目录
一、选择题的解题方法与技巧 ............................................................................... 2 （一）题型特点概述 ......................................................................................... 2 （二）解题方法例析 ......................................................................................... 2 二、填空题的解题方法与技巧 ............................................................................. 15 （一）题型特点概述 ....................................................................................... 15 （二）解题方法例析 ....................................................................................... 16 三、解答题答题模板 ............................................................................................. 28 （一）三角函数的单调性及求值问题 .......................................................... 29 （二）解析几何中的探索性问题 ................................................................... 30 （三）由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an ............................. 31 （四）函数的单调性、最值、极值问题 ...................................................... 32 四、答题规范 ......................................................................................................... 34 （一）答案规范 ............................................................................................... 34 （二）结论表示要规范 ................................................................................... 35 （三）书写格式要规范 ................................................................................... 36 （四）几何作图要规范 ................................................................................... 38 （五）解题步骤要规范 ................................................................................... 39
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一、选择题的解题方法与技巧
（一）题型特点概述
选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是： (1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一． (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种
以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力． 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断． 数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件． 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．
（二）解题方法例析
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出 正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从 而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接 求解．
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝ 2，则f(99)等于 )
132
A．13 B．2 C.2 D.13 思维启迪 先求f(x)的周期．
13
解析 ∵f(x＋2)＝f(x)，
1313
∴f(x＋4)＝＝13＝f(x)．
f(x＋2)
f(x)
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(
∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.
1313
∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝f(1)＝2.
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有
的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．
1
变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝f(x)， 若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为 ( )
11
A．5 B．－5 C.5 D．－5 11
解析 由f(x＋2)＝f(x)，得f(x＋4)＝＝f(x)，
f(x＋2)
所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)＝f(1)＝－5，
1
从而f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝ f(－1＋2)
11＝f(1)＝－5.
x2y2
例2 设双曲线a2－b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有 一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )
55 A.4 B．5 C.2 D.5 思维启迪
b
求双曲线的一条渐近线的斜率即a的值，尽而求离心率．
y＝kx
解析 设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x＋1相切，联立，2
y＝x＋1
2
bc
整理得x－kx＋1＝0，则Δ＝k－4＝0，解得k＝±2，即a＝2，故双曲线的离心率e＝a＝2
2
c2a2＝
a2＋b2a2＝b
1＋(a)2＝5.
探究提高 关于直线与圆锥曲线位臵关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．
x2y2
变式训练2 已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)，以C的右 焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 ( )
A．a
B．b
C.ab
D.a2＋b2
x2y2b
解析 a2－b2＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－ax，即bx＋ay＝0，而焦点坐标为(c,0)，|b×a2＋b2|
根据点到直线的距离d＝＝b.故选B.
a2＋b2第 3 页 共 41 页
题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进 行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需 要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内 涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正 确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔 容易，但稍不留意则易误入命题者设臵的“陷阱”． 例3 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条 件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－
222
b)；④a·b＝|a||b|；⑤x21y2＋x2y1≤2x1x2y1y2. 其中能够使得a∥b的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条
1
件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－b)，当λ≠2时，整理得a＝
λ＋31
b，故a∥b，当λ＝2时也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为θ，则2λ－1
222
由a·b＝|a||b|cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，所以a∥b；⑤是正确的，由x1y2＋x22y1≤2x1x2y1y2，可得(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.
探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量． 变式训练3 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为 60°. 则假命题为 ( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ B
解析 ①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为假命题． ②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题． ③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a与a＋b夹角为30°，故③为假命题． 题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定 条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点 的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根 据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位臵、 性质，综合图象的特征，得出结论． 例4 (2009·海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最 小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大
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值为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 C 思维启迪
画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂． 解析 由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．
变式训练4 (2010·湖北）设集合
x
x2y2
A＝(x，y)4＋16＝1
，
B＝{(x，y)|y＝3}，则A∩B的子集的个数是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1 A
x2y2
解析 集合A中的元素是椭圆4＋16＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4. 例5 函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数 是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 C 思维启迪
11 若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为f(x)＝2x，而函数y＝f(x)和y＝2x
的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数
1x1xx
解析 方程f(x)·2＝1可化为f(x)＝2，在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和y＝2的
1图象，如图所示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f(x)＝2x有两个实数根．
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探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．
变式训练5 函数y＝|log1 x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，
2
D
则区间[a，b]的长度b－a的最小值是 ( )
3
A．2 B.2 C．3
3
D.4 解析 作出函数y＝|log1 x|的图象，如图所示，由y＝0解得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x
2
113＝4.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－4＝4.
题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图 形、特殊位臵)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各 个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊
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位臵等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对 某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判 断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下 不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或 “小题巧做”的解题策略．
例6 已知A、B、C、D是抛物线y2＝8x上的点，F是抛物线
→→→→→→→
的焦点，且FA＋FB＋FC＋FD＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＋
→ |FD|的值为 ( ) A．2 B．4 C．8 D．16 D
解析 取特殊位置，AB，CD为抛物线的通径，
→→→→
显然FA＋FB＋FC＋FD＝0， →→→→
则|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|＝4p＝16，故选D.
