直线和圆锥曲线常见题型(精品)

题型五：共线向量问题

解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。

uuuruuurx2y21于P、Q两点，且DP=lDQ,求实数l例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：94的取值范围。

ìïx1=lx2uuuruuur分析：由DP=lDQ可以得到ï，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出íïy=3+l(y-3)2ïî1点的坐标，用l表示出来。

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),

uuuruuurQDP=lDQ

\\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3) ìx1=lx2ï即ï íïy=3+l(y-3)12ïïî方法一：方程组消元法

x2y2又QP、Q是椭圆+=1上的点

9422ìx2y2ïï+=1ïï94ï \\í22ï(lx)(ly+3-3l)ï22+=1ïï4ïî9消去x2，

2(ly2+3-3l)2-l2y2可得=1-l2

4即y2=

13l-5 6l13l-5£2 6l又Q－2£y2£2， \\－2£解之得：

15 5则实数l的取值范围是,5。

51

1

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ的方程为：ykx3,k0，

由ykx3消y整理后，得 224x9y36(49k2)x254kx450

P、Q是曲线M上的两点

(54k)2445(49k2)＝144k2800

即9k5 ① 由韦达定理得：

2x1x254k45,xx 1249k249k2(x1x2)2x1x22

x1x2x2x1542k2(1)2 45(49k2)369k244即 ② 12225(1)9k9k由①得011，代入②，整理得 9k251369， 25(1)515 51。 5解之得

当直线PQ的斜率不存在，即x0时，易知5或总之实数l的取值范围是,5。

51方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

练习：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y焦点，离心率为

12x的425． 5（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA1AF，

MB2BF，求12的值．

例八.如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，

垂足为点Q，且QPQFFPFQ

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知

MA1AF,AF2BF，求12的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(1，y)，由QPQFFPFQ得：

(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C:y24x.

（Ⅱ）设直线AB的方程为：

xmy1(m0).

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M1，2， my24x，联立方程组，消去x得：

xmy1，y24my40，(4m)2120，故

y1y24m， y1y24．由MA1AF，MB2BF得：

y1221y1，y22y2，整理得： mm1122，21， my1my2211 my1y24

122

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

22y1y2 my1y224m m420

解法二：

（Ⅰ）由QPQFFPFQ得：FQ(PQPF)0， (PQPF)(PQPF)0，

22PQPF0，

PQPF

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y24x.

（Ⅱ）由已知MA1AF，MB2BF，得120. MA1则：MB2AF.…………① BF过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，

MAAA1AF则有：.…………②

MBBB1BF1AFAF由①②得：，即120.

2BFBF

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

x2y21(a0)的左、练习1：设椭圆C:2右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，

a2且AF2F1F20，坐标原点O到直线AF1的距离为（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(1,0)，较y轴于点M，若

1|OF1|． 3MQ2QP，求直线l的方程．

x2y21有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线。 练习2：双曲线C与椭圆84（I） 求双曲线C的方程；

(II)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。

8当PQ1QA2QB，且12时，求Q点的坐标。

3练习3：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x24y的

焦点，离心率等于25。 5（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点

P的纵坐标不为0），若PF11F1A,PF22F2B，求12的值。

题型六：面积问题

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

x2y26例题9、已知椭圆C：221（a＞b＞0）的离心率为,短轴一个端点到右焦点

ab3的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求△AOB2面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c6a3，

a3，x2b1，所求椭圆方程为3y21。

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)。 （1）当AB⊥x轴时，AB3。 （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为ykxm。

由已知m31k232，得m24(k21)。

把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，

x6km3(m21)1x23k21，x1x23k21。

AB2(1k2)(x)2(1k2)36k2m212(m21)2x1(3k21)23k21 12(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)(3k21)2(3k21)2 7

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

12k21212343(k0)≤34。 219k6k12369k226k13，即时等号成立。当k0时，AB3， k2k3当且仅当9k2综上所述ABmax2。

133。 当AB最大时，△AOB面积取最大值SABmax222x2y21交于A、B两点，记ABC的面积为S。练习1、如图，直线ykxb与椭圆 4

（Ⅰ）求在k0，0b1的条件下，S的最大值； （Ⅱ）当AB2，S1时，求直线AB的方程。

练习2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

2，F1,F2为其焦点，一直线2过点F1与椭圆相交于A,B两点，且F2AB的最大面积为2，求椭圆的方程。

练习3、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

题型七：弦或弦长为定值问题

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

例题10、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 解法1：

（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程

2x2py为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.

ykxp.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是SABNSBCNSACN212px1x2 2＝px1x2p(x1x2)4x1x2

22222＝p4pk8p2pk2.

当k0时，（SABN）min22p2.

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为O,t与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则OHPQ,O点的坐标为（10

x1y1p,） 22直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

OP＝

112ACx1(y1p)2 221y12p2. 2OHa2y1p12ay1p, 2222PHOPOH

121(y1p2)(2ay1p)2 44p＝(a)y1a(pa),

2=

PQ(2PH)2

=4(a令a2p)y2a(pa). 2pp0，得a,此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22yp， 2即抛物线的通径所在的直线.

解法2：

（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k24p2k28p2

＝2p1k2k22. 又由点到直线的距离公式得d2p1k2.

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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

从而，SABN112pdAB2p1k2k222p2k22, 221k2当k0时，（SABN）max22p2.

（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为

(x0)(xx1)(yp)(yy1)0,将直线方程y=a代入得

x2x1x(ap)(ay1)0, p则＝x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa).221设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有

ppPQx3x44(a)y1a(pa)2(a)y1a(pa).

22令app0,得a,此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22yp. 2即抛物线的通径所在的直线。 练习、（22）（本小题满分14分）

x2y2设椭圆E: 221（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，

ab（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

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