一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）
1. 设𝑝:𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥2+𝑚𝑥+1在(−∞,+∞)内单调递增，𝑞:𝑚>3，则p是q的( )
4
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 若关于x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1>0的解集是{𝑥|1<𝑥<2}，则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−1<0的解集
是( )
A. {𝑥|−1<𝑥<3} C. {𝑥|−3<𝑥<1}
2
2
B. {𝑥|𝑥<−1或𝑥>3} D. {𝑥|𝑥<−3或𝑥>1}
2
2
3. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−8≥0}，则∁𝑅(𝐴∪𝐵)=( )
A. [−2,1] B. [1,4] C. (−2,1) D. (−∞,4) 4. 已知集合𝐴={𝑥∈𝑍|−𝑥2+𝑥+2>0}，则集合A的真子集个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
5. 已知正实数x，y满足𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，若𝑥+𝑦≥𝑚恒成立，则实数m的取值范围为( )
A. (0,9) B. [0,9] C. (−∞,9) D. (−∞,9]
6. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−2>𝑥}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<3}，则𝐴⋂𝐵=
A. {𝑥|−1<𝑥<2} B. {𝑥|−1<𝑥<1} C. {𝑥|2<𝑥<3} D. {𝑥|1<𝑥<3}
7. 若方程𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚=0的两根都大于2，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,−5)∪(−5,−4] C. (−∞,−2] A. 𝑎2<𝑏2
5
B. (−∞,−4] D. (−5,−4]
1
8. 若𝑎<𝑏<0，𝑐∈𝑅，则下列不等式正确的是( )
B. 𝑎>𝑏
1
C. 𝑎𝑐2<𝑏𝑐2 D. 𝑎>−𝑏
9. 已知实数𝑎,𝑏满足2<𝑎<𝑏<3，则下列不等式一定成立的是( )
A. 𝑎3+15𝑏>𝑏3+15𝑎 C. 𝑎3+15𝑏≥𝑏3+15𝑎 B. 𝑎3+15𝑏<𝑏3+15𝑎 D. 𝑎3+15𝑏≤𝑏3+15𝑎
10. 设全集为𝐴={𝑥|1⩽log2 𝑥⩽3}，𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥−4<0}，则𝐴∩𝐵等于( )
A. (−1,2) B. (−1,8] C. [4,8] D. [2,4) 11. 已知𝑎=21.1，𝑏=30.3，𝑐=ln3，则( )
7
A. 𝑏>𝑎>𝑐 B. 𝑎>𝑏>𝑐 C. 𝑏>𝑐>𝑎
1
D. 𝑎>𝑐>𝑏
2
3𝑎
4𝑏
12. 已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥+5sin𝑥+2，若正实数a，b满足𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏−1)=4，则𝑎−1+𝑏−2的最小值为( ) A. 7 B. 7+2√3 C. 5+4√3 D. 7+4√3
13. 在△𝐴𝐵𝐶中，D、E分别是边AC、AB的中点，若𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，则cos𝐴的最小值为( )
A. 5 4
B. 4 3
C. 3 2
D. 2
1
第1页，共13页
二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_________． 14. 在△ABC中，𝐴=3，𝑏+𝑐=4，E，F为边BC的三等分点，则⃗AEAF15. 已知正数x，y满足𝑥+2𝑦=4，则𝑥+𝑦的最小值______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 16. 已知▵𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C满足
(1)求角A．
(2)若𝑎=3.求𝑏+𝑐的取值范围.