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位臵法，则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．
变式训练6 已知P、Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝
11
90°的两个动点，则OP2＋OQ2等于 ( )
834
A．34 B．8 C.15 D.225 B
3511
解析 取两特殊点P(3，0)、Q(0，5)即两个端点，则OP2＋OQ2＝3＋5＝8.故选B. 例7 数列{an}成等比数列的充要条件是 ( ) A．an＋1＝anq(q为常数) B．a2an＋2≠0 n＋1＝an·
－
C．an＝a1qn1(q为常数)
D．an＋1＝an·an＋2
B
解析 考查特殊数列0,0，„，0，„，
不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项． 故选B.
an＋1
探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看a是否为常数，
n
但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立．
a2n变式训练7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a＝
n
4n－1S2n ，则S的值为 ( )
2n－1n A．2 B．3 C．4 D．8
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解析 方法一 (特殊值检验法)
a1＋a24a23
取n＝1，得a＝1，∴a＝1＝4，
11
S2nS2a1＋a2
于是，当n＝1时，S＝S＝a＝4.
n11
方法二 (特殊式检验法)
2n－1a2n4n－12·
注意到a＝＝，取an＝2n－1，
2n－12·n－1n
1＋(4n－1)
·2n2S2nSn＝1＋(2n－1)＝4.
·n2
方法三 (直接求解法)
a2n－ana2n4n－12n
由a＝，得a＝，
2n－12n－1nn
d(2n－1)nd2n
即a＝，∴an＝，
22n－1n
a1＋a2n
2n2·a1＋a2nS2n于是，S＝＝2· a1＋ana1＋ann
n2·
dd
2＋2(4n－1)＝2·＝4.
dd
2＋2(2n－1)
C
题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目 要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排 除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通 过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的 结论．
例8 方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A．0 解析 当a＝0时，x＝－，故排除A、D. 2 当a＝1时，x＝－1，排除B. 故选C. 探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键．对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，同时提高解题效率． 变式训练8 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴 的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( ) 第 8 页 共 41 页 A．(0,1) C．(－∞，1) B．(0,1] D．(－∞，1] 1 解析 令m＝0，由f(x)＝0得x＝3适合，排除A、B. 令m＝1，由f(x)＝0得：x＝1适合，排除C. 题型六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过 程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值 特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断， 这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了 思维的层次． x≤0例9 若A为不等式组y≥0 y－x≤2 表示的平面区域，则当a从 －2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域 的面积为 ( ) 37 A.4 B．1 C.4 D．2 解析 如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB1 ＝2×2×2＝2小，故选C项． 答案 C 探究提高 “估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半． 变式训练9 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离 等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 ( ) 168 A.9π B.3π 64 C.4π D.9π 第 9 页 共 41 页 2316 解析 ∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝3，则S球＝4πR2≥4πr2＝3π>5π，故选D. 规律方法总结 1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证 法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解 选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述 一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧 做”上做文章，切忌盲目地采用直接法． 2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性 强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯 定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃． 3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用 其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效 地提高解选择题的能力. 知能提升演练 1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁NB)等 于 ( ) A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3} 解析 由于3∈∁NB，所以3∈A∩(∁NB) ∴排除B、C、D，故选A. 2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果 c∥d，那么 ( ) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析 当k＝1时，c＝a＋b，不存在实数λ，使得a＝λb.所以c与d不共线，与c∥d矛盾．排除A、B；当k＝－1时，c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，所以c∥d，且c与d反向．故应选D. ππ3．已知函数y＝tan ωx在－2，2内是减函数，则( ) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 B 解析 可用排除法，∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A、C，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π， ππ ∴y＝tan ωx在－2，2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D，故选B. 4．