矩阵位移法

第十二章 矩阵位移法

【例12-1】 图 a所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。分别用位移法和矩阵位移法计算。

图12-1

解：（1）位移法解

•基本未知量和基本结构的确定

用位移法解的基本结构如图c所示。这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。

•位移法基本方程的建立

K111K122K133R1P0K211K222K233R2P0K311K322K333R3P0

将上式写成矩阵形式

K11K21K31K12K22K32K131R1P0K232R2P0K333R3P0

•系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）

由图d，结点力矩平衡条件M0，得

K114EIl，K212EIl，K310

由图e，结点力矩平衡条件M0，得

K122EIl，K224EIl4EIl8EIl，K322EIl

由图f，结点力矩平衡条件M0，得

K130，K232EIl，K334EIl4EIl8EIl

由图g，结点力矩平衡条件M0，得

R1pPl8，R2PPl8，R3P0

将系数项和自由项代入位移法基本方程，得

104201EIPl282210l800 02831Pl22416EI31141•解方程，得

•由叠加法绘弯矩图，如图h所示。

（2）矩阵位移法解

•对单元和结点编号（图a）

本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。若用后处理法原始结构刚度阵为44阶；用先处理法结构刚度阵为33阶（已知角位移40）。下面采用先处理法来说明矩阵位移法计算过程。

单元标准形式为（图b）

(e)(e)kii(e)kji(e)kijk(jje)4EIl2EI(e)l k2EIl4EIl

•求局部坐标系下的单元刚度矩阵k(e)

•求整体坐标下的单元刚度矩阵k(e)TTk(e)T，因连续梁的局部坐标和整体坐标是一致

的，所以有k(e)k(e)，得（注：本题用先处理法换码）

k(1)EIl4224(1)1EI422 ， k(2)l24(2)2EI423 ，k(3)l24(3)30

•按“对号入座”规则集成总刚，得

4201EI2822l0283 K•形成荷载列阵P

(1) 计算单元固端列阵

FF(1)181142143PlPlPl182，FF(2)143，FF(3)140

（2）将单元固端列阵反号，并按“对号入座”规则送入荷载列阵P （本题结点荷载为零）

0181810Pl1814Pl1820141403PP E=P=D•将结构刚度矩阵及荷载列阵代入矩阵位移法方程KP，得

184201EI2822Pl18l0 02831Pl22416EI31141•解方程，得

•计算杆端弯矩

F(e)FF(e)k(e)(e)FF(e)k(e)(e)FF(e)k(e)T(e)

18EI42Pl2Pl(1)F=18l24416EI11Pl52Pl52Pl04523841641620845

14EI42Pl24Pl104Pl14Pl45Pl(2)14241104454l416EI416416208 F=14EI42Pl21Pl104Pl4Pl54Pl24416EI0416104416220851(3)14l F=得各单元杆端弯矩后，再叠加上一相应简支弯矩图即得各单元弯矩图。将各单元弯矩图组合在一起，得整个结构的弯矩图（图h）。

小结：通过本题的计算可看到：

（1）基本未知量和基本结构。位移法与矩阵位移法二者都是以结点位移为基本未知量，以单根杆件（单元）为计算对象。位移法为方便计算，有三类杆件；而矩阵位移法只有一类杆件，即两端固定等截面梁。

（2）刚度矩阵与荷载列阵的形成。位移法是用单位弯矩图和荷载弯矩图并由结点的平衡条件计算系数项和自由项的，而后形成刚度矩阵与荷载列阵的；而矩阵位移法是以单元杆端刚度元素、单元杆端荷载元素，按“对号入座”规则形成刚度矩阵与荷载列阵的。

矩阵位移法基本方程的建立，归结为两个问题：一是根据结构的几何和弹性性质建立整体刚度矩阵K，二是根据受载情况形成整体荷载列阵P。

（3）有（1）、（2）可知，二者的关系是：“原理同源，作法有别”。因此矩阵位移法不是一个新方法，它是新的计算工具（电子计算机）与传统力学原理（位移法）相结合的产物。

【例12-2】试求图a所示结构原始刚度矩阵中的子块 K22 ，已知单元 ①的整体坐标的单元刚度矩阵如图c所示。

图12-2

解：本题每个结点有两个基本位知量（竖向线位移和角位移），如图b所示。单元刚度矩阵为44阶（图c）。由图d所示子块形式，K22的元素应为单元①的j端元素（图c右下角子块）与单元②i端元素（图c左上角子块乘以2）之和，即

