学期期末考试试题 理
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、设a
R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知双曲线
的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（ ）
A．5 B．
C．
D．
3、设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单
位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心（ ， ）
C.若该高中某学生身高增加1cm
，则其体重约增加0.85kg
D.若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
4、下列说法正确的是 （ ）
A.命题“若 ,则
”的否命题为“若 ，则
”
B.命题“若
”的否定是“ ”
C.命题“若
，则
”的逆否命题为假命题
D.命题“若
，则
”的逆命题为假命题
5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )
A.
B.
C.
D.
6、在长为10 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别
等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9 cm2的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7、直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|
2
，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、已知集合
表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9、已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为
，则实数
等于（ ）
A．7 B．5 C．4 D．3
10、点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的点，则|MN|的最小值是（ ）
A．
B．
C．2 D．
11、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于 （ ）
A.2
4 B.26 C.30 D.32
12、已知圆C的方程 ，P是椭圆
=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_______运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）
14、已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2： (x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝______
15、
已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们的一个公共点，且
,椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则
_____
16、已知直线y=k
与曲线
恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；椭圆
上存在关于直线y=x+m对称的不同两点，记m的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素 ， ，则 >
的概率是_______
三、解答题
17、（10分）设命题p：点（1，1）在圆
的内部；命题q：直线mx－y＋1＋2m＝0(k∈R)不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求
的取值范围．
18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70,80)内的频率；
（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）
（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为
[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．
19、（12分）已知抛物线 的焦点为 ，
是抛物线
上的一点，且
.
（1）若椭圆
与抛物线
有共同的焦点，求椭圆 的方程；
（2）设抛物线
与（1）中所求椭圆
的交点为
，求以
和
所在的直线为渐近线，且经过点
的双曲线方程.
20、（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，
（1）求过 点的圆的切线方程；
（2）直线
被圆C截得的弦长最短时，求直线 的方程；
（3）过原点的直
线
与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为 ，直线
只有一个交点，求
的 取值范围.
21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p＞0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．
（1）若
，求△FMN面积的最小值；
（2）设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC+
4kBD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点.
22、（12分）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，动点
与定点F(－1，0)的距离和它到定直线
与曲线
的距离之比是
.
（1）求动点P的轨迹 的方程；
（2）过
作曲线
的不垂直于
轴的弦
, 为
的中点,直线
与 交于
两点,求四边形 面积的最大值.
树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（理科）
参考答案
一、选择题
ADDDCB CDBADA
二、填空题
13、乙 14、±2 或0 15、4 16、
三、解答题
17、解：命题p ，…………3分
命题q
……………6分
1 p真q假时， ；②p假q真时，
.
故m的取值范围为
或
………10分
18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：
1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分
(2)中位数
…………6分
(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)．
∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a，b；
在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f.
设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A，所有基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个…………8分
其中事件A
包含(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．……10分
∴P(A)＝
………12分
19、解:（1）P到焦点距离等于P到准线距离，所以
，
故抛物线的方程为
……………………….3分
又由椭圆
, 可知
,故所求椭圆的方程为
……………....6分
（2）由
,消去
得到 ,解得
(
舍去).
所以
,则双曲线的渐近线方程为 ……………………8分
由渐近线
,可设双曲线方程为 .
由点 在抛物线 上,解得
………………...……10分
因为点
在双曲线上,
,
故所求双曲线方程为:
……………………………………….…………..12分
20、解：（1）
或
………3分
（2）直线
恒过定点
当直线
时，弦长最短，此时直线的方程为
………7分
（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP， ∴化简得 ………9分
由于点P在圆内，由
得
所以
：
（注：范围也可写成
）………10分
或
………12分
21、解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为
联立
，得x2﹣2kx﹣1=0，
，同理
∴S△FMN＝
|FM|·|FN|＝
＝
当且仅当k＝±1时，△FMN的面积取最小值1. ……....5分
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为，
联立
，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1 ……....7分
故kAC+4kBD
注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4， ……....10分
直线AC的方程为
化简得
即
所以，直线AC恒经过
点（0，﹣2）……....12分
22、解：（1）由已知，得
．
两边平方，化简得 ＋y2＝1．故轨迹 的方程是
．…（3分）
（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
y1＋y2＝
，y1y2＝
. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝
，于是AB的中点为M
，
故直线PQ的斜率为－
，PQ的方程为y＝－
x，即mx＋2y＝0，…....5分
圆心与直线mx＋2y＝0的距离为
，|PQ|
…....7分
设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d
＝
.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝
.又因为|y1－y2|＝
＝
，所以2d＝
.…....10分
故四边形APBQ的面积S＝
|PQ|·2d＝
令 ，则S＝
（
）
当
即 时，
.…....12分
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