sin𝐴−sin𝐵+sin𝐶
sin𝐶1
1
𝜋
=
sin𝐵sin𝐴+sin𝐵−sin𝐶
．
17. 在如图所示的平面图形中，∠𝐴𝐷𝐶=
2𝜋
，𝐴𝐷=3，sin∠𝐵𝐶𝐷=3，3𝐵𝐷=4𝐵𝐶． 3
2
(1)求∠𝐵𝐷𝐶的值;
(2)若𝐵𝐷=√3，∠𝐴𝐸𝐵=3，求△𝐴𝐵𝐸面积的最大值．
𝜋
18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎𝑥,𝑔(𝑥)=𝑒𝑥ln𝑥(𝑒是自然对数的底数)．
第2页，共13页
(1)若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线也是抛物线𝑦2=4(𝑥−1)的切线，求a的值； (2)若对于任意𝑥∈𝑅,𝑓(𝑥)>0恒成立，试确定实数a的取值范围；
(3)当𝑎=−1时，是否存在𝑥0∈(0,+∞)，使曲线𝐶:𝑦=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0处的切线斜率与𝑓(𝑥)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的𝑥0的个数；若不存在，请说明理由．
19. 围建一个面积为360 𝑚2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三
面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 𝑚的进出口，己知旧墙的维修费用为45元/𝑚，新墙的造价为180元/𝑚，设利用的旧墙的长度为𝑥 𝑚，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．
(Ⅰ)将y表示为x的函数：
(Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用°
20. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1=1，𝑎𝑛>0，(𝑎𝑛+1+1)(𝑎𝑛+1−1)=4(𝑆𝑛+𝑛)．
(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
∗
(2)设𝑏𝑛=√𝑆(𝑎+𝑎)(𝑛∈𝐍)，𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛是否存在最大的整数m，使得对任意的n
𝑛𝑛31均有𝑇𝑛>2020总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．
𝑚
第3页，共13页
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查了充分与必要条件的判断，解题的关键是根据导数知识把函数的单调性与函数的导数联系一起．
对函数求导，由𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增，可得𝑓′(𝑥)≥0在(−∞,+∞)上恒成立，从而可求m的取值范围，即可判断． 【解答】
解：对函数求导可得，𝑓′(𝑥)=3𝑥2+4𝑥+𝑚， ∵𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增， 则𝑓′(𝑥)≥0在(−∞,+∞)上恒成立． 即3𝑥2+4𝑥+𝑚≥0恒成立 从而𝛥=16−12𝑚≤0 ∴𝑚≥3，
当𝑞：𝑚>3⇒𝑓′(𝑥)>0，
∴𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增；反之则不成立， 故p是q的必要不充分条件， 故选：B． 2.答案：C
44
解析：【分析】
考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，是一道基础题．根据不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1>0的解集是{𝑥|1<𝑥<2}，求出a，b的值，从而解不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−1<0即可． 【解答】
解：因为𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1>0的解集是 { 𝑥|1<𝑥<2}，
根据一元二次不等式求解集的方法可得𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1=𝑎(𝑥−1)(𝑥−2)且𝑎<0， 解得𝑎=−2，𝑏=2．
则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−1<0变为3𝑥2−𝑥−2<0， 解得：−3<𝑥<1，
所以不等式的解集为{𝑥|−3<𝑥<1}， 故选C． 3.答案：C
2
21
3
解析：【分析】
本题考查并集，补集，及其运算，涉及一元二次不等式的解集，属于基础题．
第4页，共13页
由一元二次不等式的解法先化简集合B，先求并集，再取补集，从而得出结果． 【解答】