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于 任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( ) A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(－∞，0) 第 10 页 共 41 页 解析 当m＝1时，f(x)＝2x2－6x＋1，g(x)＝x，由f(x)与g(x)的图象知，m＝1满足题设条件，故排除C、D. 当m=2时，f(x)=4x2-4x+1, g(x)=2x,由其图象知， m=2满足题设条件，故排除A. 因此，选项B正确． →→→ 5．已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝ →→ (2cos α，2sin α)，则向量OA与向量OB的夹角的 取值范围是 π5ππ A．[0，4] B．[12，2] π5ππ5πC．[4，12] D．[12，12] →解析 ∵|CA|= ( ) 2，∴A的轨迹是⊙C，半径为2. →→πππππ 由图可知∠COB＝4，设向量OA与向量OB的夹角为θ，则4－6≤θ≤4＋6，故选D. 答案 D 6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数 f(x)，f(x)≤K， K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|， K，f(x)>K. 1 当K＝2时，函数fK(x)的单调递增区间为 ( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 11 解析 函数f(x)＝2－|x|＝(2)|x|，作图f(x)≤K＝2⇒x∈(－∞，－1]∪[1,＋∞),故在(－∞,－1)上是单调递增的,选C项． 第 11 页 共 41 页 7．设x，y∈R，用2y是1＋x和1－x的等比中 项，则动点 (x，y)的轨迹为除去x轴上点的 ( ) A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆 解析 (2y)2＝(1－x)(1＋x)(y≠0)得x2＋4y2＝1(y≠0)． 8．设A、B是非空数集，定义A*B＝{x|x∈A∪B且 x∈A∩B}，已知集合A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x， x>0}，则A*B等于 ) A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1] D．[0,2] 解析 A＝R，B＝(1，＋∞)， 故A*B＝(－∞，1]，故选C. 9．(2010·福建)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x22 a2－y ＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一 点，则OP→·FP→ 的取值范围为 A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞) C．[－77 4，＋∞) D．[4，＋∞) B 解析 由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3， ∴双曲线方程为x22 3－y＝1.设P(x，y)(x≥3)， OP→·FP→＝(x，y)·(x＋2，y) ＝x2＋2x＋y2＝x2 ＋2x＋x2423－1＝3x＋2x－1(x≥3)． 第 12 页 共 41 页 ( ( ) 4 令g(x)＝3x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23. →→∴OP·FP的取值范围为[3＋23，＋∞)． 10．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋„＋a101＝0，则有 ( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a102<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 解析 取满足题意的特殊数列an＝0，则a3＋a99＝0，故选C. 11．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－ 12a8的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析 令等差数列{an}为常数列an＝16. 显然a1 7－2a8＝16－8＝8. 故选C. 12．若1<1 ab<0，则下列不等式：①a＋b ③a 解析 取a＝－1，b＝－2，则②、③不正确，所以A、B、D错误，故选C. 13.(2010·全国)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆 时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度 为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图 象大致为 ( 第 13 页 共 41 页 ) 解析 观察并联想P运动轨迹与d的关系， 当t＝0时，d＝2，排除A、D；当开始运动时d递减，排除B. C 2x 14．若函数f(x)＝x2＋1－a＋4a的最小值等于3，则实数a的 值等于 ( ) 33 A. 4 B．1 C. 4或1 D．不存在这样的a 解析 方法一 直接对照法 x2令2＝t，则t∈[0,1)． x＋1 若a≥1，则f(x)＝|t－a|＋4a＝5a－t不存在最小值； 3 若0≤a<1，则f(x)＝|t－a|＋4a，当t＝a时取得最小值4a，于是4a＝3，得a＝4符合题意； 若a<0，f(x)＝|t－a|＋4a＝t＋3a，当t＝0时取得最小值3a，于是3a＝3，得a＝1不符合题意． 3 综上可知，a＝4. 方法二 试验法 2x 若a＝1，则f(x)＝x2＋1－1＋4>4，显然函数的最小值不是3，故排除选项B、C；若a 2 33x23x ＝4，f(x)＝x2＋1－4＋3，这时只要令2－4＝0，即x＝±3，函数可取得最小值3， x＋1 因此A项正确，D项错误． A m－34－2mπθ 15．已知sin θ＝，cos θ＝(2<θ<π)，则tan2等于 m＋5m＋5 ( ) m－3m－31 A. B．|| C. 3 D．5 9－m9－m D 解析 由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，故m为一确定的值，于是sin θ，cos θ的值应 θππθπθ 与m的值无关，进而tan 2的值与m无关，又2<θ<π，4<2<2，∴tan2>1，故选D项． 16．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么 第 14 页 共 41 页 y＝f(x)，y＝g(x)图象可能是 ( ) 解析 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B项，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以验证y＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快． 答案 D 二、填空题的解题方法与技巧 （一）题型特点概述 填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同． 1． 填空题的类型 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写． 2．填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空 第 15 页 共 41 页 题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活． 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫． 3．解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等． （二）解题方法例析 题型一 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性 质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结 论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意 识地采用灵活、简捷的解法． 