湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）
（地市排序不分先后）
一．解答题（共13小题）
1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①SS1S2；②SS3S4；③“十字形”ABCD的周长为1210． 2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3． （1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的
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坐标．
3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2， （1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值； （2）若a=15，求c的取值范围；
（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．
1，连接AF，满2a
4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）． （1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最
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小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣
，0）．
（1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y=
x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点
B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）； （3）在（2）中，若m=
4，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． 3①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
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（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
12
x上一动点． 411（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写
447．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
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8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）． （1）求a值并写出二次函数表达式； （2）求b值；
（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；
（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM
1为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN
3的值；若不存在，请说明理由．
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10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．
12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N． ①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
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湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析
一．解答题（共13小题）
1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①SS1S2；②SS3S4；③“十字形”ABCD的周长为1210． 【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；
（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：
1AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2﹣（AC2+BD2），即可
4得出结论；
（3）由题意得，A（求出S=
，0），B（0，c），C（
，S1=
，0），D（0，﹣ac），
，S2=
11AC•BD=﹣（ac+c）×221OA•OB=﹣21OC•OD=29 / 44
﹣S4=
，S3=
1OA×OD=﹣2，
1OB×OC=﹣2+
，进而建立方程 =
+
，求出a=1，再求出b=0，
进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．
【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直， ∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， ∴平行四边形，矩形不是“十字形”， 故答案为：菱形，正方形； ②如图，
当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∵AB=AD， ∴AC⊥BD，
∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”， 故答案为：不是；
，
（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB， ∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB， ∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB， ∴∠AED=∠AEB=90°， ∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD， ∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=OMEN是矩形，
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11AC，DN=BD，四边形22
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
1∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），
4∵6≤AC2+BD2≤7，
73∴2﹣≤OE2≤2﹣，
4211∴≤OE2≤， 421∴（OE＞0）； 2
（3）由题意得，A（∵a＞0，c＜0， ∴OA=∴S=﹣S3=
，OB=﹣c，OC=
，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），
，OD=﹣ac，AC=，S1=
，BD=﹣ac﹣c，
，S2=
11AC•BD=﹣（ac+c）×22，
1OA•OB=﹣21OC•OD=21OA×OD=﹣2，S4=
1OB×OC=﹣2，
∵SS1S2，SS3S4， ∴
∴4a=2， ∴a=1，
∴S=﹣c，S1=﹣∵SS1S2， ∴S=S1+S2+2S1S2， ∴﹣c=﹣∴﹣∴
+2
， ，S4=﹣
，
+
=
+
，
=﹣c•c， =4c，
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∴b=0，
∴A（﹣c，0），B（0，c），C（c，0），d（0，﹣c）， ∴四边形ABCD是菱形， ∴4AD=1210， ∴AD=310， 即：AD2=90， ∵AD2=c2﹣c， ∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9或c=10（舍）， 即：y=x2﹣9．
2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3． （1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
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【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=
1x，直线AB的解析式为2得N（
4t，3y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组
21t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=•4•t3212﹣•t•t，然后根据二次函数的性质解决问题； 2313（3）设Q（m，m2﹣m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO
42131∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣
42431m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标． 22【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3， ∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
1把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，
4113∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；
442（2）设M（t，0）， 易得直线OA的解析式为y=
1x， 2设直线AB的解析式为y=kx+b， 把B（6，0），A（8，4）代入得
，解得
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，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12， ∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t， ∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
42t，t）， 33解方程组得，则N（
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
112•4•t﹣•t•t 2231=﹣t2+2t
31=﹣（t﹣3）2+3，
3=
当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）； （3）设Q（m，
123m﹣m）， 42∵∠OPQ=∠ACO， ∴当
=
时，△PQO∽△COA，即
=
，
13∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，
4213解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，0）；
4213解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
42∴当∴PQ=
=
时，△PQO∽△CAO，即
=
，
1131PO，即|m2﹣m|=|m|， 2422131解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
422131解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=4，此时P点坐标为（4，0）；
422综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴
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相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2， （1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值； （2）若a=15，求c的取值范围；
（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．
1，连接AF，满2a
【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；
（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；
（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=
，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△
ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值． 【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣
