必修二数学第一二章试卷含答案

数学 试题

（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）

命题人：邓永真 审题人：廉爱民

一、选择题（每小题5分，共12小题）

1. 教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线 ( B )

A．平行

B．垂直

C．相交

D．异面

2. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ( A )

A．2π

B．π

C．2

D．1

3. 若两个球的表面积之比为1︰4，则这两个球的体积之比为 ( C )

A．1︰2

B．1︰4

C．1︰8

D．1︰16

4. 已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是( C )

A.若m∥α，m∥n，则n∥α C.若m⊥α，m∥β，则α⊥β

B.若m⊥α，n⊥α，则n⊥m D.若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

5. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为

( D ) A．6

B．32

C．62

D．12

6. 已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是 ( D )

A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 ．．．．．．D．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ．．．．．．

7. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积

为 ( C ) 12

A．＋π

3312

C．＋π

36

12B．＋π

33D．1＋

2π 6

8. 设△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是

( B )

A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定

9. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，

则异面直线AC与MN所成的角为 ( C ) A．30° B．45° C．60°

D．90°

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10. 给定下列四个说法中正确的是( D )

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.②和④

11. 现有下列三种叙述，其中正确的个数是( A )

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0

B.1

C.2

D.3

12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( D )

A．60

B．30 C．20

D．10

二、填空题（每小题5分，共4小题）

13. 若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为50π

14. 圆柱的高是8 cm，表面积是130π cm2，则它的底面圆的半径等于__5__cm

15. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平

面BB1D1D所成角的正弦值为 10 . 516. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，

M是PC上的一动点，当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC) __时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).

三、解答题（共5小题，满分70分）

V17. （本题满分12分）

如图，在三棱锥V—ABC中， VA=VB=AC=BC=2，且AB=23,VC=1， 试画出二面角V—AB-C的平面角，并求出它的度数。 [解析]如图，连接点V与边AB中点O，再连接OC，

易证VO⊥AB，OC⊥AB，

所以∠VOC即为二面角V—AB-C的平面角。 由已知条件可得VO=OC=1，

ACOBVABC所以△VOC为等边三角形。

因此，二面角V—AB-C的平面角为60°

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18. （本题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为

菱形，AB＝2，BD＝23，M，N分别是线段PA，PC的中点. (1)求证：MN∥平面ABCD；

(2)求异面直线MN与BC所成角的大小． [解析] (1)连接AC，交BD于点O.

因为M，N分别是PA，PC的中点，所以MN∥AC. 因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD.

(2)由(1)知MN∥AC，∴∠ACB为异面直线MN与BC所成的角． ∵四边形ABCD为菱形，边长AB＝2，对角线长BD＝23， BO3

∴△BOC为直角三角形，且sin∠ACB＝＝，

BC2∴∠ACB＝60°.

即异面直线MN与BC所成的角为60°.

19. （本题满分16分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E， F分别为A1C1，BC ，B1C1的中点.

(1)求证：平面DEF∥平面AA1B1B；

(2)若AA1＝3，AB＝23，求DE与平面ABC所成的角. [解析] (1)证明 略

(2)解 如图，取AC的中点H，连接DH，EH.

ACEBA1DB1FC1因为DH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以DH⊥平面ABC. 所以∠DEH就是DE与平面ABC所成的角.

在Rt△DEH中，EH＝3，DH＝AA1＝3，tan∠DEH＝3， 所以∠DEH＝60°.故DE与平面ABC所成的角为60°.

20. （本题满分18分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥

BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

[解析] (1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.

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又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.

(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.

由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以平面BDE⊥平面PAC. (3)解：因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE. 1

因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝2.

2由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 11

所以三棱锥E－BCD的体积V＝BD·DC·DE＝. 63

21. （本题满分12分）正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切，求：

(1)棱锥的表面积；

(2)内切球的表面积与体积.

[解析] (1)底面等边三角形中心到一边的距离为 13

××26＝2. 32

则正三棱锥侧面的斜高为

12＋22＝3. 1

所以S侧＝3××26×3＝92.

2

13

所以S表＝S侧＋S底＝92＋××(26)2＝92＋63. 22

(2)如图所示，设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，点O到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.

11

所以VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC＝·S侧·r＋·S·r

33△ABC1

＝·S·r＝(32＋23)r. 3表

113

又因为VP－ABC＝×××(26)2×1＝23，

322所以(32＋23)r＝23，

2332－2323

得r＝＝＝6－2，

32＋2318－12所以S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π； 48

V内切球＝π(6－2)3＝(96－22)π. 33

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