 13，OC2.（2009·长春中考）.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45°2,则点B的坐标为( )

1) B．(1，2)ﻩ C．(211)，ﻩﻩD.(1，21) A.(2，3.(20０9·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于６0°，否则就有危险,那么梯子的长至少为（ ) A．8米 ﻩB．83米

Ｃ．8343米ﻩ Ｄ.米 33４．(2008·宿迁中考)已知为锐角,且sin(10)3,则等于( ） 2--

--

Ａ.50 Ｂ．60 Ｃ．70 D.80

5.(2008·毕节中考） A(coｓ60°，－tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ )

13131333A．， B.232，2 2，3 C.2， D.3

６.(2０0７·襄樊中考）计算:cos45tan60cos30等于( ）

（Ａ)1 二、填空题

7. (2009·荆门中考）4cos30sin60(2)1(20092008)0=＿_＿_＿_．

８.（2０0９·百色中考)如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米,钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点Ａ到地面的距离AB是 米.（结果保留根号）.

（B)2 （C)2 (D）3

2

10.(2007·济宁中考)计算三、解答题

1１.（２０09·黄石中考)计算：3-＋(2π－1）0-１

sin60tan45的值是 。

cos303tan3０°－tan45° 3011２.(２009·崇左中考）计算:2sin60°3tan30°(1)2009.

3要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题

1.（20０9·白银中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于6０°,否则就有危险,那么梯子的长至少为（ )

A.8米 B.83米 C．8343米ﻩ D.米 332.(2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位:米）,则该坡道倾斜角α的正切值是( ) A．

141ﻩ B.４ Ｃ．ﻩ Ｄ. 417173.（200９·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡

--

--

面上的距离AB为（ ) Ａ． 5cos Ｂ.

55

Ｃ. 5sin D．

sincos

5米 B A α

1题 2题 3题

4.（20０9·兰州中考)如图,在平地上种植树木时,要求株距（相邻两树间的水平距离)为4m．如果在坡度为0．７５的山坡上种树,也要求株距为4ｍ,那么相邻两树间的坡面距离为（ )

A．5m Ｂ.6m C.7m D.8m

4题 5题

5.（2009·潍坊中考)如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离,在A点测得BAD30°，在C点测得BCD60°，又测得AC50米,则小岛B到公路l的距离为（ )米． A．25ﻩ Ｂ．253ﻩ C．二、填空题

6.(2009·沈阳中考)如图,市政府准备修建一座高ＡＢ＝６ｍ的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面ＢC的夹角∠ACB的正弦值为错误!，则坡面ＡＣ的长度为 m.

７. （200９·南宁中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 _＿___________海里（结果保留根号)．

1003ﻩﻩ D.25253 3

6题 ７题 8题 9

--

--

题

8.(２０08·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离AC=3米，cosBAC米.

9．（200７·湖州中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为７5°,如果拖把的总长为１．80m,则小明拓宽了行路通道_＿____＿__＿__＿__ｍ.(结果保留三个有效数字，参考数据：sｉn1５°≈26，cos15°≈0.9７） 三、解答题

10.(2009·郴州中考）如图,数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度,测角仪AB的高度为1.5米,测得仰角为

3,则梯子长AB = 430，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN是多少米?（取2=1．414,3＝１.73２，结果保留两

位小数)

--