例1 在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列 {an}的前n项和Sn的最小值为________． 思维启迪 计算出基本量d，找到转折项即可． 解析 设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13， 5∴d＝9. ∴数列{an}为递增数列． 532 令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤ 95， ∵n∈N*. 29 ∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－3. 29 答案 －3 探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值． 变式训练1 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6 ＝11，则S7＝________. 49 7(a1＋a7) 解析 方法一 S7＝ 2 7(a2＋a6)7×(3＋11)＝＝＝49. 22故填49. 第 16 页 共 41 页 a2＝a1＋d＝3，a1＝1， 方法二 由可得 a＝a＋5d＝11d＝2，61 ∴a7＝1＋6×2＝13. 7(a1＋a7)7×(1＋13)∴S7＝＝＝49. 22 故填49. 题型二 特殊值法 特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从 特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定 值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位臵、特殊图形、 特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一 般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给 出时，特例法尤其有效． 例2 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c， (sin A－sin C)(a＋c) 且满足＝sin A－sin B，则C＝_______. b 思维启迪 题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角C的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小． (sin A－sin C)(a＋c) 解析 容易发现当△ABC是一个等边三角形时，满足＝sin A－sin B， b 而此时C＝60°，故角C的大小为60°. 答案 60° 探究提高 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可用直接法求解如下： (sin A－sin C)(a＋c)由＝sin A－sin B可得 b (a－c)(a＋c)222222 ＝a－b，整理得，a－c＝ab－b，即a＋b－c＝ab.由余弦定理，得cos C＝b a2＋b2－c21 . 2ab＝2，所以C＝60° 变式训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 cos A＋cos C b、c，如果a、b、c成等差数列，则＝ 1＋cos Acos C 4 5 ________. cos A＋cos C44 解析 方法一 取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cos A＝5，cos C＝0，＝. 1＋cos Acos C5π1cos A＋cos C4 方法二 取特殊角A＝B＝C＝3，cos A＝cos C＝2，＝. 1＋cos Acos C5 第 17 页 共 41 页 例3 如图所示，在△ABC中,AO是BC边上 →→ 的中线，K为AO上一点，且OA＝2AK, 过点K的直线分别交直线AB、AC于不同 →→→→ 的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n ＝________. 思维启迪 题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值是变化的，但从题意看m＋n的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解． →→ 解析 当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵OA＝2AK，∴K是 →→→→ AO的中点)．这时由于有AB＝mAM，AC＝nAN，因此m＝n＝2，故m＋n＝4. 答案 4 探究提高 本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但m＋n的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位臵得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题． →→→ 变式训练3 设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB， 则△AOB与△AOC的面积之比为______． 解析 采用特殊位置，可令△ABC为正三角形， →→→ 则根据OA＋OC＝－2OB可知， O是△ABC的中心，则OA＝OB＝OC， 所以△AOB≌△AOC， 即△AOB与△AOC的面积之比为1. 题型三 图象分析法(数形结合法) 依据特殊数量关系所对应的图形位臵、特征，利用图形直 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的 几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过 程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形 状、位臵、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多 问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既 浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容 例4 已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个 第 18 页 共 41 页 12 考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n和x轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解． 解析 如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D. 17 因为xA＝4，则xD＝4. 35 又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝4，xC＝4. 17351 故|m－n|＝|4×4－4×4|＝2. 1 首项为4的等差数列，则|m－n|的值等于________． 思维启迪 探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法． 变式训练4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x), 且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间 [－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋ x4＝________. -8 解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3,x4，不妨设x1 例5 函数y＝f(x)的图象如图所示，其定义 f(x) 域为[－4,4]，那么不等式sin x≤0的解集 为__________________________________． π [－4，－π)∪(－π，0)∪[2，π) f(x)≤0，f(x)≥0，f(x) 解析 sin x≤0⇔或在给出的坐标系中，再作出y＝sin x在 sin x>0，sin x<0，[－4,4]上的图象，如图所示,观察图象即 π 可得到所求的解集为[－4，－π)∪(－π，0)∪[2，π)． 