高二数学上学期知识点

高二数学上学期知识点 第一部分：三角恒等变换

1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：

sin()sincoscossin

tgtgcos()coscossinsintg()1tgtg 注意正用、逆用、变形用。例如：tanA+tanB=tan(A+B)(1tanAtanB)

2.二倍角公式：sin2=2sincos，cos2=cossin=2cos1=12sin

22222tan221cos2cos1cos2sintan2=1tan2。3.升幂公式是：2 2。

sin24．降幂公式是：

1cos21cos22cos22 。

2tan5.万能公式：sin=

21tan22 cos=

1tan222 tan=

2tan21tan21tan22

6.三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β

=

－

221sinsincos1cos2sin222，sin α ，cos α可凑倍角公2，等。（3）降次与升次。

221sinsincos22等． （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）式；。注意

函数关系，尽量异名化同名、异角化同角。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=absin(θ+)，所在象限由a、

22bb的符号确定，角的值由tan=a确定。

7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．

第二部分：解三角形

abc

1.边角关系的转化：（ⅰ）正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R(R为外接圆的半径);

111注：（1）a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;（2）a:b:c=sinA:sinB:sinC;(3) 三角形面积公式S=2absinC=2bcsinA=2acsinB;

b2c2a2cosA2222bc（ⅱ）余弦定理：a=b+c-2bccosA,

2.应用：（1）判断三角形解的个数;（2）判断三角形的形状;(3)求三角形中的边或角；（4）求三角形面积S；

180注：三角形中 ①a>bA>BsinA>sinB；②内角和为；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有

sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC，

sinABCABCcoscossin22， 22 在解

三角形中的应用。3.解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、c），由A+B+C = π求C，由正弦

定理求a、b．（2）已知两边和夹角（如a、b、C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．（5）术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360。

第三部分：数列 证明数列

an是等差（比）数列

an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。 ②等差中项法：对于

（1）等差数列：①定义法：对于数列数列

an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。注：后两种方法仅适用于选择、填空：③anpnq（形

2SAnBn（常数项为0的二次） n如一次函数）④

（2）等比数列：①定义法：对于数列

an，若

an1q(q0)an，则数列

an是等比数列。②等比中项法：对于数列an，

2an是等比数列 aaan1(an0)，则数列若nn22.求数列通项公式

an方法 (1)公式法：等差数列中an=a1+(n-1)d 等比数列中an= a1 qn-1; (q0)

a1,(n1)SnanSnSn1,(n2)（ 注意 ：验证a1是否包含在an 的公式中） (2)

（3）递推式为

an＋1＝an＋f(n) (采用累加法)；an＋1＝an×f(n) (采用累积法)；例已知数列{an}满足a11，

1anan1n1n =

n1n(n2)，则an=________（答：ann121）（4）构造法；形如

anpanq，ankan1bn（k,bp,q为常数且pq）的递推数列，可构造等比数列anx，例 ①已知a11,an3an12，求an（答：an23n11）

； （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决： anan－1a2a1aaa1 n－2 an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+„„＋（a2－a1）＋a1 ； an＝n－1an（6）倒数法形如

an1an11a11,anankan1b的递推数列如①已知3an11，求an（答：3n2）；3.求数列前n

项和Sn. 常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.（1）公式法：等差数列中

a1(1qn)a1anqn(n1)n(a1an)na1d1q1q22Sn== ；等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn==（注：讨论q是否等于1）。

（2）分组法求数列的和：如an=2n+3n ； （3）错位相减法：

cn成等比数列，如an=(2n-1)2n；anbncn, bn成等差数列，（注q1）

（4）倒序相加法求和：如①在等差数列

an中，前4项的和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这

111x2f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()f(x)2234＝___1x，则个数列的项数n=______；(答：48);②已知7（答：2）

an（5）裂项法求和：

1111()(AnB)(AnC)CBAnBAnC，如求和：

1111n122334n(n1)=_________（答： n1）

（6）在求含绝对值的数列前n项和4.

Sn问题时,注意分类讨论及转化思想的应用，总结时写成分段数列。

Sn的最值问题方法（1）在等差数列an中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：

am0a0a0①当1,d<0时，满足m1 的项数m使得

取最大值.

am0a0②当a10,d>0时，满足m1 的项数m使得

取最小值。

（2）转化成二次函数配方求最值（注：n是正整数，若n不是正整数，可观察其两侧的两个整数是否满足要求）。如①等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；②若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是___ （答：4006）

