常微分课程论文

常微分方程精确解的F展开法研究

[摘 要]：本文主要探讨了两个方面的内容，一、首先对F展开法进行了比较全面的介绍，F展开法可以看作室Jacobi椭圆函数展开法的全面概括，因为这里的F代表每一个Jacobi椭圆函数，所以该方法叫作F展开法。其次，对F展开法进行了理论推导，由只含正幂项推广到既含有正幂项同时也含有负幂项的F展式。二、以无阻尼单摆运动方程为例，先通过适当变换把无阻尼单摆运动方程化为多项式形式，然后运用F展开法求出三个精确解。

[关键词] ：非线性数学物理方程；F展开法；周期波解

Exact solution of differential equation F expansion method research

Student majoring in Information and computing science Name Jingzhenfang

Tutor ChenXiurong

Abstract：This paper mainly discussed the two aspects of content, firstly, to F expansion method is

researched comprehensively introduces, F expansion method Jacobi elliptic function room can be seen as a comprehensive summary expansion method, because here the F Jacobi elliptic function represent every, so this method called F expansion method. Secondly, to F expansion method for the theoretical derivation, by contained only positive power promotional to contains both are power item also with negative power of the F exhibition type. Second, with no damping pendulum motion equation, for example, go through the appropriate transformation without damping pendulum motion equation into the polynomial form, and then use F expansion method ask out three precise solution.

Key words:Nonlinear mathematical physics equation; F-expansion method;Periodic wave solutions

引言

常微分方程精确解的求解方法常见的有齐次平衡法、Jacobi椭圆函数展开法、双曲

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正切有限展开方法、Painleve有限展开法[1]、Backlund变换法、Darboux变换法、Hirota双线性算子法、反散射方法（IST）、F—展开法等。但是，伴随着现代科学技术的迅猛发展，这些求解方法还是远远不够的。

非线性数学物理方程在现代科学研究中具有重要的理论和实践价值，其精确解的求出已经成为数学物理工作者极为关注的对象之一。 F展开法可用于求解多种类型的非线性数学物理方程或方程组，从常系数非线性发展到变系数非线性方程的求解；从解单个的非线性方程发展到解非线性方程组；从解（1+1）维的问题发展到解决（n+1）(n>1)维的问题，已经得到了一批颇具特色的研究成果。所以也显示出F展开法研究的重要性和必要性。这些精确解的获得将为揭示非线性方程所代表的丰富的物理规律提供重要帮助，对相关科技研究具有特别重要意义，因而国内外一些重要的物理期刊愿意刊登这类文章。

1 F展开法分析

1.1 F展开法综述

F展开法可以看作室Jacobi椭圆函数展开法的全面概括或浓缩，因为这里的F代表每一个Jacobi椭圆函数，所以该方法叫作F展开法。F展开法的主要优点之一是并不需要对具体的Jacobi椭圆函数进行重复的运算（从而达到减小运算量、简便的目的），只需要 解一个非线性方程组，就可以同时得到所考虑的非线性方程的Jacobi椭圆函数表示的周期波解。F展开法可用于求解多种类型的非线性数学物理方程或方程组，从常系数非线性发展到变系数非线性方程的求解；从解单个的非线性方程发展到解非线性方程组；从解（1+1）维的问题发展到解决（n+1）(n>1)维的问题，已经得到了一批颇具特色的研究成果。

1.2 F展开法分析

下面简述利用F-展开法获得非线性波动方程周期波解的方法： 给定非线性偏微分方程（PDE）

Pu,ut,ux,utt,uxt,uxx,0 （1） 其中P为其变元的多项式。采用F-展开法求解方程（1）： 首先，求解（1）的行波解，将（1）化为常微分方程（ODE）。