解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}={𝑥|𝑥⩾1}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−8≥0}={𝑥|𝑥⩾4或𝑥⩽−2}， 所以𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥⩾1或𝑥⩽−2}，则𝐶𝑅(𝐴∪𝐵)=(−2,1)． 故选C． 4.答案：A
解析：【分析】
本题主要考查集合的真子集个数的判断，属于基础题 先确定集合中元素的个数即可． 【解答】
解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥∈𝑍|−𝑥2+𝑥+2>0} ={𝑥∈𝑍|−1<𝑥<2}={0,1}， 所以集合A的真子集的个数为22−1=3， 故选A．
5.答案：D
解析：【分析】
本题主要考查了均值不等式及其应用.属于基础题．
由𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，得𝑥+4𝑦=𝑥𝑦，等式两边同时除以xy，得𝑥+𝑦=1.由均值不等式可得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑦)展开化简，应用均值不等式求最值． 【解答】
解:由𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，得𝑥+4𝑦=𝑥𝑦，等式两边同时除以xy，得𝑥+𝑦=1． 由均值不等式可得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(+)=
𝑥
𝑦
4𝑦
𝑥
4
1
4𝑦𝑥
4
1
4
1
4
1
++5≥2√
𝑦
𝑥4𝑦𝑥
⋅+5=9，
𝑦
𝑥
当且仅当𝑥=𝑦，即𝑥=2𝑦=6时，等号成立， 所以𝑥+𝑦的最小值为9.因此𝑚≤9. 故选D． 6.答案：C
解析：【分析】
本题考查了交集的运算，以及一元二次不等式，是基础题．
解不等式得到集合A，再根据交集的定义计算，即可得到答案． 【解答】
解：𝐴={𝑥|𝑥2−2>𝑥}={𝑥|−1<𝑥<2} ，𝐵={𝑥|−1<𝑥<3}而𝐴∩𝐵={𝑥|2<𝑥<3}．
第5页，共13页
故选C． 7.答案：D
解析：【分析】
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系及二次函数的性质，属于基础题． 设𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚，由题意利用二次函数的性质求出m的范围． 【解答】
解：令𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚，
𝛥=(𝑚−2)2−4(5−𝑚)≥0由题意可得{
2−𝑚2
>2
,
𝑓(2)=4+(𝑚−2)×2+5−𝑚>0
解得−5<𝑚≤−4． 故选D．
8.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
利用不等式的基本性质即可判断出， 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【解答】
解：对于选项A，∵𝑎<𝑏<0，∴−𝑎>−𝑏>0，∴𝑎2>𝑏2，因此A不正确； 对于选项B，∵𝑎<𝑏<0，∴𝑎𝑏>0，∴𝑎𝑏<𝑎𝑏，即𝑏<𝑎，所以B正确； 对于选项C，当𝑐=0时，不等式不成立．因此C不正确；
对于选项D，∵𝑎<𝑏<0，∴−𝑏>0，∴𝑎<−𝑏，故D不正确， 故选B． 9.答案：B
𝑎
𝑏
1
1
解析：【分析】
本题为比较大小的题目，考查根据题意构造函数、利用导数研究函数的单调性，题目为中档题． 设𝑓(𝑥)=𝑥3−15𝑥，可得𝑓(𝑥)的单调递减区间为(−√5,√5)；𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−√5)，(√5,+∞)，由√5<2<𝑎<𝑏<3，则𝑓(𝑎)<𝑓(𝑏)，问题可解．
【解答】
解：设𝑓(𝑥)=𝑥3−15𝑥，
则𝑓′(𝑥)=3𝑥2−15=3(𝑥+√5)(𝑥−√5)．
所以𝑓(𝑥)的单调递减区间为(−√5,√5)；𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−√5)，(√5,+∞)． 若√5<2<𝑎<𝑏<3，则𝑓(𝑎)<𝑓(𝑏)， 即𝑎3−15𝑎<𝑏3−15𝑏， 即𝑎3+15𝑏<𝑏3+15𝑎． 故选B．
5
5
第6页，共13页
10.答案：D
解析：【分析】
本题考查集合的交集及不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 先求集合A，B，根据交集的定义即可解决． 【解答】
解：因为𝐴={𝑥|2⩽𝑥⩽8}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<4}， 所以𝐴∩𝐵={𝑥|2⩽𝑥<4}． 故选Ｄ． 11.答案：B
解析：【分析】
本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题目． 利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可． 【解答】