5.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：

①an+1-an=„„

000an1an 如an= -2n2+29n-3 ②

1119n(n1)n (an>0) ，如an=10 ③ an=f(n) 研究函数f(n)

n2的增减性 如an=n156

6.常用性质：（1）等差数列的性质：对于等差数列

an①．anam(nm)d（mn）

*aamapaqaSS②.若nmpq，则n。③．若数列n是等差数列，n是其前n项的和，kN，那么k，

S2kSk，S3kS2k成等差数列。④．设数列an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n

项的和，则有如下性质：(i)奇数项

a1,a3,a5,成等差数列，公差为2d(ii)偶数项

a2,a4,a6,成等差数列，公差为2d

anS2n1baSTbT2n1。

⑤．若等差数列n的前2n1项的和为2n1，等差数列n的前2n1项的和为2n1，则n（应用于选

择、填空，要会推导,正用、逆用） （2）等比数列性质：在等比数列数列

{an}中①．anamqnm（mn）

；②.若m+n=p+q，则aman=apaq；如（1）在等比

{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___（答：512）

；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10 （答：10）。③．若数列an是等比数列且q≠-1，Sn是其

*SSSSS前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如：公比为-1时，4、8-4、12-8、„不成

等比数列

7．常见结论：（1）三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d；

（2）三个数成等比的设法：a/q,a,aq； （3）若{an}、{bn}成等差，则{kan+tbn}成等差;（4）若{an}、{bn}成等比，则

1anancbbc>0)成等比.

{kan}(k≠0)、n、{anbn}、n成等比;（5）{an}成等差,则 (

（6）{bn}(bn>0)成等比,则{logcbn}(c>0且c1)成等差。 第四部分 不等式

1．两个实数a与b之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法（1）比较法（2）综合法．（3）分析法注：

一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法

a0,xx3. 解不等式（1）一元一次不等式 axb(a0)的解法①ba0,xxa ②ba

2axbxc0,(a0)的解法（三个二次关系） （2）一元二次不等式

判别式

b24ac 二次函数

yax2bxc的图象

一元二次方程 ax2bxc0的根 ax2bxc0解集 ax2bxc0解集 ax2bxc0注：() 0 0 0

相异实根 相等实根 没有实根

xxb x1x2

122a

xxxxxb2或xx1 2a R xx1xx2  

解集为R，（ax2bxc0 对xR恒成立）

则（Ⅰ）

a00(0) （Ⅱ）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a0

22(a2)x2(a2)x40对xR恒成立，则a的取值范axbxc0若解集为R呢？如：关于x的不等式

a200a2时，40成立围 。略解（Ⅰ）（Ⅱ）

22|x|＜ax＜a－a＜x＜a； （3）绝对值不等式 如果a＞0，那么

|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．

00（4）分式不等式 若系数含参数时，须判断或讨论系数0，化负为正，写出解集。

主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式（先因式分解，分类讨论，比较两根的

32x3y5，大小）；4恒成立问题（注：①讨论二次项系数是否为0；②开口方向与判别式）；5.已知1xy2，

求4x5y的取值范围；（①换元法；②线性规划法）。

4．简单的线性规划问题应用：（1）会画可行域，求目标函数的最值及取得最值时的最优解（注：可行域边界的虚实）；

（2）求可行域内整数点的个数；（3）求可行域的面积；（4）根据目标函数取得最值时最优解（个数）求参数的值（参数可在线性约束条件中，也可在目标函数中）；（5）实际问题中注意调整最优解（反代法）。

22a,bR,则ab2aba,bR5.常用的基本不等式和重要的不等式（1）（2），则ab2ab；注：

ab算术平均数，ab几何平均数2

2ababab2abab()(a,bR)22（3）（4） ab22a2b2(a,bR)2；

6.均值不等式的应用——求最值（可能出现在实际应用题）设x,y0，则xy2xy

xy有最小值2P （1）若积xyP(定值），则和S2xyS(定值），则积xy有最大值（）2即：积定和最小，和定积最大。 （2）若和

y2x注：运用均值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”技巧：①凑项，例

1x2（x>2）②凑系数 ，例

y2x当

时，求

的最大值；（答：8）③添负号，例

1(x2)2(2x)；④拆项，例 求

2xx27x10f(x)2(x0)y(x1)x1x1的最小值（答：9 ）⑤构造法，例 求

2x1x的最大值（答：1）。⑥

191“1”的灵活代换，若x0,y0且xy，则xy的最小值是________(答：16)（3）若用均值不等式求最值，

yx21等号取不到时，需用定义法先证明单调性，后根据单调性求最值，例 求

1x21的最小值。

第五部分 简易逻辑

逻辑联结词，命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 2、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．4常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 否定词 不是 不都是 不大于 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 否定词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个

小于 不小于 至多有n个 至少有（n1）个 对所有x，成立 对任何x，不成立 存在某x，不成立 存在某x，成立 p或q p且q p且q p或q 5、四种命题：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：(原命题逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

7、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q. 8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。 9、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理„)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫法。

第六部分 圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆 1.定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且

原命题若p则q互逆互为为互逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p必要条

互否否命题若┐p则┐q逆否逆否互逆理、定做反证

PF1PF22aF1F2 （a为常数）则P点的轨迹是椭

1F2中圆。注：（1）若2a小于|F1F2|，则这样的点不存在；（2）若2a等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2.(3)PF经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段

PF1、

PF2、2c，有关角F1PF2结合起来，建立

PF1+

PF2、

PF1PF2PF1PF2等关系求出、的值.注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上.2.椭圆的标准方程：

x2y2y2x21212222baa2b2ab（＞＞0），（a＞b＞0）(注：abc)。（1）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦

2点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上（.2）.