(2)(1)K22K(jj1)KiiK2236001447200216360072(2)360020000720040000360060000K22 【例12-3】只计弯曲变形时，用先处理法写出结构刚度矩阵K 。(设 EI = 1)

图12-3

解：由图d及先处理法结点位移编号图c写出各单元刚度矩阵，并按“对号入座”规则集成整体刚度矩阵。

k(1)1.51.51.511.51.50.751.500.751.51.52.01.51.0241.5201.51.51.51.500.751.50.751.51(2)1.51.01.52.0321.542k1.5,

2.251.3330.8891.33300.88901.3332.6671.3331.33331.50.8891.3330.8891.3330(3)1.3331.3331.3332.6674k,K0010214.6671.333301.3332.6674

061.51【例12-4】用先处理法写出图a所示结构刚度矩阵K,E=常数。不计轴向变形影响。

图12-4

解：本题虽然是刚架，但不计轴向变形影响，即每一个结点只有一个角位移未知量。根据图b所示结点位移编号，则整体刚度矩阵为33阶。由于每个单元杆端只有角位移未知量，故单元刚度矩阵为22阶的连续梁单刚形式。

420122042EI421EI840EI8420483 k(1)=l242，k(2)=l482，k(3)=l483，K=【例12-5】图示连续梁 ，不计轴向变形 ，EI =常数 ，已知结点位移

Tql12EI3ql8EI4 。试求单元②的杆端力列阵 。

图12-5

解：根据图a的约束条件和图b的结点位移编号，已知给出的结点位移是：

122v3

43vql8EIql12EI3，2，。单元②的杆端力列阵为

有

v11v230F(2)12EI6EI12EI6EIl3 l2 l3 l2 0 ql354EI6EI2EIql2 ql 2 lll12EI12 12EI6EIql4 ql 对 3 2ll8EI72ql4EI 012 称  l

【例12-6】用矩阵位移法求图a所示桁架各杆内力。单元①、②的截面面积为A，单元③的截面面积为2A，各杆E相同。

图12-6

解：桁架每个结点两个线位移未知量（图b）。

•局部坐标系下的单元刚度矩阵为44阶，即

k(e)=

1EA0l101000001000000cossinsincos000cossin000sincos ，T=

•整体坐标系下的单元刚度矩阵为

k(e)TTk(e)T

00由图b可知，单元① 30，sin32，cos12。单元② 45，sin22，

cos22。单元③ 900，sin1，cos0。

333302222222201310EA3122220EA28l338l222222331221(1)(2)2313122222222，k=2 k=

00EA01608l0016k(3)=00001600010162。

•整体刚度矩阵及荷载列阵

PEA0.728550.570060.570062.47855lK=，P=0

•矩阵位移法方程

EA0.728550.57006l0.570062.47855u1v1P=0

u1Pl1.67381v0.38497EA •解方程，得1•计算各杆轴力

(1)(1)F(1)=Tk=

321200120320032012000.6285000PlP12EA1.673810.6285(1)32k0.38497=0（拉）

(2)(2)(2)F=Tk=22220022220000222200220.6442000PlP0.64422EA1.67381(2)20k（拉） 0.38497=

010(3)(3)F(3)=Tk=0100.769900000PlP001EA1.673810.7699010k(3)0（压） 0.38497=00【例12-7】已知图示桁架的自由结点位移列阵 ，求杆12在局部坐标系中的杆端 力 。设E3000kN/cm ，杆12 的横截面积A18cm。

22 613.803610m341.834

图12-7

EA3000kNcm218cm290kN/cm053.16sin0.8cos0.6l600cm解：，，。

F(e)k(e)T(e)=

90090009000.60.800613.80385.3200000.80.600341.834410kN0900000.60.8085.32000000.80.600

