多元函数微分学练习题

一、填空题

sin(xy)(x,y)(0,0)y1. ．

lim2.

3. ．

(x,y)(0,0)lim(xy)sin1x2y2

4.

(x,y)(0,0)lim[1sin(xy)]1xy ．

5. 设

6.

12sin(xy), xy0,f(x,y)xy0, xy0

7. 则fx(0,1) ．

y+1zx(x0,x1)，则dz ． 8. 设

22zln(1xy)，则dz(1,2) ． 9. 设

u1x2y2z210. 设，则du ．

f(x,a)f(a,a)flim(a,a)axaxa8. 若x，则 ．

222ulnxyz9. 设函数，则它在点M0(1,1,1)处的方向导数的最大值为 ．

23uxyz10. 设函数，则它在点M0(1,1,1)处沿方向l(2,2,1)的方向导数为 ．

2zxy11. 设，li3j，则

zlx2y1 ．

12. 曲线

t2

xcost,ysint,ztan在点(0,1,1)处的切线方程是 ．

13. 函数zxy在闭域

D{(x,y)x0,y0,xy1}

上的最大值是 ．

zze2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 14. 曲面

2xz:ye0上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 15. 曲面

2216. 曲面zxy与平面2x4yz0平行的切平面方程是 ．

x2y2z26,17. 曲线xyz2在点(1,2,1)处切线的方向向量s ．

x2xyzf(x,y,z)eyzxyzezz(x,y)18. 设，其中是由方程确定的隐函数，则

fx(0,1,1) ．

二、选择题

1. 设x0是ER的孤立点，则x0是E的 （ ）

n(A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点．

2. 设x0是ER的内点，则x0是E的 （ ）

n(A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点．

3. 设

x22y2, (x,y)(0,0)f(x,y)xy0, (x,y)(0,0)

，则

fy(0,0)( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1

ff4. 若f(x,y)在x0(x(x0,y0)的两个偏导数x0)，y(x0)存在，则 ( ）

(A)f在x0可微； (B)f在x0连续；

(C)f在x0存在任何方向的方向导数； (D)f在x0关于x与y皆连续．

ff5. 二元实值函数f(x,y)的两个偏导数x，y在x0(x0,y0)连续是f在x0可微的( (A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 既不是充分也不是必要的条件

6. 函数

ux2y22xz2y3

在点(1,1,2)处的方向导数的最大值为（ ）

(A)42； (B)32； (C)22； (D)2．

7. 函数zx3y33x23y2的极小值点是( )

(A) (0,0) (B) (2,2) (C) (2,0) (D) (0,2)

)

8. 设zf(x,y)在x0(x0,y0)可微,z是f在x0的全增量,则在x0处有 ( ）

(A)zdz； (B)

zfx(x0)xfy(x0)y

；

(C)

zfx(x0)dxfy(x0)dy

； (D)

zdz(),((x)2(y)2)

．

zz9. 设xzyf(x2z2)（其中f可微），且能确定隐函数zf(x,y)，则zxyy （ (A) xy(yz)f(x2z2)； (B) x；

(C)

）

xy(y2xz)f(x2z2)

； (D) z．

10. 设方程

yF(x2y2)F(xy)

能确定隐函数yf(x)（其中F可微），且

f(0)2,F(2)12,F(4)1

，则f(0) （ ）

1111 (A) 7； (B)7； (C)4； (D)3．

11. 曲面xyz1上平行于平面xyz30的切平面方程是 （(A)xyz30； (B)xyz20；

(C)xyz10； (D)xyz0．

三、计算与证明题

w2w1. 设wf(xyz,xyz)，f具有二阶连续偏导数，求x,xz． ）

2222F(zx,zy)0所确定的隐函数，其中F(u,v)具有一阶zz(x,y)2. 设函数是由方程

1z1z连续偏导数，试求表达式xxyy．

xy2zzf(xy,)g()yx，f具有二阶连续偏导数，g二阶连续可导，求xy． 3. 设函数

4. 设函数yy(x), zz(x)由方程组

5. zxf(xy),F(x,y,z)0

dz6. 确定，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dx．

5. 设uu(x,y,z)由方程

F(u2x2,u2y2,u2z2)0

所确定，求证：

1u1u1u1 xxyyzzu．

zx2y2z2yf()y能确定隐函数zz(x,y)，求证： 6. 设方程

(x2y2z2)zz2xy2xzxy

．

23zxyy的极值． 7. 求函数

2x2ze(xy2y)的极值． 8. 求函数

9. 在平面3x2z0上求一点，使它与点A(1,0,1)，B(2,2,3)的距离平方和为最小．

zx2y210. 求原点到曲线xyz1的最长和最短距离．

11. 设

xy x2y2022f(x,y)xy0 x2y2012.

13. ，证明：f(x,y)在点(0 0)并不连续，但存在两个偏导数．

12.设函数

xy22 , xy0 ,22f(x,y)xy0 , x2y20 13.

14. 证明：f在(0,0)连续但不可微.

15.设函数

x2y2 , x2y20 ,3f(x,y)(x2y2)20 , x2y20 16.

17. 证明：f在(0,0)连续但不可微.

18.设函数

19.

x2y , x2y20 ,22f(x,y)xy0 , x2y20 

20. 证明：f在(0,0)连续，偏导数存在但不可微．