2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1) 理科数学 解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合Ax|x22x30,Bx|2x2，则AB（ ） A．[2,1] B． [1,2) C.．[1,1] D．[1,2)

(1i)32．（ ） 2(1i)A. 1i B. 1i C. 1i D. 1i

3．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x) 是奇函数 C.．f(x)|g(x)| 是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C 【解析】

试题分析：设H(x)f(x)g(x)，则H(x)f(x)g(x)，因为f(x)是奇函数，g(x) 第1页（共20页）

是偶函数，故H(x)f(x)g(x)H(x)，即f(x)|g(x)|是奇函数，选C． 【考点定位】函数的奇偶性．

4．已知F为双曲线C:x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ） A.

3 B. 3 C. 3m D. 3m

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A．

1357 B． C． D． 8888

6．如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的

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函数f(x)，则yf(x)在[0,]的图像大致为（ ）

【答案】C 【解析】

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7．

执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1，2，3，则输出的M=（A.

203 B.716152 C.5 D.8 第4页（共20页）

）

【答案】D 【解析】

试题分析：程序在执行过程中，a1,b2,k3，n1；

133,a2,b,n2； 22228383315815M2,a,b,n3；M,a,b,n4，程序结束，

33232883815输出M．

8M1【考点定位】程序框图． 8．设(0,1sin),(0,),且tan,则（ ） 22cos 第5页（共20页）

（A） 3【答案】C 【解析】

2 （B）32 （C）22 （D）22

9.不等式组xy1,的解集为D,有下面四个命题：

x2y4,D,x2，y 2， D,x2yp1:(x,y)D,x2y2， p2:(x,y)p3:(x,y)D,x2y3 p4:(x,y)其中的真命题是（ ）

1A．p2,p3 B．p1,p2 C．p1,p3 D．p1,p4

10．已知抛物线C：y8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C得一个

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2

焦点，若PF4FQ，则QF（ ） A.

75 B. 3 C. D. 2 22【答案】B

【答案】C 【解析】

2试题分析：当a0时，f(x)3x1，函数f(x)有两个零点

33和，不满足题33 第7页（共20页）

意，舍去；当a0时，f'(x)3ax26x，令f'(x)0，得x0或x2．x(,0)a时，f'(x)0；x(0,)时，f'(x)0；x(,)时，f'(x)0，且f(0)0，此时在x(,0)必有零点，故不满足题意，舍去；当a0时，x(,)时，f'(x)0；

2a2a2a2x(,0)时，f'(x)0；x(0,)时，f'(x)0，且f(0)0，要使得f(x)存在唯

a22一的零点x0，且x00，只需f()0，即a4，则a2，选C．

a考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

（A）62 （B）6 （C）62 （D）4

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A4BDC

【考点定位】三视图．

第II 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．xyxy的展开式中x2y7的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20 【解析】

8k8kk试题分析：由题意，(xy)展开式通项为Tk1C8xy，0k8．当k7时，

87626T8C8xy78xy7；当k6时，T7C8xy28x2y6，故xyxy的展开式中

8x2y7项为x8xy7(y)28x2y620x2y7，系数为20．

【考点定位】二项式定理．

14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________

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【解析】

试题分析：由

a2，且

2b(sAisniB)n(cb)siCn，故

(a22b)(sinA，又根据正弦定理，得s(ab)(ab)(cb)c，化简得，

2b2c2a21，所以A600， bcabc，故cosA2bc222又bcbc4bc，故SBAC1bcsinA3． 2【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数， （I）证明：an2an；

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（II）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.

所以an2n1，an1an2． 因此存在4，使得an为等差数列．

【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列． （18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

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（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

2（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N,，其中近似为

2样本平均数x，近似为样本方差s.

（i）利用该正态分布，求P187.8Z212.2；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数.利用（i）的结果，求EX.

附：15012.2

2若Z~N,则PZ0.6826，

22P2Z20.9544。

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19(本小题满分12分) 页眉页脚换

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.

（Ⅰ）证明：ACAB1;

（Ⅱ）若ACAB1，CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值.

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AA1CC1B1B

1 7【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）由侧面BB1C1C为菱形得B1CBC1，结合ABB1C得B1C平面ABO，故

B1CAO，

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x

zAA1COBB1yC1

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角求法． (20) (本小题满分12分）

x2y23（0，-2）已知点A,椭圆E:221(ab0)的离心率为；F是椭圆E的右焦点，

ab2直线AF的斜率为23，O为坐标原点 3（I）求E的方程；

（II）设过点A的动直线l与E 相交于P,Q两点。当OPQ的面积最大时，求l的直线方程.

x277y21；x2或yx2. 【答案】（I）（II）y422 第15页（共20页）

【解析】

x2c3222y21． 又，所以a2，bac1．故椭圆E的方程为4a2bex1（12分）设函数f(x)aelnx，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

xx 第16页（共20页）

ye(x1)2.

（I）求a,b;

（II）证明：f(x)1.

f(x)ming(x)min只是不等式f(x)g(x)的充分不必要条件，意即当f(x)g(x)成立，

最

值

之

页

眉

页

脚

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD是

O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且

第17页（共20页）

CBCE.

（Ⅰ）证明：DE； （Ⅱ）设AD不是边三角形.

O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等

试题解析：（I）由题设知A,B,C,D四点共圆，所以DCBE．由已知得ECBE，故DE．

（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上．又

AD不是O的直径，AD的中点为M，MAD，NAD．故O即M所以AD//BC，

故ACBE．又

ECBE，故EA．由（1）知，DE，所以ADE为等边三角形. 页

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【考点定位】1、圆的内接四边形的性质；2、垂径定理的推论． （23）（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程

x2t,x2y2l1，直线：已知曲线C1:（t为参数）.

49y22t,（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．

PA4d25tan5sin()6．其中为锐角，且． 03sin305 第19页（共20页）

当sin()1时，PA取到最大值，最大值为

225． 5当sin()1时，PA取到最小值，最小值为

25． 5【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形． （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若a0,b0，且

311ab. ab（Ⅰ）求ab3的最小值；页眉页脚换

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由. 【答案】（Ⅰ）42；（Ⅱ）不存在． 【解析】

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好教育云平台 高考真题答案 第1页（共1页）