【例12-8】 用位移法和矩阵位移法计算图a所示结构。各杆材料及截面均相同，

E2.0108kN/m2，I32105m4，A1102m2。

要求：（1）不考虑轴向变形影响的位移法解。

（2）考虑轴向变形影响的位移法解。

（3）用矩阵位移法(采用先处理法)解。

图12-8

解：（1）不考虑轴向变形影响的位移法求解

不考虑轴向变形影响下，仅有结点1处的角位移未知量Z1。位移法的基本方程为

K11Z1R1P0 系数和自由项由图b、c得

K118EIl128000kN.m，R1Pql212403kN.m

4Z1.042101将系数和自由项由代入位移法的基本方程，并解得 弧度。

由叠加法作弯矩图，即MMPM1Z1。整个结构的弯矩图如图d所示。

（2）考虑轴向变形影响的位移法求解

基本结构如图e所示。位移法的基本方程为

K11Z1K12Z2K13Z3R1P0K21Z1K22Z2K23Z3R2P0K31Z1K32Z2K33Z3R3P0

系数和自由项计算

3455K12EIlEAl1.2105.105.1210kNm 11由图f：

24K210，K316EIl2.410kN

35KK12EIlEAl5.1210kNm， 2211由图g：

K326EIl22.4104kN

由图h：K338EIl128000kN.m

R3Pql212403kN.mR0Rql220kN1P2P由图c：，，

将系数和自由项由代入位移法的基本方程，并解得

5Z14.621106m，Z23.444105m，Z39.85810弧度

考虑轴向变形影响的结构弯矩图如图i所示（剪力图和轴力图未画出）。

（3）用矩阵位移法(采用先处理法)解

用矩阵位移法求解时，单元和结点编号如图j所示。采用先处理法时其整体刚度矩阵为33阶。两单元对应的整体编码如下图所示。

按“对号入座”规则集成结构刚度矩阵

12EIEA0ll12EIEA0ll6EI6EIl2l2K=6EIl26EI2l4EI4EIll

注：（1）单元①局部坐标与整体坐标一致，所以有k(1)k(1)。

090（2）单元②局部坐标与整体坐标的夹角，须进行坐标变换，即

k(e)TTk(e)T。TTk(e)T运算的结果是将k(1)中相关元素作行列交换。另外当局部坐标

与整体坐标的夹角90时，我们也可直接在整体坐标系下进行对换，如图k所示。按先x后y再转角的次序，则可直接在局部坐标的单元上标注相应的整体编码，本题就是采用这一方法。注意到坐标进行了x,y轴交换，sin变号，故副系数须反号。见本题中单元②中送入结构刚度矩阵的元宵K13和K31。

0荷载列阵的集成。方法一是按于是有

PEFFii1n(e)T(e)FTFFF及进行。另一作法是，由PR,

P=

012024033

将结构刚度矩阵K和荷载列阵P基本方程，得与前位移法解得的相同结果，即

=

4.621106u53.44410v9.858105

同样得结构弯矩图如图i所示（剪力图和轴力图未画出）。

【例12-9】试 求 用 矩 阵 位 移 法 求解 图 a所 示 结 构 时 ，结 点 2 的 综 合 结 点 荷 载 列 阵 P2 。

解：刚架每个结点有三个基本未知量（u,v,），同时也有三个方向结点荷载项。

图12-9

（1）结点2的直接结点荷载：P2D01022ql38

（2）结点2的等效结点荷载涉及到单元①、②及③的2端的固端力（见图c、d、e）。按式

PEFFii1n(e)T(e)(e)FTFFFFF（）应首先应计算局部坐标系下的固端反力，而后进行坐

(e)FF标变换得整体坐标系下单元固端反力，再“按对号如座”规则反其符号集成。这里我(e)FF们直接根据图c、d、e求出整体坐标系下的单元固端反力。

由图b及d、e、c得

ql2001ql2100ql2202222ql120ql83ql123ql2107ql2402ql2805222(1)(2)(3)ql123ql89ql12FF=，FF=，FF=6

P2Eql20ql212(1)0ql2ql28(2)ql20ql212(3)ql1ql22ql283

结 点 2 的 综 合 结 点 荷 载 列 阵为

P2P2DP2E00ql2qlqlql2ql28ql801223。

【例12-10】 试 用 先 处 理 法 写 出 图 a所 示 结 构 刚 度 矩 阵 K 。各 杆 杆 长 均 为 l，EI = 常 数 ，自 由 结 点 位 移 分 量 的 编 号 如 图 示 。

图12-10

解：单元①与整体坐标一致。而单元②、③按图b所示整体坐标系下来进行换码（注意到坐标进行了x,y轴交换，sin变号，故副系数须反号），而后按下图“对号入座”规则集成总刚。

EA(1)12EI(2)12EI(3)33lll00K=012EIl3(1)EAEAll(1)6EI2l(2)(3)(1)6EI2l(1)(2)(3)4EI4EI4EIlll

