2019-2020学年山东省青岛市市北区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．a＜b＜c
2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，将线段AB向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2）
B．（1，2）
C．（0，﹣2）
D．（﹣1，4）
4．（3分）下列四个多项式中，可以因式分解的有（ ） ①a2+4；②a2﹣2a+1；③x2+3x；④x2﹣y2． A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（3分）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板相交于一点且各边完全吻合，其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是（ ） A．5
B．6
C．8
D．10
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上的一点，∠ABE＝28°，且CE＝BC，AE＝DE，则下列选项正确的为（ ）
A．∠BAE＝56°
B．∠AED＝68°
C．∠AEB＝112°
D．∠C＝122°
7．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1
B．x＜﹣1
C．x＜﹣2
D．无法确定
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，交BC于点E．D为AE上一点，且∠ACD＝∠CAD，DE＝3cm，连接CD．过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则下列结论正确的有（ ） ①CD＝5cm；②AC＝10cm；③DF＝3cm；④△ACD的面积为10cm2．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转 度，会和原图案重合．
10．（3分）分式
无意义，则x ．
11．（3分）已知正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形的内角和为 ．
12．（3分）已知多项式4x2+1加上一个单项式的和是一个多项式的平方，那么加上的单项式是 ．（写一个即可）
13．（3分）如图，△ABC为等边三角形，以边AC为腰作等腰△ACD，使AC＝CD，连接BD，若∠ABD＝32°，则∠CAD＝ °．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 cm．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写做法，但要保留作图痕迹．
15．（4分）已知：线段a，直线l及l外一点A．求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，且顶点B、C在直线l上，斜边AB＝a．
四、解答题（本题共8道题，满分74分） 16．（8分）（1）分解因式：7a3﹣21a2； （2）分解因式：4ab2﹣4a2b﹣b3． 17．（15分）（1）解方程：（2）化简：
；
；
（3）解不等式组：．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，E、F分别为AC、AD的中点，连接EF，若∠ACD＝120°，求线段EF的长度．
19．（6分）青岛地铁1号线预计2020年通车，在修建过程中准备打通一条长600米的隧道，由于采用新的施工方式，实际每小时打通隧道长度比原计划增加5米，从而缩短了工期．若原计划每小时打隧道a米，求实际打通这条隧道的工期比原计划缩短的时间．
20．（7分）如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接BF． 求证：（1）AE＝EF； （2）BF∥AC．
21．（10分）新冠肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，现安排甲、乙两个工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成48万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用4天． （1）甲、乙两个工厂每天分别生产多少万只口罩？
（2）若甲厂每天生产成本为3万元，乙厂每天生产成本为2.4万元，要使这批口罩的生产总成本不高于57万元，至少安排甲厂生产多少天？
22．（10分）小丽有慢跑的习惯，她常使用某种运动软件来记录她的跑步数据．下面是她4次慢跑的具体数据．
4.00 km 8.57
240 大卡 00：28：00
5.00 km 8.57
300 大卡 00：35：01
5.50 km 8.64
330 大卡 00：38：12
6.00 km 8.61
360 大卡 00：41：48
kmh 用时 kmh 用时 kmh 用时 kmh 用时
如你所见，她的慢跑速度相对稳定，基本不变．我们把小丽跑步的千米数记为x（km），把她在此过程中消耗的总热量记为y（大卡）．
（1）根据上述表格提供的数据，在下面的平面直角坐标系中描点、连线．求：按照这4次的规律，y与x之间的函数关系式；
（2）某日，小丽购买面包和酸奶共计8件食品，已知每袋面包产生110大卡的热量，每杯酸奶产生50大卡的热量．她要跑步10km才能将这8件食品所产生的热量全部消耗掉．跑步10km，她消耗的总热量是多少大卡？她最多购买了几袋面包？请说明你的理由．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝12，△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝DF＝6，△DEF沿射线CB平移，直角边EF始终在射线CB上，连接AD、BD，设CE的长度为x．（0＜x＜6（1）是否存在点A在BD垂直平分线上的情况？存在，求x的值；不存在，说明理由； （2）连接AE，当x为何值时，四边形AEBD是平行四边形？说明理由；
（3）将△ABD绕点B逆时针旋转60°，得到△A′BD′，是否存在x的值，使点D′落在△ABC的边上？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．
）．
2019-2020学年山东省青岛市市北区八年级（下）期末数学试卷
试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．解：∵根据图片可知：c＞b，b＞a， ∴a＜b＜c， 故选：D．
2．解：A、不是中心对称图形，不合题意； B、不是中心对称图形，不合题意； C、不是中心对称图形，不合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D．
3．解：如图，线段A′B′即为所求，B′（﹣1，﹣2），
故选：A．
4．解：①a2+4，不能分解因式；
②a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，可以分解因式； ③x2+3x＝x（x+3），可以分解因式； ④x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），可以分解因式． 故选：C．
5．解：正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，顶点处已经有2个内角，度数之和为：108×2＝216°， 那么另一个多边形的内角度数为：360°﹣216°＝144°，
相邻的外角为：180°﹣144°＝36°， 则边数为：360°÷36°＝10． 故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴∠ABE＝∠BEC＝28°， ∵CE＝BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝28°， ∴∠ABC＝56°， ∴∠BAD＝∠C＝124°， ∵AB∥DC， ∴∠BAE＝∠AED， ∵AE＝ED，
