单摆运动的最大摆角分析

大学物理研究性论文

题 目 作 者 所 属 学 院 专 业 年 级 指 导 教 师 写 作 时 间

单摆运动的最大摆角分析 张耀远、党陕青、罗钧文、李冻玲

化学工程学院

化学工程与工艺10-4创新班 张鹏

职 称 2011-12-18

教授

单摆运动的最大摆角的分析

摘要：本文推导了在一般情况下单摆可近似为周期运动的摆角。基于其公式用传统方法较难求解且误差较大，本文给出了用MATLAB求解该角度的方法，并且进一步分析了摆长、摆角对测量重力加速度的影响，从而确定实验中的摆角范围。

关键词: 单摆 简谐振动 摆长 最大摆角

Abstract: This paper deduced the periodic motion can be approximately the angular in general. Based on its formula is hardly solved by the traditional methods and have much error, This paper uses the MATLAB software to solve the Angle problem, And further analyzes the Cycloid length, Cycloid Angle which have a influence on the measure of gravity acceleration, To determine the scope of the swinging Angle.

前言：单摆问题是高中物理及大学普通物理教学中的一个典型问题。作为一种准简谐振动，该实验具有较高的理论意义及较强的应用价值。应用其解决问题时要满足最小角，方可近似为简谐运动，在理想状态下推导该最小角时遇到了积分上的麻烦，而且会带来系统误差。本文给出了用MATLAB处理该问题的方法。传统的关于最大角给出了多种结论，如：

3,5,10,10.75,15甚至20。单摆最大角的计算和单摆周期的计算紧密相连，而在实际过

程中，单摆的周期要受多种因素影响，这些因素也进而影响最大角。

一、周期和角度的关系

如图所示,设单摆的摆锤处于最低点时势能为零,摆角为时摆锤上升的高度为：

yl1cos (1)

单摆的总的机械能为:

211dEEkEpm2mgyml2mgl1cos (2)

22dt摆锤达到最大摆角时，

d0，其机械能为: dtEmgl1cos0 (3)

不计空气阻力影响,则单摆的机械能守恒,由式(2)、(3)得：

12dmlmgl1cosmgl1cos0 (4) 2dt化简为:

2令ksind2gdt (5)

lcoscos002 sinusin2sin02

则式(5)变为:

由式(6)可得:

20du1k2sin2ug4dt0lgT (6) l4l1223442T4(1ksinuksinu)du (7) 0g28因为k1，sinu1所以可不计式(7)被积函数二次方以上项的影响,于是有

T2

二、最大偏角的影响因素

由上文推出的公式可知：

l1(1sin20) (8) g420lldu2ksin，其中，。理想情况下，周期公式为：，T2T402gg01k2sin2u下面讨论在不同的实验要求精度下求出最大偏角。

在实验中测量重力加速度时，不同摆角对测量重力加速度的结果会产生影响，根据误差传递公式，周期测量误差对重力加速度的影响：D02TT[1]

，结果见表1。 21TT05 9.52 12 54.98 19 138.3 6 13.72 13 64.54 20 153.3 7 18.68 14 74.88 表1 不同摆角对重力加速度测量误差的影响 摆角0 1 0.38 8 24.40 15 86.02 2 1.52 9 30.88 16 97.92 3 3.42 10 38.14 17 110.6 4 6.10 11 46.18 18 124.0 D0/104   摆角0 D0/104摆角0 D0/104 由此可计算出此时的总相对误差：当016时，D110。由此可知，如测量结果要求误差在1%的话，则最大摆角不应超过16。

用matlab可以实现上述的过程，求出误差与摆角的关系图（如图1），也就是解一个椭圆积分：

2T2du2,其中ksin0 D0212222T001ksinu程序：

function y=myfun(x)

y=1/sqrt(1-k*k*sin(u)*sin(u)); y=(4/pi)*y-2; for x=1:2:20 k=sin(x/2.0); quad(@myfun,0,pi/2) fplot(y,[0,pi],'b')

1.15 1.1y/10-41.051 00.511.5x/rad22.53

图1 测量误差与摆角的关系

由此可以得出：当摆角从0到90增加时，测量误差值也不断增加。 三、考虑摆长对测量重力加速度的影响

影响重力加速度测量的因素的系统误差有：复摆D1、空气浮力D2、空气阻力D3、

[2]

它们的计算公式分别为:

12342r21m0rm0，D3 D11，D22422805l6mlm式中：r为摆球半径；l为摆长；m0为摆线质量；m为摆球质量；0为空气密度；为摆球密度；为单摆简谐振动的角频率，2gr,

2ml测量的随机误差包括摆长、周期测量的随机误差D4和D5

在一般的大学物理实验中，常为此种情况。在确定的实验方案下，复摆、空气阻力、空气浮力、摆角的系统误差将是一定的。此时，令复摆、空气浮力、空气阻力及摆角各修正项引起的误差之和为DsD1D2D3D0；摆长及周期的合成测量误差为

122DcD4D5,根据最小误差准则[3]，如果在一定摆角条件下，使DsDc,则各修正

3项忽略。为此，计算了不同摆角下的Ds及Dc的值，见表2。

表2 各修正项误差与摆长、周期合成测量误差的比较 摆角0 2 3 4

DsD1D2D3D0104 0.07 1.83 4.51 DcD4D5104 5.39 5.39 5.39 22从表2中可看出：只有约在03时，才有Ds1Dc，因此，此时摆角应不超过3。3对此种情况的分析还可看出，此时g的测量精度取决于周期及摆长的测量。如果这方面的误差很小，同时取较小的摆角，则g的测量精度就会很高；如果这方面的误差较大，则摆角范围可适当加大，但g的精度则会相应降低。

四、结论

在求单摆作简谐运动时的最大偏角时，可以从计算方法上对公式优化，使公式更加精确化；同时也可以根据实验条件下的一些误差处理准则来确定最大偏角，对于这个最大偏角，不同的实验要求会得到不同的值，这取决于实验所要求的精度大小。

参考文献

[1] 鞠衍清,王殿学. 关于单摆实验最大摆角的讨论. 齐齐哈尔大学学报2006,22(2):81-83

[2] 罗均华，王新兴. 影响单摆振动周期因素的研究[J]. 河西学院学报，2002；5：16～18 [3] 孟尔喜，曹尔弟. 实验误差与数据处理[M]. 上海：上海科学技术出版社，1988；78～

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