1.1 平行四边形及其性质（第1课时）
学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义
2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2 3、提高综合运用知识的能力
学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 预习指导：
1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如_______________________________________________________等，都是平行四边形。
2、____________________________________是平行四边形。
3、平行四边形的性质是：_________________________________________. 学习过程： 一、 学习新知
1、平行四边形的定义
（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。 （2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 （3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形， 反过来，平行四边形就一定具有性质。
（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD记作_________,读作___________. 2、平行四边形的性质
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？
已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD．
分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论． 证明：
总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。
在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD吗？利用我们学过的方法试一试。 证明：
通过上面的证明，我们得到了：
平行四边形的性质定理1是_______________________________________. 平行四边形的性质定理2是_______________________________________. 二、应用举例：
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例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
0
例2、（1）在平行四边形ABCD中，∠A=50，求∠B、∠C、∠D的度数。
0
（2）在平行四边形ABCD中，∠A=∠B+40，求∠A的邻角的度数。
三、随堂练习
1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证AF=CE.
2、平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求四边形的各边的长。
3、在平行四边形ABCD中，若∠A：∠B=2：3，求∠C、∠D的度数。
四、课堂小结 ：1、平行四边形的概念。 2、平行四边形的性质定理及其应用。 五、当堂检测 1．填空：（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240°，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）若ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，则AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm． 2.（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是360 3.（选择）如图，在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD， EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）． （A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个
4．如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
5、如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：AB=CE
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1.1 平行四边形及其性质（第2课时）
学习目标：1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学
生的推理论证能力和逻辑思维能力．
学习重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
学习难点：能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 学习过程： 二、 学习新知
如图，EFGH中，连接对角线EG、HF，设它们分别交于点O．分别度量OH、OF的长度，你发现它们存在的数量关系是_________________.
猜想线段OG、OE之间的数量关系是_______________________. 证明你的猜想：
由此我们可以得到平行四边形的性质定理3_____________________________． 二、应用举例： 例题
已知： ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF．
分析：要证OE＝OF，根据图形分析，只要证明OE、OF所在的两个三角形__________≌___________. 证明：
若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
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三、随堂练习
1、在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长
② 已知AB=2BC，求各边的长
③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长
2、如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°， AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长 是____ ___cm．
3、ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则ABCD的周长是__ ___cm．
四、课堂小结 ：
平行四边形的对角线具备的性质是_________________________.
五、当堂检测 1．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
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1.2平行四边形的判定（第1课时）
学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边来判定平行四边形的方法． 2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。
预习指导：1、平行四边形定义是____________________________________. 2、平行四边形性质是(1)_____________________________________________. (2)_______________________________________________________________. 3、平行四边形的判定定理是（1）_____________________________________. (2)________________________________________________________________. 学习过程： 三、 学习新知
小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨： （1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？ （2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？ （3）你能说出你的做法及其道理吗？
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？ （5）证明以上发现的平行四边形的判定发方法。
平行四边形的判定定理（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 已知： 求证： 证明：
平行四边形的判定定理（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 已知： 求证： 证明：
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二、应用举例
例题：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点， 求证：BE=DF．
三、随堂练习
已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 求证：四边形BEDF是平行四边形．
四、课堂小结
平行四边形的判定定理（1）是________________________________________. 平行四边形的判定定理（2）是________________________________________.
五、当堂检测
1、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。
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2、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC， 求证：BE=CF
1.2平行四边形的判定（第2课时）
学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用对角线 来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。 学习难点：几何推理方法的应用。 学习过程： 四、 学习新知
已知:如图，平行四边形HGFE中，HF与GE交与点O，HO=OF,GO=OE, 求证：四边形HGFE是平行四边形。
由此，我们可以得到平行四边形的判定方法：平行四边形的判定定理（3）__________________________________________________________. 五、 应用举例
例题：已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形．
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分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明． 证明：
三、随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形； （2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3．证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
四、课堂小结 ：我们学习了平行四边形的定义，性质、判定。平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。 性 质平行四边形判 定 两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分 希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解，比较一下使用哪种判定方法最简便。往往是已知条件最集中的地方，就是解决问题的突破口。 学生掌握平行四边形的五个判定方法，这些判定的方法是： 从边看： ① 的四边形是平行四边形； ② 的四边形是平行四边形； ③ 的四边形是平行四边形．
从对角线看： 的四边形是平行四边形． 从角看： 的四边形是平行四边形．
五、当堂检测
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1、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。（ ） 2、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若OC= 且 ,则四边形ABCD是平行四边形。 3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）．
A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分
4、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。
5、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN 。
1.3 特殊的平行四边形（第1课时）
学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。 3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
学习重点：掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。 学习难点：掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用 学习过程： 一、学习新知
自学教材13页—15页内容完成以下题目：
1、 叫做矩形。矩形是________的平行四边形。 2、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质： （1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。 （2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:
特殊在“角”上的性质是_____________________________________________. 特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________. 3、从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的________. 二、应用举例：
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例题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，∠A=30°，
AC=5 3，求△ADC的周长。
三、随堂练习
1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）
A、22.5° B、45° C、30° D、60° 2、已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上 一点，DFAE于F，若AEBC 。求证：CE＝EF。
AD
1
F
2 BCE
3、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F的位置，BF交AD于E，AD=8,AB=4，求△BED的面积。
F
E A D
B C 四、课堂小结
五、当堂检测
1、矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5厘米，则对角线长为 。
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2、如图5，在矩形ABCD中，DECE,ADE30,DE4，求这个矩形的周长。
DCAEB 3、折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG。AB=2，BC=1。求AG的长。 AGB
A`
DC
1.3 特殊的平行四边形（第2课时）
学习目标：1、能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。
2、培养综合应用知识分析解决问题的能力。
学习重点：能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。 学习难点：培养综合应用知识分析解决问题的能力 学习过程： 二、学习新知
自学教材16页—17页内容完成以下题目：
1、运用定义证明一个平行四边形是矩形，只需证明__________________.