探究提高 与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解． π2 变式训练5 不等式（|x|- ）·sin x<0，x∈[-π,2π］的解集 为 . ππ(π,)(0,)(π,2π) 22第 20 页 共 41 页 π2 解析 在同一坐标系中分别作出y=|x|- 与y=sin x的图象： 根据图象可得不等式的解集为： ππ(π,)(0,)(π,2π)22 题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语 言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌 生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出 正确的结果． 2 x－4x＋6， x≥0 例6 设函数f(x)＝，若互不相等的实 3x＋4， x<0 数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值 范围是________． 思维启迪 将问题转化为y＝m与y＝f(x)有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围． 解析 本题可转化为直线y＝m与函数f(x) 的图象有三个交点,y＝x2－4x＋6在[0,＋∞) 的最小值为f(2)＝2，故2 222 令3x＋4＝2，得x＝－3，则－3 ＋x3<0＋4，即x1＋x2＋x3的取值范围是(3，4)． 第 21 页 共 41 页 10 答案 (3，4) 探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标．本题转化的关键就是将研究x1＋x2＋x3的取值范围问题转化成了直线y＝m与曲线y＝f(x)有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质解决． ax－1 变式训练6 已知关于x的不等式<0的解集是(－∞,－1) x＋1 1 ∪(－2，＋∞)，则a的值为________． ax－1 变式训练6 已知关于x的不等式<0的解集是(－∞,－1) x＋1 1 ∪(－2，＋∞)，则a的值为________． 题型五 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性 构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复 杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基 本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括， 积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵 感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型， 使问题快速解决． π 2sin(x＋4)＋2x2＋x 例7 函数f(x)＝的最大值为M，最小值 2x2＋cos x 为m，则M＋m＝________. 思维启迪 直接求f(x)的最大值、最小值显然不可取． 化简f(x)＝1＋ x＋sin xx＋sin x ，构造新函数g(x)＝利用g(x)的奇偶性求解． 2x2＋cos x2x2＋cos x 解析 根据分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式， x＋sin x f(x)＝1＋2，f(x)－1为奇函数， 2x＋cos x 第 22 页 共 41 页 则m－1＝－(M－1)，∴M＋m＝2. 探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用．注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解． sin x 变式训练7 已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos x＋3，若f(lg a)＝ 1 4，则f(lg a)的值等于________． sin x1 解析 f(x)＝sin xcos x＋cos x＋3＝2sin 2x＋tan x＋3，若 1 令g(x)＝2sin 2x＋tan x，则g(x)是一个奇函数．由f(lg a) 1 ＝4,得g(lg a)＋3＝4,∴g(lg a)＝1.于是g(lg a)=g(－lg a) 11 ＝－g(lg a)＝－1，故f(lg a)＝g(lg a)＋3＝－1＋3＝2. 例8 已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取 值范围是__________． 思维启迪 考虑到已知条件中出现了两个正数a和b的乘积ab以及和a＋b，可与一元二次方程的根联系起来构造方程进行求解． 解析 ∵a、b是正实数且ab＝a＋b＋3， 故a、b可视为一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个根， 其中a＋b＝m，ab＝m＋3. 要使方程有两个正根，应有m>0， m＋3>0， Δ＝m2－4m－12≥0， 解得m≥6，即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是[6，＋∞)． 变式训练8 若抛物线y＝－x2＋ax－2总在直线y＝3x－1的下 方，则实数a的取值范围是________ 解析 构造不等式，依题意知，不等式－x2＋ax－2<3x－1在R上恒成立，即x2＋(3－a)x＋1>0在R上恒成立． 故Δ＝(3－a)2－4<0，即a2－6a＋5<0， 解得1 2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的 唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面： (1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有 据、准确； (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论； 第 23 页 共 41 页 (3)要重视对所求结果的检验. 知能提升演练 x－1 1．设全集U＝R，A＝{x|>0}，∁UA＝ [－1，－n]，则 x＋m m2＋n2＝________. 解析 由∁UA＝[－1,－n],知A＝(－∞，－1)∪(－n,＋∞)， x－1 即不等式>0的解集为(－∞,－1)∪(－n，＋∞),所以 x＋m －n＝1,－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，故m2＋n2＝2. 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1 ＋log3a2＋„＋log3a10＝________. 解析 特殊化法：尽管满足a5·a6＝9的数列有无穷多，但所求结果应唯一的，故只需选取一个满足条件的特殊数列a5＝a6＝3，则公比q＝1就可以了．原式＝log3(3·3·3·„·3)＝log3310＝10. 3．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列 的通项an＝________. 解析 由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)， an＋1＋3即＝2. an＋3 所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3. 4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则 cos〈a，b〉＝________. 1－2 →→→→→ 解析 设正三角形△ABC中，BA＝a，AC＝b，BC＝c，所以BA与AC的夹角为120°，所以 1 cos〈a，b〉＝cos 120°＝－2. Sn5．