=﹣
=3，解得：a=
5； 2（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c， ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴△＞0， ∴△=b2﹣4ac=∴c＜
﹣4×15c，
5； 415 / 44
（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°， ∴tan60°=∴OB==
=3，
3c， 33c，0）， 3∴B（
3ac23c2把B（c，0）代入y=ax﹣53x+c中得：-53+c=0， 333ac2﹣5c+c=0， 3∵c≠0， ∴ac=12， ∴c=把c=
，
代入y=ax2﹣53x+c中得：
+，x2=
）=a（x﹣，
，0），D（0，，AE=，
，
），
）（x﹣
），
y=a（x2﹣∴x1=∴A（∴AB=
，0），B（﹣
=
∵F的纵坐标为3+∴F（
，
），
过点A作AG⊥DB于G， ∴BG=
1AB=AE=2﹣
，AG=
=
9， 2a，
DG=DB﹣BG=
∵∠ADB=∠AFE，∠AGD=∠FEA=90°， ∴△ADG∽△AFE，
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∴，
∴=，
∴a=2，c=6， ∴y=2x2﹣53x+6．
4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）． （1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
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【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可． 【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4， 把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4， a=﹣1，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3； （2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小， ∵E（0，3）， ∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y=3x﹣3， 当x=1时，y=3×1﹣3=0， ∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0）， 易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，
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过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3）， ∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3， ∵AD∥NH， ∴∠DAB=∠NQM， ∵∠ADB=∠QMN=90°， ∴△QMN∽△ADB， ∴∴∴MN=﹣∵﹣
，
，
（m﹣2）2+
，
＜0，
∴当m=2时，MN有最大值； 过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°， ∴△NGP∽△ADB，
21=， 4211∴PG=NG=m，
22∴
=
13m=﹣m2+m+3， 22113∴S△PON=OP•GN=（﹣m2+m+3）•m，
2221当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．
2∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣
（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理
1得：EP=EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．
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5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣
，0）．
（1）求抛物线F的解析式； （2）如图1，直线l：y=
x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点
B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）； （3）在（2）中，若m=
4，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2． 3①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式； （2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值； （3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标． ①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；
②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论． 【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣
3，0）， 3∴，解得：，
3x． 3∴抛物线F的解析式为y=x2+（2）将y=33x+m代入y=x2+x，得：x2=m， 33解得：x1=﹣m，x2=m，
113m+m，y2=3m+m， 33112∴y2﹣y1=（． 3m+m）﹣（﹣3m+m）=3m（m＞0）
3334（3）∵m=，
3∴y1=﹣∴点A的坐标为（﹣
23232，），点B的坐标为（，2）． 333∵点A′是点A关于原点O的对称点， ∴点A′的坐标为（
232，﹣）． 3321 / 44
①△AA′B为等边三角形，理由如下： ∵A（﹣
23232322，），B（，2），A′（，﹣）， 33333888∴AA′=，AB=，A′B=，
333∴AA′=AB=A′B，
∴△AA′B为等边三角形． ②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（23，2）； 3，
（ii）当AB为对角线时，有
解得：，
∴点P的坐标为（﹣
2310，）； 33（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
23，﹣2）． 322 / 44
∴点P的坐标为（﹣
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，2310232）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．
3333
6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
23 / 44
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
24 / 44
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
1393327PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+． 2222283②∵﹣＜0，
2327∴当t=时，S取最大值，最大值为．
28∴S=
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=
=32，
315，）． 24∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（
25 / 44
12
x上一动点． 411（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写
447．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式． （2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；
②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题． 【解】：（1）∵抛物线y=
1（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1） 426 / 44
1∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物
41线y=x2的图象．
4（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立． 如图一，过点P作PB⊥y轴于点B
设点P坐标为（a，
12a） 41∴PM=PF=a2+1
4∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1
∴点F坐标为（0，1） ②由①，PM=PF
QP+PF的最小值为QP+PM的最小值
当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
∴QP+PF的最小值为6．
8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）． （1）求a值并写出二次函数表达式； （2）求b值；
27 / 44
（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；
（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；
（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；
11（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，
44由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；
（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=为直径的圆与x轴相切．
【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），
11MH，进而可得出PF=MN，由此即可得出以MN221∴2=4a+1，解得：a=，
41∴二次函数表达式为y=x2+1．
4（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）， ∴2=k×0+b， ∴b=2．
（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示． 设点M的坐标为（x，
121x+1），则MC=x2+1， 4428 / 44
∴ME=|x|，EB=|∴MB=====
121x+1﹣2|=|x2﹣1|， 44， ，
， ，
12
x+1． 4∴MB=MC．
（4）相切，理由如下：
过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示． 由（3）知NB=ND， ∴MN=NB+MB=ND+MC．
∵点P为MN的中点，PQ∥MH， ∴PQ=
1MH． 2∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角， ∴四边形NDCH为矩形， ∴QF=ND，
1111∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN．
2222∴以MN为直径的圆与x轴相切．
29 / 44
9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）． （1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM
1为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN
3的值；若不存在，请说明理由．
【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；
（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=17，BC=25，BD=25，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
30 / 44
（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到
1（m+1）（﹣22m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=
65，5再根据三角形面积公式计算出MN=
25，然后利用正切定义计算tan∠MAC的3值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=
6575，利用勾股定理可计算出BH=，证明△BNM∽△BHA，利用相55似比可得到MN=•
，利用三角形面积公式得到
1•（17﹣t）2=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得
5到tan∠MAN的值为1或4或．
