一、选择题
1．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（ ）
A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】
B．2个 C．3个 D．4个
由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确． 【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE， ∴∠ABF=∠E， ∵DE=CD， ∴AB=DE，
在△ABF和△DEF中，
ABF=E∵AFB=DFE ， AB=DE∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴AF=DF，BF=EF； 可得③⑤正确， 故选：B． 【点睛】
此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2, 2,5 【答案】D 【解析】
B．1,3,3
C．3,4,8 D．4,5,6
【分析】
三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立． 【详解】
根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边． A、2+2=4＜5，此选项错误； B、1+3＜3，此选项错误； C、3+4＜8，此选项错误；
D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确． 故选：D． 【点睛】
此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．
3．如图，在ABC中，B33，将ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则
12的度数是（ ）
A．33 【答案】D 【解析】 【分析】
B．56 C．65 D．66
由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】
解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，
∴∠1-∠2=66°． 故选：D． 【点睛】
此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（ ）
A．∠ADE=20° 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
B．∠ADE=30° C．∠ADE=
11∠ADC D．∠ADE=∠ADC 23设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，
∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°， 即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②， 由①×3-②可得3x-y=0，
11y，即∠ADE=∠ADC．
33故答案选D．
所以x
考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．
5．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ） A．h≤15cm
B．h≥8cm
C．8cm≤h≤17cm
D．7cm≤h≤16cm
【答案】C 【解析】 【分析】
筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得. 【详解】
当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形 ∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm ∴8cm≤h≤17cm 故选：C 【点睛】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.
6．如图，在ABC中，C90，CAB60，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，以大于
1AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点P和Q． 2C．43 D．8
②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE4，则AE的值为（ ） A．46 【答案】D 【解析】 【分析】
B．42
根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长． 【详解】
由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°， ∴∠CBA＝30°， ∴∠EAB＝∠CAE＝30°，
1AE＝4， 2∴AE＝8． 故选D． 【点睛】
∴CE＝
此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．
7．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝＝
1BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE21BC,成立的个数有（ ） 4
A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】
B．2个 C．3个 D．4
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=线合一进行推理即可． 【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
1BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三2
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE，∠AEB=60°， ∵AB=
1BC， 21BC， 2∴AE=BE=
∴AE=CE，故①正确； ∴∠EAC=∠ACE=30° ∴∠BAC=90°， ∴S△ABC=
1AB•AC，故②错误； 2∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点， ∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=CO， ∵AE=CE， ∴EO⊥AC， ∵∠ACE=30°， ∴EO=∵EC=∴OE=
1EC， 21AB， 21BC，故④正确； 4故正确的个数为3个， 故选：C． 【点睛】
此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．
8．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为( )
A．1 【答案】C 【解析】 【分析】
B．2 C．3 D．4
由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：∴根据4×
11ab＝×8＝4， 221ab＋（a﹣b）2＝52＝25， 2得4×4＋（a﹣b）2＝25， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b＝3（舍负）， 故选：C． 【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )
A．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
B．8 C．6 D．10
解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．
【点睛】
本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．
10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4 【答案】B 【解析】
B．5 C．6 D．7
试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=BC'2BD2=3242=5．故选B．
11．如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．BC=ED C．∠B=∠E 【答案】C 【解析】
B．∠BAD=∠EAC D．∠BAC=∠EAD
解：A．∵AB=AE，AC=AD，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS），故A不符合题意； B． ∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAC=∠EAD．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD ，AC=AD， ∴△ABC≌△AED（SAS），故B不符合题意；
C．不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意．
D．∵AB=AE， ∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意． 故选C．
12．如图，已知A ,D,B,E在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC≌△DEF 的是（ ）
A．BC = EF 【答案】C 【解析】 【分析】
B．AC//DF C．∠C = ∠F D．∠BAC = ∠EDF
根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】 ∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝EC＋CF， 即BC＝EF，且AC = DF，
∴当BC = EF时，满足SSS，可以判定△ABC≌△DEF；
当AC//DF时，∠A=∠EDF，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF； 当∠C = ∠F时，为SSA，不能判定△ABC≌△DEF； 当∠BAC = ∠EDF时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF， 故选C. 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
13．如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．ABC的周长为19，ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3 【答案】B 【解析】 【分析】
B．6 C．12 D．16
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】
∵AB的垂直平分线交AB于点D， ∴AE=BE，
∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19， ∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6， 故答案为：B． 【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14．下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】
要验证是否可以组成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可，分别验证四个选项即可得到答案． 【详解】
A．223242，故不能组成直角三角形； B. 324262，故不能组成直角三角形； C．52122132，故可以组成直角三角形； D．225252，故不能组成直角三角形； 故选C． 【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形），掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
B．3，4，6
C．5，12，13
D．2，5，5
15．如图，ABC中，ABAC5，AE平分BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2 【答案】B 【解析】 【分析】
B．2.5 C．3
D．5 根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度． 【详解】
解：∵ABAC5，AE平分BAC， ∴AE⊥BC，
又∵点D为AB的中点，
1AB2故选：B． 【点睛】
∴DE2.5，
本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．
16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A．30° 【答案】B 【解析】
B．25° C．20° D．15°
试题分析：∵AC为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°
∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.
17．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ） A．1倍 【答案】B 【解析】
设原直角三角形的三边长分别是
，且
，则扩大后的三角形的斜边长为
B．2倍
C．3倍
D．4倍
，即斜边长扩大到原来的2倍，故
选B.
18．如图，已知AE=AD，AB=AC，EC=DB，下列结论：
①∠C=∠B；②∠D=∠E；③∠EAD=∠BAC；④∠B=∠E；其中错误的是( ) A．①② 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
解：因为AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB； 所以△ABD≌△ACE(SSS)；
所以∠C＝∠B，∠D＝∠E，∠EAC=∠DAB； 所以 ∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC； 得∠EAD=∠CAB． 所以错误的结论是④， 故选D． 【点睛】
此题考查了全等三角形的判定方法，根据已知条件利用SSS证明两个三角形全等，还考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的对应边相等．
B．②③
C．③④
D．只有④
19．如图，Rt△ABC中，∠C =90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD =5cm，CD =3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm 【答案】C 【解析】
B．4cm C．3cm D．2cm
∵点D到AB的距离是DE ， ∴DE⊥AB，
∵BD平分∠ABC，∠C =90°，
∴把Rt△BDC沿BD翻折后，点C在线段AB上的点E处， ∴DE=CD， ∵CD =3cm， ∴DE=3cm. 故选：C.
20．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝CGE．其中正确的结论是( )
1∠2
A．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】
B．①②④ C．①③④ D．①②③④
根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】 ①∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确； ②∵∠A=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误； ④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
1（∠ABC+∠ACB）=135°， 2∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠AEB+∠ADC=90°+∴∠DFB=45°=故选B． 【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
1∠CGE，，正确． 2
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