设等差数列{an}，{bn}的前n项的和分别为Sn与Tn，若T n 2nan ＝，则＝________. bn3n＋1 2n－1 3n－1 解析 因为等差数列的前n项和公式为Sn＝a1n＋ n(n－1)d 2 第 24 页 共 41 页 d1 ＝2n2＋(a1－2d)n，故可设Sn＝2n·n，Tn＝(3n＋1)·n，则可得an＝4n－2，bn＝6n－2， an4n－22n－1∴b＝＝. n6n－23n－1 6．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， →→→→ OH＝m(OA＋OB＋OC)，则实数m＝____. 解析 (特殊值法)当∠B＝90°时,△ABC为直角三角形, O为AC中点．AB、BC边上高的交点H与B重合． →→→→→ OA＋OB＋OC＝OB＝OH，∴m＝1. 7．(2010·湖南)若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个 正整数m使得am ∴((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4＝22，((a3)*)*＝9＝32，„，((an)*)* ＝n2. {(an)*}{0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,,3,n,,n}.1个3个5个7个(2n1)个 1 8．直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－4x＋1的交点在第一象限， 则k的取值范围是________． 解析 因为y＝kx＋3k－2，即y＝k(x＋3)－2，故直线过定点P(－3，－2)，而定直线y＝1 －4x＋1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0)，B(0,1)． 2 如图所示，求得7 (0，3) 解析 如图所示，设AB边长为x，固定 △BCD，让△ACD绕CD转动.当点A， x→B时，x→0；当点A→A1(正△A1CD 与△BCD)共面时，x→3.故x∈(0，3)． 10．(2010·陕西)观察下列等式：1＋23＝32,13＋23＋33＝62, 13＋23＋33＋43＝102，„，根据上述规律，第五个等式为 ________________________________． 3 解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，„，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 11．设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1∈D存在唯 f(x1)＋f(x2) 一的x2∈D，使＝C(C为常数)成立，则称函数 2 f(x)在D上的均值为C.下列五个函数：①y＝4sin x；②y＝ x3；③y＝lg x；④y＝2x；⑤y＝2x－1，则满足在其定义域 上均值为2的所有函数的序号是_______． ②③⑤ 第 26 页 共 41 页 1＋2＋3＋4＋5＋6＝213333332 解析 因为要求函数的均值为2，所以满足条件的函数的函数值必须能关于2对称，而y＝2x的值域为(0，＋∞)，故④不符合题意；又y＝4sin x是周期为2π的函数，即若存在任 f(x1)＋f(x2) 意的x1∈D，x2∈D，使＝C(C为常数)成立，则一定存在x3＝2π＋x2∈D，使 2 f(x1)＋f(x3) ＝C(C为常数)成立，不满足唯一性，故①不对 2 2．圆x2＋y2＝1的任意一条切线l与圆x2＋y2＝4相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则x1x2＋y1y2 ＝________. 解析 如图，△AOB中， OA＝OB＝2， OC⊥AB，OC＝1， 因此∠AOB＝120°. →→ 所以x1x2＋y1y2＝OA·OB →→＝|OA|·|OB|cos 120°＝－2. 13．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足 2 2Sn＝2pan＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为 ________． n＋1an＝2 解析 ∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p， 即2＝2p＋1－p，得p＝1. 2 于是2Sn＝2an＋an－1. 22 当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2an－2an－1＋an－an－1，整理， 1 得2(an＋an－1)·(an－an－1－2)＝0. 11n＋1 又∵an>0，∴an－an－1＝2，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·2＝2. 第 27 页 共 41 页 x 14．已知f(x)＝x＋log2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(8) 9－x 的值为________． x 解析 由于f(x)＝x＋log2， 9－x9－xx 所以f(9－x)＝9－x＋log2x＝9－x－log2， 9－x 于是有f(x)＋f(9－x)＝9. 从而f(1)＋f(8)＝f(2)＋f(7)＝f(3)＋f(6) ＝f(4)＋f(5)＝9. 故原式值为9×4＝36. 15．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝5∶6∶8，那么此 三角形最大角的余弦值是_________． 1－ 20 解析 由正弦定理得a∶b∶c＝5∶6∶8， 令a＝5，b＝6，c＝8，则C是最大角， a2＋b2－c225＋36－641 即cos C＝2ab＝＝－ 6020. 16．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时， f(x)＝x2，则方程f(x)＝|log5x|的解的个数为________． 解析 设g(x)＝|log5x|，作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象知两个函数共有5个交点，即方程f(x)＝|log5x|的解的个数为5个． 三、解答题答题模板 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》 第 28 页 共 41 页 为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”． （一）三角函数的单调性及求值问题 π1 例1 已知函数f(x)＝cos2(x＋12)，g(x)＝1＋2sin 2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 思维启迪 π (1)由x＝x0是y＝f(x)的一条对称轴知f(x0)是f(x)的最值，从而得2x0＋6＝ kπ(k∈Z)， kππ 即x0＝2－12(k∈Z)． (2)化简h(x)＝f(x)＋g(x)为h(x)＝Asin(ωx＋φ)或h(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式． (3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间. 规范解答示例 1π 解 (1)由题设知f(x)＝2[1＋cos(2x＋6)]． 因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴， ππ 所以2x0＋6＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－6(k∈Z)． 11π 所以g(x0)＝1＋2sin 2x0＝1＋2sin(kπ－6)． 1π13 当k为偶数时，g(x0)＝1＋2sin(－6)＝1－4＝4； 1π15 当k为奇数时，g(x0)＝1＋2sin6＝1＋4＝4. 1π1 (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝2[1＋cos(2x＋6)]＋1＋2sin 2x 1π31313＝2[cos(2x＋6)＋sin 2x]＋2＝2(2cos 2x＋2sin 2x)＋2 1π3＝2sin(2x＋3)＋2. πππ5ππ 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时， 23212121π3 函数h(x)＝2sin(2x＋3)＋2是增函数． 