2、矩形相对于一般平行四边形来讲，特殊在“对角线”和“角”上。通过自学，我们可以从“对角线”
和“角”两方面得到矩形的判定定理：
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矩形的判定定理（1）：________________________________________________. 矩形的判定定理（2）：________________________________________________. 二、应用举例 例题：
如图，M、N分别是平行四边形ABCD对 边AD、BC的中点，且AD=2AB， 求证：四边形PMQN是矩形。
分析：（1）从条件出发：由M、N分别是平行四边形ABCD对边AD、BC的中点，且AD=2AB，我们很容易得到AM=________,从而得到∠AMB=∠_______.又因为AD∥BC,可得∠AMB=∠_______，所以可得∠_______=∠_______。同理可得∠BAN=∠MAN.
(2)要证四边形PMQN是矩形，根据矩形的判定定理，可证四边形PMQN有三个角是直角。 根据分析完成证明：
三、随堂练习 已知
ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABC是等边三角形，AB4cm，求这个平行四边形
的面积
四、课堂小结
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五、当堂检测
1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角 2、能判断四边形是矩形的条件是（ ）
A、两条对角线互相平分 B、两条对角线相等
C、两条对角线互相平分且相等 D、两条对角线互相垂直。
3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.
4、已知四边形ABCD中AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形。
1.3 特殊的平行四边形（第3课时）
学习目标：1、理解菱形的定义。
2、探究归纳菱形的性质。 3、掌握菱形的判定方法。
4、培养综合运用知识分析解决问题的能力。
学习重点：理解菱形的定义。探究归纳菱形的性质。掌握菱形的判定方法。 学习难点：培养综合运用知识分析解决问题的能力。
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学习过程： 三、学习新知
自学教材17页—19页内容完成以下题目：
1、 叫做菱形。菱形是________的平行四边形。 2、从菱形的意义可以探究菱形具有的性质： （1）菱形具有平行四边形具有的一切性质。 （2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:
特殊在“边”上的性质是_____________________________________________. 特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________. 3、我们可以从“对角线”和“角”两方面得到菱形的判定定理： 菱形的判定定理（1）：________________________________________________. 菱形的判定定理（2）：________________________________________________. 二、应用举例：
例题：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N.证明：四边形AMNE是菱形.
分析：(1)由已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高 很容易得到∠ABC=∠________,
又∠ABC的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交CD于N，可得∠_____=∠_____=∠_____=∠_____.
(2)要证四边形AMNE是菱形可证其四条边相等，或证对角线互相垂直平分。
根据分析完成证明：
三、随堂练习 1、菱形周长为40，一条对角线长为16，则另一条对角线长为 ,这个菱形的面积为 。 2、已知菱形的一边长为，4厘米，则它的周长为
3、在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，则再增加条件 即可使四边形ABCD成为平行四边形。若再补充条件__________,则四边形ABCD为菱形
4、矩形ABCD的对角线相交于O，DE∥AC,CE∥SD,求证四边形OCED是菱形。
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四、课堂小结
五、当堂检测
1、棱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ） A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm
2、菱形ABCD中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为 。 3、菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为 。 4、在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E， 则，∠CDF=（ ）
A、80° B、70° C、65° D、50° 5、小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）
A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误 C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误
6、下列命题中是真命题的是（ ） Ａ.对角线互相平分的四边形是菱形
Ｂ.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 Ｃ.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，过点C做CG∥EA交FA于H ，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
8、AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证四边形AEDF是菱形。
1.3 特殊的平行四边形（第4课时）
学习目标：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
［青岛版］九年级上册数学学案
学习重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算 学习难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。 学习过程： 四、学习新知
自学教材19页—20页内容完成以下题目：
1、 叫做正方形。正方形是________的矩形，也是_______的菱形。 2、从正方形的意义可以探究正方形具有的性质： （1）正方形具有平行四边形具有的一切性质。 （2）正方形具有矩形具有的一切性质。 （3）正方形具有菱形具有的一切性质。
（4）正方形的对角线具有的性质是___________________________________. 3、正方形的判定方法是：
（1）_____________________________________的矩形是正方形。 （2）_____________________________________的菱形是正方形。 二、应用举例：
例题1：已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F， 求证：AE=BE+DF．
例题2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
三、随堂练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求
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证：OE=OF
四、课堂小结：
正方形的概念、性质和判定，正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
五、当堂检测
1、正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） （A）AC=BD，AB∥CD，AB=CD （B）AD∥BC，∠A=∠C （C）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD （D）AO=CO，BO=DO，AB=BC
3、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
HDA.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D. 正方形 A GEBC4、下列说法是否正确，并说明理由．
F①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
5、如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，
将△BCE绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF． 若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
（A）10° （B）15° （C）20° （D）25°
6、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF F
A D
B
C E ［青岛版］九年级上册数学学案
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