将行波解ux,tu,kxt,代入（1）即可得到ODE：Pu,u',u'',0 （2）

其中（2）是关于u的常微分方程。 其次，将u展开为F的有限幂级数，

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即F展式：ux,tanFn， (3)

n0N其中aN0，并且是a0,a1,,aN待定常数，F满足ODE

2 F'2PF4 R (4) QF由（1）（2）（3）（4）并借助于MATLAB可以得到（1）的周期波解。

1.3 F展开法的推广

可以将（3）式推广到含负幂的F展开式，即ux,t其中aN,,a1,a0,a1,,aN为待定常数。

nNaF,annNN 0 (5）

由于精确解可以有两个不同的Jacobi椭圆函数表示，那么F展开式可表示为： uanFbnFn1G,aN0 （6）

nn0n1NN其中F，G分别满足

4F'2PFQ1F2R1 （7）14 G'2PGQ2G2R2 （8）2其中（7）（8）的解 和为Jacobi椭圆函数，并且满足

G2F2 （9）

利用（6）（7）（8）（9）可以得到许多新精确解。

F展开法适用于求解多项式形式的非线性数学物理方程，一些非线性方程经适当的变换后可以化为多项式形式的方程，从而可以应用F展开法求解，比如无阻尼单摆的运动方程、n维Klein-Gordon方程等。

1.4 应用F展开法求解无阻尼单摆的运动方程

无阻尼单摆运动方程为 sin0 （10） 方程（10）是非线性的，其精确解难以得到，物理工作者以前通过努力寻求其近似解，

解法有逐步逼近法、李茨平均法、相图解法等，下面来尝试用F展开法求解方程（10）的精确解。

1.4．1通过变换化（10）为多项式形式的方程

做变换

2arctant （11） 将（11）代入（10）得到等价的t的常微分（ODE）

20 （12）

223考虑方程（12）中2与2齐次平衡，那么可以设（12）的解具有形式

aFt,a0 （13）

其中a为待定常数，Ft满足一阶ODE（4）。

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把（13）代入（12）并利用（4）式，可以将（12）的左端化为关于Ft的多项式。 1.4．2F展开法求精确解

通过令上面得到的多项式系数为可以得到关于a的代数方程组

{a1Q2aR0

2a2pa21Q0 （14）

解方程组（14）得到 a1Q 2R1Q0 （15） 2R其中P,Q,R满足的关系为 Q24PR1,且从而可以得到无阻尼单摆运动方程（10）的精确解的浓缩公式 2arctan[1QFt] （16） 2R从浓缩公式（16）中可以分离出方程（10）的各种精确解

取P=-m21m2,Q2m21,R1,那么方程（4）有解Fsdt，代入（16）得（10）的精确

解为

22arctan[msdt] （17）

令m1,2退化为双曲函数表示的精确解

32arctan[sinht] （18） 如果做变换

2arccost （19） 将（19）代入（10）得到等价的t的ODE

222350 （20） 以用上面的方法可以得到双曲函数表示的精确解

42arccos[secht] （21） 如果如果做变换

2arcsint 同样的思路可以得到如下的精确解

52arcsint e c ] （22） [s这样，通过F展开法就得到了无阻尼单摆运动方程（10）的三个精确解，

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分别为（18）（21）（22）。

2 结论

首先，F展开法可以看作Jacobi椭圆函数展开法的浓缩，同时，利用F展开法，不需要计算Jacobi椭圆函数，就可以得到非线性数学物理方程的一些以Jacobi椭圆函数表示的精确解。

其次，一些非线性方程进过适当的变换之后，可以用F展开法求解。本文中的无阻尼单摆运动方程的求解就是通过变换后，利用F展开法求解的。

参考文献

[1] 汤正新，李向正，王明亮 无阻尼单摆运动方程的精确解[J].河南科技大学.2005,26(1):79-82.

[2] 张辉群.齐次平衡方法的扩展及应用闭.数学物理学报，2001:321一325. [3] 刘式达,傅遵涛,刘式适.非线性波动方程的acJboi椭圆函数包络周期解

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