故函数h(x)的单调递增区 构建答题模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式． 1π11π3 如：f(x)＝2cos(2x＋6)＋2，h(x)＝2sin(2x＋3)＋2. 第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值． 第 29 页 共 41 页 第三步：由sin x、cos x的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题． 第四步：明确规范表述结论． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论. （二）解析几何中的探索性问题 例2 已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的 动直线与椭圆相交于A，B两点． (1)若线段AB中点的横坐标是－1 2，求直线AB的方程； (2)在x轴上是否存在点M， 常数？若存在， 求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 思维启迪 使MAMB.为 (1)设过C(－1,0)的直线方程y＝k(x＋1)，利用待定系数法求k. （2）从假设存在点M（m,0）出发去求 若能找到一个m值使 设正确，否则不正确． MAMB MAMB. 规范解答示例 解 (1)依题意，直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k(x＋1)， 将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5， 消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 36k44(3k21)(3k25)0,①26kx1x23k21.② (2)假设在x轴上存在点M（m，0），使 为常数. (ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知 ＋x6k2 x3k2－512＝－3k2＋1，x1x2＝3k2＋1 . ③ 所以 ＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) 第 30 页 共 41 页 为常数，即假 ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2. (6m－1)k2－5 将③代入，整理得 ＝＋m2 23k＋1 114 2m－3(3k2＋1)－2m－ 3 ＝＋m2 23k＋1 16m＋142 ＝m＋2m－3－. 3(3k2＋1) 注意到 是与k无关的常数，从而有 6m+14=0， 此时 （ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标 分别为 当m= 时，也有 综上，在x轴上存在定点 使 \\ 构建答题模板 第一步：假设结论存在． 第二步：以存在为条件，进行推理求解． 第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设． 第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． 如本题中第(1)问容易忽略Δ>0这一隐含条件． 第(2)问易忽略直线AB与x轴垂直的情况. （三）由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an 例3 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和， 对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正 log3an·log3an＋1 整数n，总有Tn<1. 思维启迪 (1)求出数列{an}的递推关系，由递推关系求通项． (2)化简bn，裂项求和. 规范解答示例 (1)解 ①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3， ∴a1＝3. ②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得， 2Sn－1＝3an－1－3. 两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n. 验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n. ∴{an}的通项公式为an＝3n. 第 31 页 共 41 页 11 ＝ nlog3an·log3an＋1log33·log33n＋1111＝＝n－， (n＋1)nn＋1∴Tn＝b1＋b2＋„＋bn 11111＝(1－2)＋(2－3)＋„＋(n－) n＋1 1 ＝1－<1. n＋1构建答题模板 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1. 第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－ Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项． 第三步：验证当n＝1时的结论适合当n≥2时的结论． 第四步：写出明确规范的答案． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合 (2)证明 ∵bn＝ （四）函数的单调性、最值、极值问题 3 例4 (2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－2x2＋1(x∈R)，其中a>0. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 11 (2)若在区间[－2，2]上，f(x)>0恒成立，求a的取值 范围． 思维启迪 (1)知解析式和切点求切线方程，先求斜率，用点斜式方程求切线方程． （2）根据导数求函数的参数.求导→求导函数的零点→确定导函数在区间中的正、负→确定函数中的参数范围. 规范解答示例 3 解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9. (2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)． 1 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝. a 以下分两种情况讨论： 11 ① 若0 当x∈[－2，2]时，f(x)>0等价于1 f(2)>0， 5－a 8>0，即5＋a8>0. 解不等式组得－5 ②若a>2，则0 当x∈[－2，2]时，f(x)>0等价于1 f(a)>0， 即 22 解不等式组得2 22a构建答题模板 第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R. 第二步：求f(x)的导数f′(x). 第三步：求方程f′(x)＝0的根. 第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区 第 33 页 共 41 页 间，并列出表格. 第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性. 第六步：明确规范地表述结论. 第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为x1＝0， 1 x2＝a.要确定x1，x2与区间端点值的大小，就必须对a进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点. 规律方法总结 高考数学解答题虽然灵活多变，但所考查数学知识、方法，基本数学思想是不变的，题目形式的设置是相对稳定的，因而本讲结合高考的重点，热点介绍了“四大答题模板”，目的是给考生在考前一个回顾如何规范答题的辅助性材料．重点是思维过程、规范解答、反思回顾．结合着具体题型给出了答题程序．希望能够举一反三，对考生答题有所帮助. 四、答题规范 （一）答案规范 在高考试卷的批阅中，很多学生因答题不规范而造成的丢分现象，是屡见不鲜的．要在高考中不丢分或少丢分，考生们必须从答题规范上下功夫．作为有着多年阅卷经验和教学经验的老师，从答题规范的角度，为考生答题的策略、答题中常见的问题与解决方法，进行评点，希望能对学生增分起到帮助． 一、 概念、符号应用要规范 1x， x<01 例1 (2009·北京)若函数f(x)＝，则不等式|f(x)|≥3的解集为 1x(3)， x≥0 __________________． 