解：由题意得：𝑎=21.1∈(2,4)，𝑏=30.3∈(1,√3)，𝑐=ln3 7 解析：【分析】 本题考查函数奇偶性、利用基本不等式求最值，有一定难度． 根据𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=4，可得𝑎+𝑏=1，变形𝑏=𝑎−1，代入𝑎−1+𝑏−2，利用基本不等式可得最小值． 【解答】 解： ， ∵正实数a，b满足𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏−1)=4， ∴+=1，∴𝑏=>0，∴𝑎>1， 𝑎𝑏𝑎−1则𝑎−1+𝑏−2=7+𝑎−1+𝑏−2 =7+ 38 + 2𝑎𝑎−1−2𝑎−13𝑎 4𝑏 3 8 1 2 2𝑎1 21 2 2𝑎 3𝑎 4𝑏 ， =7+𝑎−1+4(𝑎−1)⩾7+4√3， 3当且仅当4(𝑎−1)=𝑎−1即𝑎=1+√时取等号，此时取得最小值7+4√3． 2 3 3 故选：D． 第7页，共13页 13.答案：A 解析：解：依题意，如图建立平面直角坐标系， 设𝐶(0,𝑐)，𝐵(𝑏,0)，(𝑏>0,𝑐>0)， 则因为D为AC中点，∴𝐴(−𝑏,−𝑐)，𝐷(−2,0) 又因为E为AB中点，∴𝐸(0,−2)， ⃗⃗⃗ =(𝑏,2𝑐)，⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐵=(2𝑏,𝑐) 则𝑐𝑜𝑠𝐴=√𝑏2+4𝑐2⋅√4𝑏2+𝑐2= 𝑏 2𝑏2+2𝑐2 2()2+2 𝑏𝑐 𝑏𝑐𝑏𝑐𝑏 𝑐 √[()2+4][4()2+1] ， 令𝑡=2(𝑐)2+2，则𝑡>2， ∴𝑐𝑜𝑠𝐴= 1 𝑡√(+3)(2𝑡−3)92𝑡2 = 𝑡√𝑡2+𝑡−9 92 = 1√−9()2+⋅+11𝑡 912𝑡 ， 4 1 ∴当=−，即𝑡=4时，cosA有最小值5． =𝑡2×(−9)4 故选：A． 建立坐标系，设出C，E两点坐标，表示出A，B两点坐标，将cosA的最小值转化为向量的数量积运算处理． 本题考查了向量的坐标运算，考查了二次函数的最值，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，推理转化能力，属于难题． 14.答案：9 解析：【分析】 本题考查平面向量数量积的运算及利用基本不等式求最值，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算 ⃗⃗⃗ 用b，c表示，然后利用基本不等式是解题的关键，利用向量的加减运算及数量积运算，将⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅⃗⃗𝐴𝐹 求解即可． 【解答】 12 ⃗⃗⃗ =(2⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(1⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝐴𝐸⋅⃗⃗𝐴𝐹𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐴𝐵+𝐴𝐶解：⃗⃗⃗⃗⃗ 3333 26 第8页，共13页 2225⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ )+⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ =(𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵⋅⃗⃗𝐴𝐶99251=(𝑐2+𝑏2)+𝑏𝑐× 992 2121(𝑏+𝑐)22622 =(𝑏+𝑐)−𝑏𝑐≥(𝑏+𝑐)−×= 969649 (当且仅当𝑏=𝑐=2时等号成立)， ⃗⃗⃗ 的最小值为， 即⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸⋅⃗⃗𝐴𝐹9故答案为9． 26 26 √2 15.答案：3+24 解析：【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题． 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)． 【解答】 解：由题意得当且仅当𝑦=故答案为 𝑥 2𝑦𝑥 ，即𝑦=4−2√2，𝑥=4√2−4取等号 3+2√2 ． 4 16.答案：解：设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)由正弦定理及 sin𝐴−sin𝐵+sin𝐶 sin𝐶 =sin𝐴+sin𝐵−sin𝐶 sin𝐵 得 𝑎−𝑏+𝑐𝑐 =𝑎+𝑏−𝑐，整理得𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐， ， 𝑏 又0<𝐴<𝜋,∴𝐴=3； 𝜋 第9页，共13页 (2)法一：由余弦定理可得：32=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos 𝐴=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐⩾(𝑏+𝑐)2−3⋅( 14 𝑏+𝑐2 )2 = (𝑏+𝑐)2 ⇒(𝑏+𝑐)2≤36⇒𝑏+𝑐≤6 ， 又𝑏+𝑐>𝑎=3， ∴𝑏+𝑐∈(3,6]； 法二：设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：2𝑅=sin 𝐴=2√3． ∴𝑏+𝑐=2√3(sin 𝐵+sin 𝐶)=2√3[sin 𝐵+sin (𝜋−𝐵)]=6sin (𝐵+)， 36由0<𝐵<3𝜋 得：6<𝐵+6<6𝜋⇒𝑏+𝑐∈(3,6]． 