2

求椭圆的标准方程的方法：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后，运用待定系数法求解a、b.

3.椭圆的几何性质：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

e离心率：椭圆的焦距与长轴长的比

ca叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭

圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

22x0y0x2y221(ab0)2212P(x,y)00abab4.点与椭圆的位置关系（1）点在椭圆的内部. 22x0y0x2y221(ab0)2212P(x,y)00在椭圆abab（2）点的外部

（二）双曲线 1.定义：若F1，F2是两定点，

PF1PF22aF1F2（a为非零常数），则动点P的轨迹是双曲

线。注：（1）若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；（2）若2a＞|F1F2|，则无轨迹.（3）若去掉绝对值号，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支。

x2y2y2x2212122222bb2.双曲线的标准方程：a和a（a＞0，b＞0）注：（1）cab（与椭圆比较）（2）双曲线

的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于

22双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.（3）求双曲线的

标准方程，应注意两个问题：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后，运用待定系数法求解a，b.

cx2y2e12a＞1，离心率e越b23.双曲线的简单几何性质 双曲线a为例 实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率

大，双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b01yx2222aabab（1）若双曲线方程为渐近线方程：

xyxyb0yx22aab双曲线可设为ab（2）若渐近线方程为（0）

22x2y2x2y221222abab（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（0，若0，焦点在x轴上，若0，

焦点在y轴上）。特别地当ab时离心率e2两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲

x2y2122(m0,n0)表示双曲线的充要条件是mn0。xy0mn线，可设为（）。（4）方程（5）注意

PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理cosF1PF2，将有关线段PF1、PF2、F1F2和角结合起来。

（三）抛物线 1.定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛

物线的准线。注：（1）点F在直线l外，（2）点F在直线l上，其轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2222y2pxx2pyx2py.注：y2px2．抛物线的标准方程有四种类型：、、、（1）方程中的一次项变元

决定对称轴和焦点位置；（2）一次项前面的正负号决定曲线的开口方向；

2y2px (p0)为例：p：焦准距（焦点到准线的距离）3.抛物线的几何性质，以标准方程；

pppxCFx,(,0)AB2p222 焦点： 准线： 通径 焦半径： 过焦点弦长CDx1ppp2x2x1x2p22 y1y2=－p2，x1x2=4;

注：只适合求过焦点的弦长，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当△≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点，除相切外，还有直线是抛物线的

2y(,y)2y2px2p对称轴或是和对称轴平行，此时，不能仅考虑△=0。 注意：)抛物线上的动点可设为P或P(2pt2,2pt)或P(x,y)其中y22px

2

5.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （5）点差法，处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法，主要用于求斜率。（注意：验证判别式大于零。）

（6）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。

注：①轨迹方程与轨迹的区别，②限制范围，③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别，注意次数和符号，④.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题。 （四）解析几何中的基本公式

22AB(xx)(yy)A(x,y),B(x,y)21211122，则1.两点间距离：若

特别地：AB//x轴， 则

ABAB |x2-x1| 。 AB//y轴， 则 |y2-y1| 。

l2:AxByC20则：

dC1C2A2B2

2.平行线间距离：若l1:AxByC10,注意点：①x，y对应项系数应相等，②方程化成一般式。

3.点到直线的距离：P(x,y),l:AxByC0则P到l的距离为：

dAxByCA2B2

ykxbF(x,y)0 消y：ax2bxc0（务必注意0,k为直线的斜率.）

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：。 若

AB(1k)(x2x1)l与曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)则：

22

xx1k21224x1x2或

AB|y1y2|111(1)(y2y1)222kk =（这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；）特殊的直线方程: ①

垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方

程是y=0．

注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时，优先讨论二次项系数是否为零，然后再考虑判别式及韦达定理。

第七部分 能力要求

能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力，以及应用意识和创新意识． 1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件，寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．

2.数据处理能力：能够收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息，并作出正确判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析，解决所给问题．

3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素及其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.

4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中，发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断．

5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性．

6.应用意识：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题，并能用数学语言正确地表述和解释．

7.创新意识：能够独立思考，灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法，创造性地提出问题、分析问题和解决问题．