（一）圆的有关性质 ［知识归纳］
1. 圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；
圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定:不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
1
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
7. 圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
（二）直线与圆的关系
1. 直线与圆的位置关系 直线和圆的位置 相离 相切 相交 公共点的个数 0 1 2 公共点名称 无 切点 交点 直线名称 无 切线 割线 圆心到直线的 距离d与半径r的关系 2. 切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。
3. 切线的性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （3）推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。
2
4. 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 5. 和圆有关的比例线段
（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等； （2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项； 6. 三角形的内切圆
（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；
（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。
（三）圆和圆的位置关系［知识归纳］ 1. 基本概念
（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。
（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。 （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。 2. 圆和圆的位置关系 两圆的位置 圆心距d与两圆的 外公切内公公切线半径R、r的关系 线条数 切线条数 条数 外离 2 2 4 外切 2 1 3 相交 0 2 2 内切 1 0 1 内含 0 0 0 3. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 4. 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
（四）正多边形和圆［知识归纳］ 1. 基本概念
正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等。
2. 正多边形的判定与性质 （1）把圆分成等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 （2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 3. 正多边形的有关计算
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 如图16所示，设正n边形的中心角为，半径为R，边长为面积为Sn，则由有关图形的性质可以推得：
，边心距为rn，周长为Pn，
3
图16 （1） （3） （5）
4. 与圆有关的计算
（2）
； （4）
； （6）
； ；
；
（1）圆的周长 （3）圆的面积
； （2）弧长； （4）扇形面积
；
；
（5）弓形面积（如图16）
5. 与圆有关的作图
（1）过不在同一条直线上的三点作圆； （2）作三角形的内切圆；
（3）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四边形、正六边形。 6. 圆柱和圆锥的侧面展开图
（1）圆柱的侧面积： （2）圆锥的侧面积：
（r：底面半径，h：圆柱高）
（L＝2πR，R是圆锥母线长，r是底面半径）。
（n为侧面展开图扇形的圆心角的度数，R为母线长）。
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