2 𝜋 𝜋 5 2 𝜋 𝑎 解析：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题． (1)根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角A的值； (2)法一：由余弦定理和基本不等式，即可求得𝑏+𝑐的取值范围； 法二：由正弦定理、两角和差公式、辅助角公式，得到𝑏+𝑐的表达式，根据角B的范围，结合正弦函数的性质，即可求得𝑏+𝑐的取值范围． 17.答案：解：(1)在△𝐵𝐶𝐷中，由正弦定理得 所以 因为3𝐵𝐷=4𝐵𝐶， 所以𝐵𝐷>𝐵𝐶， 所以∠𝐵𝐷𝐶为锐角， 所以 ； ， ， ， (2)在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷=3，𝐵𝐷=√3，所以𝐴𝐵=√𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=2√3， 在△𝐴𝐵𝐸中，由余弦定理得 ， 所以12=𝐴𝐸2+𝐵𝐸2−𝐴𝐸·𝐵𝐸≥2𝐴𝐸·𝐵𝐸−𝐴𝐸·𝐵𝐸=𝐴𝐸·𝐵𝐸，当且仅当𝐴𝐸=𝐵𝐸时等号成立， 所以𝐴𝐸·𝐵𝐸≤12， 所以 即△𝐴𝐵𝐸面积的最大值为3√3． ， 第10页，共13页 解析：本题考查解三角形的应用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的知识． (1)在△𝐵𝐶𝐷中，由正弦定理可得sin∠𝐵𝐷𝐶=2，再结合边的大小关系可得 1 ； (2)在△𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理得𝐴𝐵=2√3，然后在△𝐴𝐵𝐸中，由余弦定理得𝐴𝐸·𝐵𝐸≤12，最后根据三角形的面积公式可得所求最大值． 18.答案：解：(1)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎，把𝑥=1代入得：𝑓′(1)=𝑒+𝑎， 把𝑥=1代入𝑓(𝑥)得：𝑓(1)=𝑒+𝑎，所以切点坐标为(1,𝑒+𝑎)， 则在𝑥=1处的切线为𝑦−(𝑒+𝑎)=(𝑒+𝑎)(𝑥−1)即：𝑦=(𝑒+𝑎)𝑥， 与𝑦2=4(𝑥−1)联立，消去得(𝑒+𝑎)2𝑥2−4𝑥+4=0， 由△=0知，𝑎=1−𝑒或𝑎=−1−𝑒； (2)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎， ①当𝑎>0时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)在R上单调递增， 且当𝑥→−∞时，𝑒𝑥→0，𝑎𝑥→−∞， ∴𝑓(𝑥)→−∞，故𝑓(𝑥)>0不恒成立，所以𝑎>0不合题意； ②当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥>0对𝑥∈𝑅恒成立，所以𝑎=0符合题意； ③当𝑎<0时令𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎=0，得𝑥=ln(−𝑎)， 当𝑥∈(−∞,ln(−𝑎))时，𝑓′(𝑥)<0， 当𝑥∈(ln(−𝑎),+∞)时，𝑓′(𝑥)>0， 故𝑓(𝑥)在(−∞,ln(−𝑎))上是单调递减，在(ln(−𝑎),+∞)上是单调递增， 所以[𝑓(𝑥)]𝑚𝑖𝑛=𝑓(ln(−𝑎))=−𝑎+𝑎𝑙𝑛(−𝑎)>0， 解得𝑎>−𝑒， 又𝑎<0，∴𝑎∈(−𝑒,0)， 综上：𝑎∈(−𝑒,0]． (3)当𝑎=−1时，由(2)知[𝑓(𝑥)]𝑚𝑖𝑛=𝑓(ln(−𝑎))=−𝑎+𝑎𝑙𝑛(−𝑎)=1， 设ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑒𝑥+𝑥， 则ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑒𝑥⋅𝑥−𝑒𝑥+1=𝑒𝑥(𝑙𝑛𝑥+𝑥−1)+1， 假设存在实数𝑥0∈(0,+∞)，使曲线C：𝑦=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0处的切线斜率与𝑓(𝑥)在R上的最小值相等，𝑥0即为方程的解， 令ℎ′(𝑥)=1得：𝑒𝑥(𝑙𝑛𝑥+𝑥−1)=0， 因为𝑒𝑥>0，所以𝑙𝑛𝑥+𝑥−1=0． 令𝜑(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑥−1，则𝜑′(𝑥)=𝑥−𝑥2= 1 1 1 𝑥−1𝑥2 111 1 ， 当0<𝑥<1时𝜑′(𝑥)<0，当𝑥>1时𝜑′(𝑥)>0， 所以𝜑(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑥−1在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， ∴𝜑(𝑥)>𝜑(1)=0，故方程𝑒𝑥(𝑙𝑛𝑥+𝑥−1)=0有唯一解为1， 所以存在符合条件的𝑥0，且仅有一个𝑥0=1． 1 1 解析：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道中档题． 