∴∠D＝∠DAE＝56°， ∴∠BAE＝124°﹣56°＝68°， ∴∠AED＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∴∠AEB＝180°﹣68°﹣28°＝84°， 故选：B．
7．解：由图象可知，当x＜﹣2时，直线l1：y＝k1x+b在直线l2：y＝k2x的下方， 则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣2． 故选：C．
8．解：①∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，BE＝CE＝4cm， 在Rt△DEC中，CD＝②∵∠ACD＝∠CAD， ∴AD＝CD＝5cm， ∴AE＝8cm， 在Rt△AEC中，AC＝
＝4
cm，故②错误； ＝5cm，故①正确；
③∵∠DAF＝∠BAE，∠AFD＝∠AEB， ∴△DAF∽△BAE，
∴DF：AD＝BE：AB，即DF：5＝4：4解得DF＝故DF＝
．
cm，故③错误；
，
④△ACD的面积为5×4÷2＝10cm2，故④正确． 故选：B．
二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 9．解：∵360°÷6＝60°，
∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：60． 10．解：当分母2x﹣1＝0， 即x＝
时，分式
．
无意义．
故答案为＝
11．解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°， 据此可得解得n＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°， 即这个正多边形的内角和为1260°． 故答案为：1260°．
12．解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2，4x4+4x2+1＝（2x2+1）2， ∴加上的单项式可以是4x或﹣4x或4x4． 故答案为：4x或﹣4x或4x4． 13．解：
法一：∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC， ∵△ABC是等边三角形，
，
∴AC＝BC， ∵AC＝CD， ∴BC＝CD＝AC，
即以C为圆心，以CA为半径的圆，A、B、D在⊙C上， ∴∠ACD＝2∠ABD＝64°， ∴∠CAD＝∠ADC＝
（180°﹣∠ACD）＝58°；
法二：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣32°＝28°， ∵AC＝CD， ∴BC＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝28°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD＝124°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝124°﹣60°＝64°， ∴∠CAD＝∠ADC＝故答案为：58．
（180°﹣∠ACD）＝58°；
14．解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴PD＝PE，PD＝PF， ∴PE＝PD＝PF，
∵△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm， ∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形， ∴即
解得：PD＝1（cm）， 故答案为：1．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写做法，但要保留作图痕迹． 15．解：如图，Rt△ABC即为所求．
，
，
四、解答题（本题共8道题，满分74分） 16．解：（1）7a3﹣21a2＝7a2（a﹣3）； （2）4ab2﹣4a2b﹣b3 ＝﹣b（﹣4ab+4a2+b2） ＝﹣b（2a﹣b）2．
17．解：（1）方程两边同乘2x﹣1，得：x+1＝2（2x﹣1）， 解这个方程得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解；
（2）原式＝＝＝
；
（3），
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣1，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜1． 18．解：∵∠ACD＝120°， ∴∠ACB＝60°， ∵AB＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝2， ∴CD＝BC＝2，
∵E、F分别为AC、AD的中点， ∴EF＝
CD＝1．
19．解：原计划每小时打隧道a米，实际每小时打隧道（a+5）米，所以实际打通这条隧道的工期比原计划缩短的时间为（
﹣
）小时．
20．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠ABE＝∠ECF， 又∵E为BC的中点， ∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（ASA）； ∴AB＝CF，
又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形， ∴AE＝EF；
（2）由（1）得：四边形ABFC为平行四边形， ∴BF∥AC．
21．解：（1）设乙工厂每天生产x万只口罩，则甲工厂每天生产1.5x万只口罩，
依题意，得：解得：x＝4，
﹣＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝6．
答：甲工厂每天生产6万只口罩，乙工厂每天生产4万只口罩． （2）设安排甲工厂生产m天，则安排乙工厂生产依题意，得：3m+2.4×解得：m≥5．
答：至少安排甲厂生产5天． 22．解：（1）描点、连线，如图所示：
≤57，
天，
设解析式为y＝kx+b，
将（4，240），（5，300）代入解析式得，
，解得
，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝60x；
（2）当x＝10时，y＝60×10＝600，
即小丽跑步10km，她消耗的总热量为600大卡，
设她最多购买a袋面包，根据题意，得：110a+50（8﹣a）≤600， 解得a
，
∵a为整数，
∴她最多购买了3袋面包．
23．解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝12，
∴AC＝AB＝6，BC＝AB•cos30°＝6，
∵△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝DF＝6， ∴AC∥DF，AC＝DF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AD＝CF＝CE+EF＝x+6，
当A点在BD的垂直平分线上时，有AD＝AB＝12， ∴x+6＝12， ∴x＝6，
故存在点A在BD垂直平分线上，此时x＝6； （2）∵四边形ACFD是平行四边形， ∴AD∥BE，
当AD＝BE时，四边形AEBD是平行四边形， 此时有x+6＝6解得，x＝3∴当x＝3
﹣x， ﹣3，
﹣3时，四边形AEBD是平行四边形；
（3）①当D′在AB上时，如图1，则∠DBD′＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠CBD＝90°， ∴点F与点B重合， ∴CE+EF＝BC， 即x+6＝6∴x＝6
， ﹣6；
②当D点在BC上时，如图2， 则∠DBD′＝60°， ∴BF＝
∴CF＝BC﹣BF＝6∴x＝CE＝CF﹣EF＝4
，
＝4﹣6；
，
③由上可知，当D′点在BC上时，∠ABD＝30°， 当D′点在AB上时，∠ABD＝60°， 此时BD＝2BF＝4
，
要使D′点落在AC上，则30°＜∠ABD＜60°， 此时，BD＜4
＜BC，
∴D′不可能在AC上，
综上可知，存在x的值，使点D′落在△ABC的边上，x的值为4
﹣6或6
﹣6．
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