阅卷现场 甲： 乙： 丙： 丁： 失分原因与防范措施 分析失分的原因，可以归纳为以下几种情况： (1)概念不清，我们知道，分段函数要分段求，也就是要根据定义域分类讨论，而分类讨论 第 34 页 共 41 页 的结果取并集． (2)本题要求是求不等式的解集．解集必须用集合或是区间的形式表述． (3)符号运用不规范．集合表示不能漏掉代表元素．区间表示能合并的要合并． 防范措施：(1)要认真审题、找出分类标准，做到不漏解． (2)注意规范运用数学符号． 正解 x<01 解析 (1)由|f(x)|≥3⇒11⇒－3≤x<0. ||≥x3 x≥0x≥01 (2)由|f(x)|≥3⇒1x1⇒1x1 |()|≥3()≥333 ⇒0≤x≤1. 1 ∴不等式|f(x)|≥3的解集为{x|－3≤x≤1}， ∴应填[－3,1]． 答案 [－3,1] （二）结论表示要规范 x22 例2直线l与椭圆4＋y＝1交于P、Q两点，已知直线 l的斜率为1，则弦PQ的中点的轨迹方程是_____________． 阅卷现场 失分原因与防范措施 本题失分的主要原因：结论表示时，忽视了曲线上点的坐标的取值范围．个别考生错把轨迹方程理解成了轨迹． 防范措施：在解此类题目时，一定要注意方程中变量的范围．实质上就是轨迹与方程的纯粹性与完备性的检验． 正解 x212＋y14＝1， ① 解析 设M(x，y)为PQ的中点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则2 x224＋y2＝1. ② 第 35 页 共 41 页 1 4(x1＋x2)y1－y212x ①－②得kPQ＝＝－＝－4·2y＝1. x1－x2y1＋y2 x 整理得x＋4y＝0，则M(x，－4)． x2x4545 又∵点M在椭圆内，∴4＋(－4)2<1，解得－5 答案 x＋4y＝0(－5 失分原因与防范措施 失分原因：本题难度为中等，本题失分的原因主要是结论表示不准确． 题目要求是：P的轨迹，而很多考生却答成了轨迹方程． 防范措施：要注意求曲线的方程与求轨迹是不同的，若是求轨迹则不仅要求方程，而且还要说明是什么图形、在何处，即图形的形状、位臵、大小都要说清楚，求“轨迹”时首先求出“轨迹方程”，然后再说明对应的图形 正解 解析 设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)． ∵A1，P1，P共线， y－y0y∴＝. ① x－x0x＋3 又A2，P2，P共线， y＋y0y∴＝. ② x－x0x－3 93y 联立①②解得x0＝x，y0＝x， x2y2x2y200代入9＋4＝1，化简得9－4＝1. ∴P点的轨迹是以(±13，0)为焦点，6为实轴长的双曲线． 答案 以(±13，0)为焦点，6为实轴长的双曲线 （三）书写格式要规范 例4 (2009·江苏)如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C. 第 36 页 共 41 页 阅卷现场 失分原因与防范措施 本题失分的原因：主要集中在部分考生对线面平行、线面垂直的判定方法掌握不好．逻辑思维混乱、书写不条理、格式不规范． 本题首先要想到转化思想，就是将：线线平行⇔线面平行⇔面面平行；线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直的转化格式表达清楚．一般来讲，在书写时，用短行(竖式)书写比较好，比较容易找得分点．避免用长行书写，长行使得条件结论(因为，所以)不容易看清．第二，使结论成立的条件，不能漏写．比如在推论EF∥平面ABC时，很多同学缺少EF⊄平面ABC，就要扣1～2分．同样，在证明直线垂直平面时，要写清直线垂直平面内的两条相交直线． 防范措施：在平时学习中，一定要有证明线面位臵关系的转化思想．在考试时，要把文字语言表述转化成符号语言表述．注意书写格式，养成良好的书写习惯．, 正解 证明 (1)∵E，F分别是A1B，A1C的中点， ∴EF∥BC， 又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， ∴EF∥平面ABC. (2)∵BB1⊥平面A1B1C1， ∴BB1⊥A1D， 又A1D⊥B1C， ∴A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D⊂平面A1FD， ∴平面A1FD⊥平面BB1C1C. 第 37 页 共 41 页 （四）几何作图要规范 例5 已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示． (1)证明：BF∥平面ADE； (2)若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论． 失分原因与防范措施 失分原因：不能按照几何作图的法则作图，不能将平面图形规范地转换成空间图形． 防范措施：要掌握直观图的画法法则，注意虚、实线的应用．特别是在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位臵和数量关系不变；位于两个不同平面内的元素、位臵和数量关系要发生变化，充分发挥空间想象能力，在作图时，要体现出不变的位臵和数量关系．如本题中，BE∥CD，在平面图形和空间图 第 38 页 共 41 页 形都应该画成平行的．在平面图形中，BE＝DF＝FC，在空间图形中，仍然画成BE＝DF＝FC.由于没有抓住这些特征，空间图形画的不规范，影响了考生的思维，从而造成失分． (1)证明 ∵E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点， ∴EB∥FD，且EB＝FD， ∴四边形EBFD为平行四边形． ∴BF∥ED. ∵ED⊂平面AED，而BF⊄平面AED， ∴BF∥平面ADE. (2)解 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上． 过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G， 连结GC，GD， ∵△ACD为正三角形， ∴AC＝AD.∴CG＝GD. ∴G在CD的垂直平分线上，EF就是CD的垂直平分线， ∴G在直线EF上． （五）解题步骤要规范 π 例6 已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，2)． 10π (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝10，0<φ<2，求cos φ的值． 阅卷现场 第 39 页 共 41 页 失分原因与防范措施 失分原因：每一步的转化都是有条件的，忽略了转化的条件，从而使解题过程不规范，导致失分． 本题的错误情况有：(1)在推导a·b＝sin θ－2cos θ＝0时，漏写a与b垂直．(2)直接写出了 255π sin θ＝5、cos θ＝5，缺少θ∈(0，2)这一条件． (3)缺少φ＝[θ－(θ－φ)]这一拆分过程． (4)缺少θ－φ的范围，直接由sin(θ－φ)求cos(θ－φ)． 题目虽不算难，但丢分现象严重． 防范措施：在三角函数的求值或化简中，一定要强调角的取值范围和公式成立的条件．“求值先定角”这是防止出错的一条重要原则．解题步骤规范的一个重要标准是：严谨简洁． 正解 解 (1)∵a与b互相垂直， 则a·b＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1， 25 sin θ＝5得 5 cos θ＝5 π又∵θ∈(0，2)， 25 sin θ＝－5或 5 cos θ＝－5 ， 255 ∴sin θ＝5，cos θ＝5. ππ (2)∵0<φ<2，0<θ<2， ππ∴－2<θ－φ<2， 第 40 页 共 41 页 310 则cos(θ－φ)＝1－sin2(θ－φ)＝10， ∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)] 2 ＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝2. 规律方法总结 答题不规范，是高考阅卷中，遇到的最为突出的问题之一．由不规范造成的失分，令人惋惜．在考前有意识地讲练一下答题规范，是十分必要的．通过对考生常见不规范答题的总结，大致有五种，要特别注意．概念、符号应用要规范；结论表示要规范；书写格式要规范；几何作图要规范；解题步骤要规范． 第 41 页 共 41 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容