宁波教育学院学报
JOURNALOFNINGBOINSTITUTEOFEDUCATION
Vol.11No.6Dec.2009
数学教学与数学思想
孙海斌
（余姚市第六中学，浙江余姚315460）
摘
要：运用函数与方程、数型结合、化归等数学思想对基本不等式进行探究，让学生领悟数学思想、提高学生的思
维品质，培养学生的创新能力.
关键词：数学教学；创新思维；创新意识；数学思想中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1009-2560（2009）06-0117-02
实施素质教育，进行开放式教学，探究性学习,培养学生创新能力，应从课堂做起.而一堂成功的课应充分发挥学生的主体作用，学生是问题的探索者、目标的实施者和成功的体验者.在课堂上给学生提供创新的空间，使学生在充满快乐的氛围中感受数学美，激发学生创新热情，意识到创新知识并非高不可攀.
1问题与解答
学生学习了不等式性质后，给出如下问题：如果a,b∈R，那么a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.
师：这是个重要不等式，它有广泛的应用，如何来证明？思考几分钟后，学生给出下列不同的证法.
生1：（综合法）因（a-b)≥0，即a-2ab+b≥0，所以a+b≥2ab.生2：（比较法）a+b-2ab=(a-b)≥0,则a+b≥2ab.
生3：（反证法）假设a+b＜2ab，即（a-b)＜0，矛盾，因而假设不成立，即a+b≥2ab.生4：（分析法）欲证a+b≥2ab，只要证a+b-2ab≥0，而a+b-2ab=(a-b)≥0显然成立.
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2从函数、方程角度探究（函数与方程思维）
师：四位同学都用到实数的平方大于等于零这个性质证明，想一想可否用函数、方程等知识来证明？
生5：（方程角度）：a+b≥2ab可化为（a+b）-4ab≥0，因而构造以a，b为根的一元二次方程x2-2
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(a+b)x+ab=0，则Δ=（a+b）-4ab≥0，即a+b≥2ab.
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生6：（函数角度）：a+b≥2ab化为a+b≥2，设a=x，构造函数f(x)=x+1，根据函数的单调性定
babx
义可证：当0＜x＜1时函数是减函数，当x＞1时函数是增函数.则当x=1时，f(x)达到最小值fmin=2，从而有x+1≥2，即a+b≥2ab.
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x师：很精彩，但第六位同学有缺点，谁来补充？
生7：a+b≥2ab化为a+b≥2，条件是ab＞0,即a,b要同号，如果a，b是异号？
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ba师：异号时，不等式成立否？
生8：不等式中左边是正，右边是负，显然成立.
收稿日期：2009-11-03
作者简介：：孙海斌（1975-），男，浙江宁波人，余姚市第六中学一级教师.
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宁波教育学院学报2009年第6期
师：a=0或b=0时不等式成立否？
学生在老师的引导下，自主严密地用函数思想证明基本不等式.
3从数形结合角度探究（数形结合思想）
师：能不能构造图形来证明？同桌、前后桌可以互相讨论，然后派代表发言.给学生考虑几分钟.
生9：不妨设b≥a＞0,如图1，b、a分别是大、小两个正方形面积，而ab+ba是2个小正方形面积
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a再加上阴影部分的面积，从图1知a+b=2ab+(b-a)，显然a+b≥2ab，当b-a=0时，即a=b时，有a+b=2ab.
师：（掌声）太妙了，不但证明了不等式成立，而且说明了何时取等号，这位同学很会动脑筋，但用图形来证明也有缺点，必需是正实数，对于负实数或零是否成立呢？
-+
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生10：成立，如果a,b∈R，那么-a,-b∈R，由上知(-a)+(-b)≥2(-a)(-b)，即a+b≥2ab.另外a=0或b=0，不等式a+b≥2ab显然成立.
生11：如图2在RtΔABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c,则a+b=c，c表示以斜边c为边长的正方形面积，而阴影部分面积2ab=4×1ab=4SΔABC，从图3知c≥4×1ab，即a+b≥2ab.当且仅当
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22“a=b”时取等号，这时RtΔABC是等腰直角三角形.
师：又是个奇妙证法，图2是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，今天这位同学用来证明基本不等式是大胆的发明.
生12：如图3，正方形面积ABCD面积为(a+b)，四个边长为a，b的矩形面积都为ab,由图3可知：
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(a+b)≥4ab，化简得a+b≥2ab，当且a=b时等号成立，即(a+b)=4ab或a+b=2ab.
师：我们已经用九种方法证明了这个基本不等式成立，当然还有很多证法，有兴趣同学课外可以去尝试一下.
222222
图1图2图3
4变式与推广（化归思想）
师：我们再来思考一下基本不等式有哪些变式？
几分钟后，有几位同学发言，老师概括板书在黑板上：（1）a+b≥姨ab(a≥0且b≥0)；（2）a≥
2b
2a-b(b≥0)；（3）a2≥2-1(a＞0且b＞0)；（4）a(a-b)≥b(a-b)；（5）a+1≥2(a＞0)；（6）a-1＞1-1(a＞0)；
baaab
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（7）x≥2ax-a；8）ab≤1(λa+b2)(λ≠0).
2λ
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师：我们能否对基本不等式进行推广？
最后学生自主探究得到：（1）a+b≥ab+ab(a≥0且b≥0)；（2）a+b≥2ab；（3）a+b+c≥
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4
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ab+bc+ac；（4）a+b+c+d≥2ab+2cd；（5）a+b+c≥3abc(a≥0,b≥0，c≥0).
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（下转第122页）
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StatusSurveyandOptimizationPracticeofScienceHomeworkinJunior
MiddleSchool
YINZhi-nv
(ZhejiangNormalUniversityTianjiabingCollege,Jinhua321004,China)
Abstract:Heavyhomeworkisasevereprobleminpushingqualificationeducationforward.Onthebasisofthestatussurveyofsciencehomework,theauthoroptimizeshomeworkarrangementandputsitin-topracticetoverifythefeasibilityandeffectivenessoftheoptimization.
Keywords:scienceteaching;homework;optimizationdesign
（责任编辑陈咸存）
(上接第118页）
思维是从问题开始的，一个好的问题能使思维得以产生、维持和深入.课堂教学要积极创设问题情景，处处设疑，充分激发学生的学习热情，随着问题的逐步解决，不知不觉地培养了学生的创新能力和创新意识，因此教师设计一个好的问题是培养学生创新能力的关键.另外，课堂上应提倡师生平等，教学相长，创造民主气氛，才能使学生释放出巨大的创新潜能，教师应转变观点，成为课堂教学的配角，从设计者、点拔者、尝识者和点评者角度积极鼓励学生大胆猜想，大胆发表自己意见，为培养学生的创新能力提供外部环境.在数学教学中教师应结合相关数学内容渗透数学思想，培养学生的发散性思维，提高学生的数学思维品质.
MathematicalEducationandMathematicalThinking
SUNHai-bin
（YuyaoNo.6MiddleSchool,Yuyao315460，China）
Abstract:Thoughtsofmathematicalequationandfunction,combinationofmathsandmodelaswellasdividingcanbeusedtoresearchbasicinequalities.Studentscanunderstandmathematicalthoughtsandhaveabetterthinkingquality.
Keywords:mathematicaleducation;creativethinking;innovativeideas;mathematicalthoughts
（责任编辑陈咸存）
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