9【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2． 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4； （2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=17，BC=25，BD=25， ∴△BCD为等腰三角形，
1∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；
3（3）存在．
31 / 44
11易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=AC•OB=×3×4=6，
22M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1，
1∴△AMN的面积为△ABC面积的，
31∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1， 2当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan∠MAC=
=4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan∠MAC=
=1；
②当N点在BC上，如图2， BC=
=25，
=65， 511∵BC•AN=AC•BC，解得AN=221∵S△AMN=AN•MN=2，
2∴MN=
=
25， 3∴∠MAC==
5=； 9③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t， 由②得AH=65，则BH=5=75， 5∵∠NBG=∠HBA， ∴△BNM∽△BHA， ∴
=
，即
=
，
∴MN=，
32 / 44
1∵AN•MN=2， 21即•（17﹣t）•2=2，
整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
5综上所述，tan∠MAN的值为1或4或．
9
10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
33 / 44
【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项
1系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到
31直线PC的解析式为y=﹣x+3，再解方程组
3得此时P点坐标；当
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q， 把A（﹣1，0），C（0，3）代入得∴直线AC的解析式为y=3x+3； （2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
34 / 44
，解得，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0）， ∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2， ∵直线AC的解析式为y=3x+3，
1∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
3把C（0，3）代入得b=3，
1∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
3解方程组
，解得
或
，则此时P点坐标为（
720，）； 391过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
311把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
3311∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
33解方程组
，解得
或
，则此时P点坐标为（
1013，﹣）， 39综上所述，符合条件的点P的坐标为（
7201013，）或（，﹣）， 393935 / 44
11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；
（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．
【学会思考】（1）应用待定系数法； （2）利用相似三角形性质分类讨论求解；
36 / 44
（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解； （4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．
【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5） 把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得
解得
∴抛物线的解析式为：y=
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=∴OC=
，OB=52
333，则点C坐标为（，） 222当△OBA∽△OCP时，
∴∴OP=
9 10当△OBA∽△OPC时，
∴∴OP=5
∴点P坐标为（5，0）或（
9，0） 10（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°
37 / 44
∴△MEN为等腰直角三角形．
当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形 ∴点E′坐标为（a﹣b，b） ∵EE′平行于x轴
∴E、E′关于抛物线对称轴对称 ∵∴b=2a﹣3
则点N坐标可化为（a，2a﹣3） 把点N坐标带入y=得： 2a﹣3=解得 a1=1，a2=6
∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9
9由函数解析式可知函数最小值为﹣
89∴﹣＜6
8∴a=6舍去
则点N坐标为（1，﹣1） 把N坐标代入y=x+c 则c=﹣2
∴直线l′的解析式为：y=x﹣2 （4）由（3）K点坐标为（0，﹣2） 则△MOK为等腰直角三角形
∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′ ∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形 ∴F坐标为（2，0）或（﹣2，﹣4）
12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过
38 / 44
A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N． ①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【学会思考】（1）①如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为M的坐
191标为（，），然后计算自变量为对应的一次函数值可得到N点坐标；
2223②易得MN=，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），则PD=
2﹣2m2+4m，由于PD∥MN，根据平行四边形的判定方法，当PD=MN时，四边形
33MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，求出m得到此时P点坐标为（，1），
22接着计算出PN，然后比较PN与MN的大小关系可判断平行四边形MNPD是否为菱形；
（2）如图2，利用勾股定理计算出AB=25，再表示出P（1，2），则可计算出PB=5，接着表示出抛物线解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2﹣a），所以PD=﹣a，由于∠DPB=∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当即式．
【解】：（1）①如图1，
39 / 44
=时，△PDB∽△BOA，即=；当=时，△PDB∽△BAO，
=，然后利用比例性质分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析
129）+， 2219∴顶点为M的坐标为（，），
22111当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）；
222∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣②不存在． 理由如下：
93MN=﹣3=，
22设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4）， ∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m， ∵PD∥MN，
31当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=（舍
2233去），m2=，此时P点坐标为（，1），
22∵PN=∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形； （2）存在．
如图2，OB=4，OA=2，则AB=
=25，
=5，
当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2）， ∴PB=
=5，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，
当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a）， ∴PD=2﹣a﹣2=﹣a， ∵DC∥OB， ∴∠DPB=∠OBA，
40 / 44
∴当=时，△PDB∽△BOA，即=，解得a=﹣2，此时抛物线解析式
为y=﹣2x2+2x+4； 当y=﹣
=
时，△PDB∽△BAO，即
=
，解得a=﹣
5，此时抛物线解析式为252
x+3x+4； 2综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣
52
x+3x+4． 2
13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：
①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．
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【学会思考】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； ②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．
【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，
，解得：
，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．
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∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），
∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3， ∴S△BDF=
1FM•（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1． 2∵﹣1＜0，
∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．
②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示． ∵EF1∥BD， ∴∠AEF1=∠DBE． ∵ON=ON′，EO⊥NN′， ∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．
∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴点E的坐标为（1，0）．
设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1， 将E（1，0）代入y=﹣2x+b1， ﹣2+b1=0，解得：b1=2，
∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2． 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，
，
解得：，（舍去），
∴点F1的坐标为（2﹣5，25﹣2）． 当x=0时，y=﹣2x+2=2， ∴点N的坐标为（0，2）， ∴点N′的坐标为（0，﹣2）．
同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2． 联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，
，
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解得：，（舍去），
∴点F2的坐标为（﹣5，﹣25﹣2）．
综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣5，25﹣2）或（﹣5，﹣25﹣2）．
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