第11页，共13页 (1)求出𝑓(𝑥)的导函数，把𝑐=1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，把𝑥=1代入𝑓(𝑥)求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切线方程与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与抛物线相切，得到方程的根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值； (2)求出𝑓(𝑥)的导函数，𝑎=0和a小于0三种情况考虑，分a大于0，当a大于0时，导函数大于0，即函数为增函数，利用极限的思想得到函数恒大于0不成立；当𝑎=0时，得到函数恒大于0，满足题意；当a小于0时，令导函数等于0，求出x的值，由x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，进而得到𝑓(𝑥)的最小值，让最小值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意的a的取值范围； (3)把𝑎=−1代入到(2)中求出的𝑓(𝑥)的最小值中，确定出𝑓(𝑥)的最小值，设ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)，把𝑔(𝑥)和𝑓(𝑥)的解析式代入确定出ℎ(𝑥)，求出ℎ(𝑥)的导函数，假如存在𝑥0∈(0,+∞)，使曲线C：𝑦=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0处的切线斜率与𝑓(𝑥)在R上的最小值相等，令ℎ(𝑥)导函数等于𝑓(𝑥)的最小值，得到𝑙𝑛𝑥+𝑥−1=0，设𝜑(𝑥)等于等式的右边，求出𝜑(𝑥)的导函数，利用导函数的正负确定出𝜑(𝑥)的最小值为𝜑(1)等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解为𝑓(𝑥)的最小值． 19.答案：解：(Ⅰ)设矩形的另一边长为am， 则𝑦=45𝑥+180(𝑥−2)+180⋅2𝑎=225𝑥+360𝑎−360． 由已知𝑎𝑥=360，得𝑎=所以𝑦=225𝑥+ 3602𝑥 360𝑥 1 ， −360(𝑥>2); 3602𝑥 (Ⅱ)因为𝑥>0，所以225𝑥+所以𝑦=225𝑥+当且仅当225𝑥= 3602𝑥3602𝑥 ≥2√225×3602=10800， −360≥10440， 时，等号成立． 即当𝑥=24𝑚时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 解析：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一． (Ⅰ)设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360𝑚2，易得𝑎= 360𝑥 ，此时再根据旧 墙的维修费用为45元/𝑚，新墙的造价为180元/𝑚，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式； 第12页，共13页 (Ⅱ)根据(1)中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值． 2 =4𝑆𝑛+4𝑛+1， 20.答案：解：(1)(𝑎𝑛+1+1)(𝑎𝑛+1−1)=4(𝑆𝑛+𝑛)，则𝑎𝑛+1 2 则当𝑛≥2时，𝑎𝑛=4𝑆𝑛−1+4(𝑛−1)+1， 22两式相减可得𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=4(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)+4=4𝑎𝑛+4， 22∴𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+4𝑎𝑛+4=(𝑎𝑛+2)2， 又由𝑎𝑛>0，∴𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+2，即𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2， 又𝑎1=1，𝑎2=3，∴𝑎2−𝑎1=2， ∴数列{𝑎𝑛}是表示首项𝑎1=1，公差为2的等差数列， 所以𝑎𝑛=2𝑛−1； (2)𝑏𝑛= 1 1√𝑠𝑛(𝑎𝑛+𝑎3)1 = 1 1𝑛(𝑎𝑛+5)1 = 1 1𝑛(2𝑛+4)1 = 12𝑛(𝑛+2)1 =(− 4𝑛1 3 111 𝑛+21 )， 1 1 1 𝑇𝑛=4[(1−3)+(2−4)+(3−5)+⋯+(𝑛−𝑛+2)]=8−4(𝑛+1+𝑛+2)≥6， 假设存在整数m满足𝑇𝑛>2020总成立，即2020<6， 所以𝑚< 10103 𝑚 𝑚 1 .又∵𝑚∈𝑁∗， ∴适合条件的m的最大值为336． 解析：本题考查数列的递推关系，数列的通项公式，数列的求和，考查不等式恒成立问题，考查分析与计算能力，计算量大，属于中档题． (1)由题及数列的递推关系，计算得数列{𝑎𝑛}是表示首项𝑎1=1，公差为2的等差数列，即可得到答案； (2)𝑏𝑛=4(𝑛−𝑛+2)，得到𝑇𝑛，利用裂项相消法及不等式恒成立问题，计算求解即可得到答案． 11 1 第13页，共13页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容