0【例12-11】 用 先 处 理 法 求 图 a所 示 刚 架 的 结 构 刚 度 矩 阵 K ，略去轴向 变 形 影响。

图12-11

解：由图b的位移编号可知，横梁各结点仅有一个x向的水平位移，其变形如图c的所示（这就是“手算”），按“对号入座”规则集成总刚（这就是“机算”）

12EI12EI12EI36EI333l3lll

K=k(1)k(2)k(3)用经典位移法解时，其系数

K1136EIl3。

【例12-12】按先处理法计算图a所示结构的刚度矩阵K。各杆长度为 l，EA、EI 均为相同 。

图12-12

解：单元、结点及位移编号入图b所示。作为理解画出了结点位移的变形图，如图c、d及e所示（这就是“手算”）。按下图“对号入座”规则集成总刚（这就是“机算”）。

EA(1)EA(2)12EI(3)12EI(4)33llll00K=0EAl(3)EAl(4)12EI3l0(1)12EI3l(2)04EI4l 0【例12-13】图示刚架只考虑弯曲变形 ，按先处理法求在荷载和支座位移共同作 用

22EI210kNmP下的结点荷载列阵。已知各杆 。

图12-13

解：图b为结点、单元编号，单元①固端反力如图c所示 ，是由支座位移产生的。

5kN1.5kN6.5kN00002kN.m2kN.mPD=0，PE=0，P=PD+PE=0

2【例12-14】 图 示 刚 架 各 杆 EI64kNm，结点6有支 座 的 水 平 位 移

50.01m，竖 向 位 移 60.01m，忽 略 轴 向 变 形 ，已 求 得 结 点 位 移 为：

410.005208 -0.000547 -0.001719 -0.000547T 。求 单 元 ③ 的 杆 端 内 力 。

图12-14

解：本题有两各特点：

（1） 不计轴向变形影响，单元刚度为44阶，如图b所示，不需坐标变换。

（2） 结点6的支座移动只有5对单元③有影响，将它作为单 元 ③ 杆端位移值，则有

(3)viivjj0.01T00.0052080.000547T

(3)(3)(3)所以 Fk24 12 24 0.010.0706QFC 12 0.1325M 24 64 24 32 0FC 12 240.005208 0.0706QCF12 24 32 24 640.0005470.1500MCF  24 【例12-15】对图示刚架的结点和单元进行编号,并以子块形式写出结构的原始刚度矩阵。

图12-15

解：所谓子块是按单元的始末端点( 结点号)i,j进行分块的。在形式上类似于连续梁的

22的单元刚度矩阵形式，但对于刚架来说，则每一子块又是33阶的。分块单元刚度矩

阵形式为：

对本例有5个结点，故分块总刚应是55的，如图b所示（即将一个结点视为“一个位移子块”）。实际上本题 以结点位移未知量考虑按后处理法，则原始刚度矩阵为1515阶；先处理法整体刚度矩阵为66阶的。

本题小结：

（1）同交于一个结点的各杆件称为该结点的相关单元（例如结点1的相关单元为①、②，结点3的相关单元为③、④）；而两个结点之间有杆件直接联结者称为相关结点（例如1、2；3、4和3、5）。

（2）总刚的主子块（对角线上的子块）Kii是由结点i的各相关单元的主子块叠加求得，

(e)Kiikii即

，如K11、K33所示。

（3）总刚的副子块（非主角线上的子块）Kim，当i、m为相关结点时即为联结它们的单元的相应副子块，即

(e)Kimkim，如K12、K13等；当i、m为非相关结点时即为零子块，如

K14、K15等。

【例12-16】试 用 直 接 刚 度 法 求 图 示 结 构 的 刚 度 矩 阵 K度 为 l 。

图12-16

。各 杆 长

解：本题特点：

（1） 在结点D具有半铰的情况；

（2） 结构中有两类单元（桁架单元DC和刚架单元AD、DB）。

为了统一每一个结点均为三个基本未知量。但桁架单元的杆端是以线位移为基本未知量的，故转角方向为无效未知量，其变号为零，如图b所示。要注意到单元①、②、③在结点D的x、y的位移是一致的，所以结点4、5的u、v编号均为3、4编号。因单元③垂

EAlK344直且为桁架单元，故只能将轴向刚度送如主元中（注：对应的项不送）。按“对

号入座”规则集成结构刚度矩阵K。